給學生一雙數(shù)學的眼睛

袁威

荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾說：“學習數(shù)學的唯一正確方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學生把本人要學習的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生。”數(shù)學課堂上，與其竭盡全力關注學生知識技能的傳授、策略方法的獲取，還不如讓學生練就一雙數(shù)學的眼睛，自己去探尋數(shù)學的奧秘，學會從數(shù)學的角度觀察世界，認識世界。

敏銳之眼——發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的形成過程

數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展和應用過程是一個活動的過程，是一個和實踐具體相結合的過程，其中不僅有步驟、有方法，還有寶貴的經(jīng)驗，到處充滿了智慧。比如關于三等分角問題的發(fā)展，這里面不僅有古代數(shù)學家創(chuàng)造的步驟、方法等，還有古代數(shù)學家積累起來的關于此問題的豐富經(jīng)驗，如這個問題是不是可以解，什么情況下可以解，什么情況下又不可以解，解的時候必需什么工具，它和其他兩個希臘幾何難題有什么關系，它是如何促進現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的，等等。學生學習時，要知其然更要知其所以然。因此，在教學過程中，教師要引導學生通過對具體事物的感知，自主觀察分析、抽象概括，自覺獲取事物的本質屬性和規(guī)律，從而構建新的概念。

例如，許多老師認為，“平面向量的實際背景及基本概念”一節(jié)概念多但不難理解，但章建躍老師等認為其實不然。事實上，從概念的形成的角度看，本節(jié)內(nèi)容重要的不是向量的形式化定義及幾個相關概念，而是獲得數(shù)學研究對象、認識數(shù)學新對象的基本方法，蘊含了用數(shù)學的觀點刻畫和研究現(xiàn)實事物的方法和途徑，這是一個帶有本源性質的過程。這里，為了幫助學生建立向量的概念，與數(shù)、形的相關概念（數(shù)及其運算、直線（段）的平行關系等）類比與聯(lián)系是值得重視的。在學生的已有經(jīng)驗中，與本節(jié)內(nèi)容相關的有：數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值（線段的長度）、數(shù)的相等、0和1的特殊性、線段的平行或共線等，這些將為學生自覺、有序、有效地認知向量概念提供固著點。因此，具體教學時，要設計一個能讓學生開展概括活動的過程，引導他們經(jīng)歷從具體事例（位移、力、速度等）中領悟向量概念的本質特征，類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數(shù)的集合認識向量的集合，類比直線（段）的基本關系認識向量的基本關系。通過這樣的過程，學生從中體會到認識一個數(shù)學概念的基本套路：從具體背景中抽象出共同本質特征—定義—表示—定義“相等”“單位元”“0元”—某些特殊關系。這樣學生在獲得概念的同時，還培養(yǎng)了抽象概括能力和創(chuàng)新精神，同時也使學生從被動地聽發(fā)展成為主動地獲取和體驗數(shù)學概念，自主建構知識。

智慧之眼——探尋數(shù)學思想方法之所在

數(shù)學思想方法往往隱含于數(shù)學基礎知識之中，滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中。如果能有效地引導學生經(jīng)歷知識形成的過程，讓學生在觀察、分析、概括的過程中，看到知識背后承載的方法、蘊含的思想，那么，學生所掌握的知識才是鮮活的、可遷移的，學生的數(shù)學素養(yǎng)才能得到發(fā)展。

例如，在“對數(shù)函數(shù)的圖像和性質”一節(jié)的教學中，教師可以類比指數(shù)函數(shù)的圖像和性質，課堂進程環(huán)環(huán)相扣，引導學生感知、領悟分類討論和類比的思想方法，給學生提供充分的活動機會，幫助他們自主探索、合作交流，從而得出對數(shù)函數(shù)的圖像和性質。這樣，學生從中捕捉到了數(shù)學思想方法的火花，并深入他們的內(nèi)心世界。

（作者單位：岳陽縣第三中學）