非奇異快速終端滑模控制仿真實驗

顏世玉, 趙海濱, 劉 沖, 陸志國, 于清文

(東北大學 機械工程與自動化學院, 遼寧 沈陽 110819)

滑模變結構控制方法具有很強的魯棒性,而且設計簡單,能夠克服模型誤差和外部干擾的影響,受到國內外學者的廣泛關注[1-2]。在普通的滑模控制中,通常采用線性滑模面,系統狀態不能在有限時間內收斂到0。為了獲得更好的控制性能,有學者提出了終端滑模控制器(TSM)[3]。TSM具有有限時間收斂的優點,而且對模型誤差和外部干擾具有較好的魯棒性[4-5]。由于在系統狀態接近平衡狀態時,終端滑模控制器存在奇異問題,于是有學者提出了非奇異終端滑模控制器(NTSM)[6]。

由于終端滑模控制器在接近平衡狀態時的收斂速度比較慢,于是有學者提出了快速終端滑模控制器(FTSM)[7]。FTSM雖然有更快的收斂速度,但是存在奇異問題,于是出現了非奇異快速終端滑模控制器(NFTSM)[8]。NFTSM收斂速度快,具有較強的魯棒性,能夠在有限時間內收斂[9],而且具有較高的穩態精度,因而有非常廣泛的應用[10-13]。

本文以二階非線性系統為研究對象,對快速終端滑模控制器存在的奇異問題進行分析,然后分別采用FTSM和NFTSM進行系統狀態的平衡控制。為了削弱抖振對系統的影響,采用飽和函數代替符號函數。采用Matlab/Simulink軟件建立了仿真實驗系統,并對仿真的結果進行了分析和討論。該仿真實驗系統有助于對快速終端滑模控制理論的理解,對快速終端滑模控制的實際應用有一定的指導意義。

1 終端滑模控制

對于二階不確定非線性系統

(1)

其中x=[x1,x2]T為系統的狀態變量,f(x)和g(x)為連續的非線性函數,且g(x)≠0,u為控制輸入；d(t)為外部干擾信號,且|d(t)|≤μ,μ>0。

本文采用的二階非線性系統，f(x)=-16x2,g(x)=125,外部干擾信號為d(t)=0.1sin(20t)，則式(1)寫作

(2)

在滑模控制器設計中,采用常用的指數趨近律。本文采用的指數趨近律為

εsgn(s)

(3)

在普通的滑模控制中,采用的線性滑模面為

s1=x2+cx1

(4)

其中參數c>0。采用指數趨近律時,滑模控制器設計為

(5)

普通的滑模控制器不能在有限時間內收斂為零。有學者提出的終端滑模控制器[4-5]能夠在有限時間內收斂到零。終端滑模控制的滑模面為

(6)

其中參數β>0,p和q為正奇數(p>q)。采用指數趨近律時,終端滑模控制器設計為

(7)

在式(7)中,由于q/p-1<0,在x1=0,x2≠0時會有奇異問題。

2 快速終端滑模控制

2.1 快速終端滑模控制

(8)

其中參數α>0,β>0,p和q為正奇數(p>q)。采用指數趨近律時,快速終端滑模控制器設計為

(9)

在式(8)中,當s3=0時,可以得到

(10)

快速終端滑模控制器比終端滑模控制器具有更快的收斂速度。在式(9)中,由于q/p-1<0,因此該控制器在x1=0和x2≠0時存在奇異問題。

2.2 非奇異快速終端滑模控制

非奇異快速終端滑模控制器(NFTSM)具有FTSM的優點,同時又能克服奇異問題。

NFTSM的滑模面設計為

s4=x1+αsgn(x1)|x1|r1+βsgn(x2)|x2|r2

(11)

采用指數趨近律時,NFTSM控制器設計為

u4=-g-1[f+ks4+(μ+ε)sgn(s4)+

(βr2)-1sgn(x2)|x2|2-r2(1+αr1|x1|r1-1)]

(12)

NFTSM能夠使系統狀態在有限時間內收斂,具有較快的收斂速度,而且能夠避免奇異問題。NFTSM非常適合進行非線性系統的控制。

為了削弱抖振,在各個控制器中采用飽和函數sat(s)代替符號函數sgn(s),飽和函數的表達式為

(13)

其中參數δ>0,稱為邊界層。在邊界層內采用線性化反饋控制,在邊界層之外采用切換控制。采用飽和函數代替符號函數后,FTSM控制器u3為

(14)

采用飽和函數代替符號函數后,NFTSM控制器u4為

u4=-g-1[f+ks4+(μ+ε)sat(s4)+

(βr2)-1sgn(x2)|x2|2-r2(1+αr1|x1|r1-1)]

(15)

3 Matlab/Simulink軟件

采用Matlab/Simulink軟件建立的仿真系統如圖1所示。在圖1中,System模塊、FTSM模塊和NFTSM模塊都采用M-Function模塊。System模塊為根據式(2)建立的二階非線性系統。通過手動開關Switch對積分模塊的初始值進行設置,即設置系統狀態變量的初始值分別為x(0)=[1,1]T或x(0)=[30,30]T。通過手動開關Switch1選擇FTSM或NFTSM。FTSM模塊為采用式(14)的快速終端滑模控制器；NFTSM為采用式(15)的非奇異快速終端滑模控制器。仿真結果通過To Workspace模塊輸出到Matlab軟件的工作空間。在圖1的仿真過程中,采用變步長的ode45算法,最大仿真步長為0.000 1 s。

圖1 快速終端滑模控制仿真實驗系統

4 仿真實驗

在式(14)的FTSM控制器中,參數設置為α=1,β=1,p=7,q=5,μ=0.1,ε=0.1,k=1。在式(15)的NFTSM控制器中,參數設置為α=1,β=1,r1=1.8,r2=1.6,μ=0.1,ε=0.1,k=1。在采用飽和函數代替符號函數時,邊界層δ通常取非常小的數,本文取δ=0.001。下面對狀態變量初始值較小和較大時分別進行實驗。

4.1 實驗1

二階非線性系統狀態變量的初始值為x(0)=[1,1]T,分別采用FTSM控制器和NFTSM控制器進行平衡控制。系統的仿真時間設置為6 s。狀態變量x1的響應如圖2所示,狀態變量x2的響應如圖3所示。狀態變量x1和x2從初始狀態迅速減小,在4 s已經非常趨近于0。NFTSM的趨近速度比FTSM慢,到達零點的時間更長。

FTSM和NFTSM控制器的輸入u如圖4所示。FTSM的控制輸入存在奇異問題,而NFTSM的控制輸入不存在奇異問題,且控制輸入比較平滑,沒有出現抖振。

圖2 狀態變量x1的響應(初始值較小)

圖3 狀態變量x2的響應(初始值較小)

圖4 控制輸入u(初始值較小)

4.2 實驗2

二階非線性系統狀態變量的初始值為x(0)=[30,30]T,分別采用FTSM和NFTSM控制器進行平衡控制。系統的仿真時間設置為10 s。狀態變量x1的響應如圖5所示,狀態變量x2的響應如圖6所示。對于狀態變量x1,FTSM控制器的趨近時間為6 s左右,NFTSM控制器的趨近時間為4 s左右。NFTSM的趨近速度比FTSM快,到達零點的時間更短。

圖5 狀態變量x1的響應(初始值較大)

圖6 狀態變量x2的響應(初始值較大)

FTSM和NFTSM控制器的輸入u如圖7所示。FTSM在接近零點時出現奇異問題,而NFTSM沒有出現奇異問題。NFTSM的控制輸入比較平滑,沒有出現抖振。

圖7 控制輸入u(初始值較大)

當狀態變量的初始值較小時,FTSM具有更快的趨近速度；當狀態變量的初始值較大時,NFTSM具有更快的趨近速度。NFTSM能夠克服FTSM存在的奇異問題。采用飽和函數代替符號函數,能夠對抖振現象進行抑制。

5 結論

實驗表明:非奇異快速終端滑模控制器具有收斂速度快和有限時間收斂的優點,同時能夠克服快速終端滑模控制器的奇異問題,非常適合進行非線性系統的控制,有助于學生對快速終端滑模控制的理解。學生還可以利用該系統對自己編寫的控制算法進行比較和驗證。該仿真實驗將理論和編程實現相結合,對快速終端滑模控制的實際應用有一定的實際意義。