關于“數學思考”的思考

鐘德勝

人教版數學教材六年級下冊整理復習中有一個內容被稱為“數學思考”，是關于“幾個點可以連成多少條線段”的問題（具體如圖所示）。針對這一內容，筆者有如下思考。

一、“數學思考”的目標是什么

教材在這一內容的開篇部分即指出：“數學思想和方法可以幫助我們有條理地思考，簡捷地解決問題。”由此我們可以看出，本內容的基本目標指向數學思想和方法，尤其指向“化繁為簡”的方法。這一方法要求我們將復雜的問題簡單化，從簡單的情形開始研究，通過觀察、歸納、概括等活動發現規律，進而解決問題。從這個角度思考，我們不難發現，本節課的教學目標不是要教會學生得出如下問題的答案———平面上有n個點，任意三點都不在同一直線上，將這些點用線連起來，一共可以連多少條線段？

這一問題本身是個簡單的組合問題———從n個對象中取2個的組合數。如果學生學習的是排列與組合，將這個問題作為排列與組合的練習題，我們的教學目標就是讓學生理解這個問題為什么是“n選2”的組合問題，并直接運用組合公式得到答案。但在這里，我們的教學目標是讓學生進一步理解、體會解決這類問題常用的方法，并能熟練使用這樣的方法。也就是說，我們的教學目標是指向解決問題的方法，而不是這一具體問題的結果。這個問題只是承載這一方法的素材，我們完全可以換成別的素材———只要素材能承載這一方法。

二、為什么可以“化繁為簡”

解決問題時，如果能將問題化繁為簡固然很好。把復雜問題簡單化，還有什么比這更高明的呢？可我們需要思考，一個復雜問題為什么可以化為簡單問題。復雜是復雜問題的特征，簡單是簡單問題的特征。如何將問題的“復雜”這一特征去掉，進而形成“簡單”這一特征呢？

具體到“數學思考”中提出的問題：6個點可以連多少條線段？8個點呢？這是我們所說的復雜問題。其復雜性在于：這里說的6個點、8個點，點數比較多，點數越多越復雜。要化繁為簡，就是要把6個點、8個點的問題轉化為2個點、3個點的問題。可是，6個點、8個點的問題為什么可以轉化為2個點、3個點的問題呢？或者換一個問法：解決一個像2個點、3個點這樣的簡單問題對解決6個點、8個點這樣的復雜問題有什么幫助呢？

事實上，我們所謂的復雜問題，通常是指一個一般問題的特殊情況。比如6個點可以連多少條線段的問題，就是“n個點可以連多少條線段”這個一般問題的特殊情況。我們之所以可以把復雜問題簡單化，其實是想通過對簡單問題的研究來發現某種一般規律，從而解決一般問題。一旦一般問題得到解決，作為一般問題的特殊情況即復雜問題也就得到解決。

三、如何組織“化繁為簡”的教學

一般而言，我們先要對復雜問題做一般化處理。而6個點可以連多少條線段的問題，就是“n個點可以連多少條線段”這個一般問題的特殊情況。接下來，就是從簡單開始研究這個一般問題。按華羅庚先生的說法，就是退，足夠的退。我們從2個點、3個點開始研究。在此，要特別注意的是，教師應該和學生一起研究，而不是作為一個已知結論的過來人，把獲得結論的過程教給學生。具體到這個問題，教師不能過早地把教材中的表格（如下）呈現出來。

這個表格是發現了規律并已解釋為什么有這個規律后的產物，而不是研究問題的產物。

研究問題時，我們分別找出2個點、3個點、4個點能連的線段的總數：1、3、6。按照這一方法做下去，一直到發現某種規律。比如，我們從1、3、6這三個數中發現3=1+2，6=1+2+3時，就可以猜想，接下來可能是1+2+3+4。于是再畫5個點的連線圖，發現果然是這樣。這時回過頭來思考，并對這一發現作出解釋：為什么是這樣？上面的表格就是對這一問題的解釋，是發現規律后的事，而不是利用這個表格來發現規律。

規律得到確認，一般問題得到解決，復雜問題也就隨之得到解決。接下來要做的事，就是進一步練習使用這個研究方法：再提出一個可以用這個方法研究解決的問題。應當注意的是，鞏固練習中的題，不應是與這個問題在內容上類似的問題，比如100個點可以連多少條線段之類，這樣的問題對于達成我們的練習目標沒有多大價值。

（作者單位：長沙縣丁家小學）