典例分析提模型，教學探究微設計

初中幾何的經典問題中蘊含特殊解法或模型，教學中指導學生探究提取并靈活運用，有助于提升解題能力.因此教學中，可結合實例指導分析，設置探究微專題開展應用探究.

1 典例分析

例1如圖1所示，在正方形ABCD中， AB=1 點 E，F 分別在邊 BC 和 CD 上， AE=AF ∠EAF= 60^° ，則 CF 的長是

過程解析 已知四邊形ABCD為正方形，則∠B=∠D=∠BAD=90^°，AB=BC=CD=AD= 1，在 RtΔABE 和 RtΔADF 中，有 ，則可證 RtΔABE?RtΔADF ，通過等角代換可推知∠DAF=15^°

在 AD 上取一點 G ，使得 ∠GFA=∠DAF= 15^° （如圖1虛線所示），則 AG=FG . ∠DGF=30^° 進一步可求得

設 DF=x ，則 AG=FG=2x .因為 AG+DG=AD ，則有 ，可解得 x=2- ，所以 ，則

2 模型提取

上述為幾何復合題，解析的關鍵是角度與線段關系推導，需要關注“ ∠GFA=∠DAF=15^°， 和？ ∠DGF=30^°， ，實則為‘ ∠DGF=2∠GFA= 2∠DAF=30^°， ，隱含了“倍半角”模型.該模型可以串聯幾何圖形中的角度與線段關系，教學中應注重講解.

如圖2所示，在 RtΔABC 中取點 D ，向內構造等腰三角形 ACD ，設出 Ψ_x 值，則其中 ∠ADB= 2∠ACB=2θ ，而 同時在RtΔABD 中，利用勾股定理，可構建關系 b²+x²= （a-x）² ，從而可解出 x 的值.

因此，在已知“半角”求“倍角”的問題中，可以借助“倍半角”模型，在直角三角形相應的邊上截取線段，從而“等腰現，倍角出”，后續可結合勾股定理構建方程解題.

3 模型應用“微設計”

提取總結模型后，可進行專題微設計，引導學生強化應用.總體上采用“模型鞏固 $$ 能力提升”的流程來設計，幫助學生逐步掌握模型并靈活運用，

階段1 模型鞏固

教學中設計綜合性問題，指導學生構建半角模型，利用模型結論分析推理.過程中注重建模作法，突出模型特征.

例2如圖 3-（a） 所示， BM 為以 AB 為直徑的 ?O 的切線，點 B 為切點， BC 平分 ∠ABM ，弦CD 交 AB 于點 E ，且 DE=OE

（1）證明 ΔACB 為等腰直角三角形；

（2）求 tan∠ACD 的值.

教學引導（1）該問題為基本證明題，關鍵是從切線條件和角平分線條件出發來分析推理，推導出 ∠CAB=∠CBA=45^° 即可.

（2）該問題為三角函數值求解問題，需要關鍵直角三角形模型，再求解.連接 BD，AD，DO ，作∠BAF=∠DBA ，交 BD 于點 F ，如圖 3-（b） 所示.顯然其中存在“倍半角”模型，分析可知∠AOD=2∠ODB=∠EDO ，進一步分析推理可得AF=BF ∠AFD=30^°，AB 為圓的直徑，則 ∠ADB= 90^° ，則 ，則 BD=DF+BF ，所以 tan∠ACD=tan∠ABD= BD=2-√3.

階段2 能力提升

教學中設計具有拓展性的問題，引導學生整合知識內容，提取或構建模型.該過程注意解析思維的啟發引導，提升學生的綜合能力.

例3在圖4的平面直角坐標系中，直線 y= 2α-2與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數 的圖象經過點 B 和 C ，與 x 軸的負半軸交于點 A ，動點 D 在直線 BC 下方的二次函數圖象上.

（1）求二次函數的解析式；

（2）如圖4過點 D 作 DM⊥BC 于點 M ，是否存在點 D ，使得 ΔCDM 中的某個角恰好等于 ∠ABC 的2倍？若存在，直接寫出點 D 的橫坐標；若不存在，請說明理由.

圖4

教學引導 （1）待定系數法求解即可，二次函數解析式為

（2）構建模型再求解.過點 D 作 DR⊥y 軸，設垂足為 R ，設 DR 與 BC 的交點為 G （如圖4的虛線所示）.分析可知 ΔABC 為直角三角形，取 AB 的中點"E ，連接 CE，CE=BE ，則 ∠OEC=2∠ABC

當 ∠MCD=2∠ABC 時，則 _tan∠CDR=

設點 則

可解得 x=2 ，所以點 D 的橫坐標為2.當 ∠CDM=2∠ABC 時，設 MD=3k CM=4k， CD=5k ，因 ，則 GM=6k GD=

，進一步可推知 ， ，而

，可解得 ，所以點 D 的橫坐標為

綜上可知，點 D 的橫坐標為2或 中

4結語

上述，開展模型提取與應用探究，并進行探究專題微設計.從問題中提取模型，利用模型指導解題，有助于提升學生的總結歸納能力.教學中可參考上述設計流程，結合問題開展解法模型探究，培養學生的解題思維.