雙彈簧問題歸類剖析

江西 陳 明

彈簧在生活中很常見，而彈簧模型是高中物理中一個重要模型，可與物理中的諸多知識點有機結合來考查同學們的分析能力和推理能力。本文將對一個題中出現兩個彈簧的問題進行分析探究，本文中的彈簧模型都是輕質彈簧模型。

一、彈簧彈力

彈簧可以被拉伸也可以被壓縮，因此彈簧的彈力具有雙向性，彈簧彈力大小與彈簧的形變量遵循胡克定律，即F=kx，但只能判斷出彈簧彈力的大小，不能判斷出彈力的方向。

【例1】如圖1所示，一重為12 N的物塊上、下兩端分別與兩根完全相同的豎直輕彈簧a、b相連，彈簧a的上端固定在天花板上，彈簧b的下端固定在桌面上。當物塊靜止時，兩彈簧的彈力大小相等，此時兩彈簧的長度分別為La=18 cm、Lb=12 cm。求：

(1)每根彈簧的自然長度L0及每根彈簧的勁度系數k；

(2)若撤去彈簧b，則物塊靜止時物塊下端離桌面的距離h。

【解析】(1)根據兩彈簧彈力相等

k(La-L0)=k(L0-Lb)

得L0=15 cm

物體受力平衡

k(La-L0)+k(L0-Lb)=G

(2)若撤去彈簧b，設彈簧a的長度為L，有

k(L-L0)=G

得L=21 cm

物塊離桌面距離為h=Lb-(L-La)=9 cm。

二、彈簧長度的變化問題

彈簧受力的變化與彈簧長度的變化也遵循胡克定律，即ΔF=kΔx，此時ΔF表示彈簧彈力的變化量，并不是彈簧彈力大小；此時Δx表示的是彈簧長度的改變量，并不是形變量。

【例2】如圖2所示，勁度系數為k1的輕質彈簧兩端分別與質量為m1、m2的物塊1、2拴接，勁度系數為k2的輕質彈簧上端與物塊2拴接，下端壓在桌面上(不拴接)，整個系統處于平衡狀態。現將物塊1緩慢地豎直上提，直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌面。在此過程中，物塊2的重力勢能增加了多少？物塊1的重力勢能增加了多少？

【解析】由題意可知，彈簧k2長度的增加量就是物塊2的高度增加量，彈簧k2長度的增加量與彈簧k1長度的增加量之和就是物塊1的高度增加量。

三、彈簧多解問題

彈簧可以伸長也可以被壓縮，因此彈簧的彈力具有雙向性，即彈力既可能是推力又可能是拉力，這類問題往往有多解。

【解析】乙彈簧的末狀態應分壓縮和拉伸兩種情況：

1.乙彈簧被壓縮

2.乙彈簧被拉伸

【點評】以上這類題是高中階段常見題型，在求解過程中，一般由平衡條件、牛頓運動定律與彈力相聯系，再結合F=kx求解。

表達式F=kx中，若x可指彈簧形變量，則相應的F指彈簧彈力；x也可指彈簧形變量的變化量，則相應的F指彈簧彈力的改變量；還有x可正可負，相對的F的大小相等但方向不同，即彈簧可被拉伸也可被壓縮。所以在分析求解過程中，一定要明確x(或F)的含義、方向等。

四、彈簧串、并聯組合

彈簧串、并聯與電路電阻的串、并聯類似，彈簧串、并聯后新組合彈簧勁度系數會發生變化。

彈簧串、并聯的特點：彈簧串聯時，每根彈簧的彈力相等，與彈簧原長無關；原長相同的彈簧并聯時，每根彈簧的形變量相等。

【例4】如圖4所示，在水平面上運動的小車內，有一質量為m的物塊與兩根勁度系數分別為k1、k2的輕彈簧連接，小車向右以大小為a的加速度做勻加速直線運動。已知兩根彈簧的形變量總和為Δx，不計物塊與小車間的摩擦。則圖中物塊的加速度a為多少？

【解析】物塊與小車的相對位移為兩彈簧形變量之和，設相對位移為Δx，彈簧k1的形變量為Δx1，彈簧k2的形變量為Δx2，則有Δx1+Δx2=Δx

對k2：k1Δx1=k2Δx2

對物塊：k1Δx1=ma

【例5】如圖5所示，兩個勁度系數分別為k1、k2的輕彈簧豎直懸掛，下端用光滑細繩連接，并有一光滑的輕滑輪放在細線上；滑輪下端掛一重為G的物體后滑輪下降，求滑輪靜止后重物下降的距離。

【例6】如圖6甲所示，一根大輕彈簧內套有一根小輕彈簧，大彈簧比小彈簧長0.1 m，它們的下端固定于地面上，上端自由，當用力壓縮此組合彈簧時，測得壓力與壓縮距離之間的關系如圖6乙所示，兩根彈簧的勁度系數k1、k2分別是多少？

【解析】大彈簧勁度系數為k1，小彈簧勁度系數為k2，依據ΔF=kΔx得

在0～0.1 m內：20 N=k1×0.1 m

在0.1～0.2 m內：小彈簧的壓縮量比大彈簧小0.1 m

80 N=k1×0.2 m+k2×0.1 m

解得k1=200 N/m，k2=400 N/m。

【點評】對于彈簧串、并聯問題，首先要分析清楚彈簧連接方式，即找出各彈簧之間的彈力、形變量等關系，找出物體位移與彈簧形變量之間關系，再結合F=kx以及其他知識求解。

五、彈簧彈力突變

彈簧彈力與彈簧的形變量有關，由于彈簧兩端一般與物體連接，因彈簧形變過程需要一段時間，其長度變化不能在瞬間完成，因此彈簧的彈力不能在瞬間發生突變。即可以認為彈力大小和方向不變，與彈簧相比較，輕繩和輕桿的彈力可以突變。

【例7】如圖7所示，豎直光滑桿上套有一個小球和兩根輕彈簧，兩彈簧的一端各與小球相連，另一端分別用銷釘M、N固定于桿上，小球處于靜止狀態。設拔去銷釘M瞬間，小球加速度的大小為12 m/s2。若不拔去銷釘M而拔去銷釘N瞬間，小球的加速度可能是(取g=10 m/s2)

( )

A.22 m/s2，豎直向上 B.22 m/s2，豎直向下

C.2 m/s2，豎直向上 D.2 m/s2，豎直向下

【解析】設小球的質量為m，向上為正方向，剛開始受力平衡，則有FN+FM-G=0，拔去銷釘M瞬間有FN-G=±12m，所以FN=-2m或22m，FM=12m或-12m，拔去銷釘N瞬間，小球受M彈簧和重力G的作用，FM-G=ma，解得加速度a=2 m/s2或-22 m/s2，故選BC。

【點評】當彈簧形變量較大時，彈簧彈力只能發生漸變。所以，對于彈簧突變問題，一般認為彈簧彈力瞬間不變。但如果將彈簧兩端的連接物體或力撤銷瞬間，彈簧彈力將變為0。

在求解這類彈簧突變問題，要分析清楚突變前、后物體受力情況的變化，包括力的大小，方向的變化，而彈簧彈力大小和方向不變，結合F=kx以及其他知識求解。

六、彈簧彈力與牛頓運動定律相結合

彈簧模型是高中物理中一個重要模型，可與物理中的諸多知識點結合來，這里將彈簧彈力與牛頓運動定律相結合，來考查分析能力和推理能力。

【例8】用如圖8所示的裝置可以測量汽車在水平路面上做勻加速直線運動的加速度。該裝置是在矩形箱子的前、后壁上各安裝一個由力敏電阻組成的壓力傳感器。用兩根相同的輕彈簧夾著一個質量為2.0 kg的滑塊，滑塊可無摩擦的滑動，兩彈簧的另一端分別壓在傳感器a、b上，其壓力大小可直接從傳感器的液晶顯示屏上讀出。現將裝置沿運動方向固定在汽車上，傳感器b在前，傳感器a在后，汽車靜止時，傳感器a、b的示數均為10 N(取g=10 m/s2)，

(1)若傳感器a的示數為14 N、b的示數為6.0 N，求此時汽車的加速度大小和方向。

(2)當汽車以怎樣的加速度運動時，傳感器a的示數為零。

【解析】傳感器上所顯示出的力的大小，即彈簧對傳感器的壓力，據牛頓第三定律知，此即為彈簧上的彈力大小，亦即該彈簧對滑塊的彈力大小。

(1)如圖9所示，選滑塊為研究對象，依題意：左側彈簧對滑塊向右的彈力F1=14 N，右側彈簧對滑塊的向左的彈力F2=6.0 N，滑塊所受合力產生加速度a1，根據牛頓第二定律有F1-F2=ma1，得a1=4 m/s2，a1與F1同方向，即向右。

七、彈性勢能

高中階段對彈簧彈性勢能的表達式不要求，但很多問題又涉及彈性勢能，在求解過程中利用功能轉換來求解相關問題。

【例9】如圖11所示，兩根相同的輕質彈簧，中間與質量為m的圓環相連于O位置，另一端各自固定在同一水平線上的P、Q兩點，彈簧恰好處于原長L，圓環套在粗糙的豎直細桿上，細桿上的A、B兩點關于O點對稱，OA=H。現將圓環沿桿拉至A位置由靜止釋放，當下滑到速度最大時，彈簧與細桿間的夾角為θ，整個過程中，彈簧處于彈性限度范圍內。重力加速度為g。求：

(1)圓環過O點時的加速度；

(2)圓環過B點的瞬時速度；

(3)每根輕質彈簧的勁度系數。

【解析】(1)物體下落到O點時只受重力作用，由牛頓第二定律得

mg=ma

解得a=g。

(2)圓環從A到B過程中，彈簧彈力做功為零，圓環水平方向合力為0，故不受摩擦力作用，只有重力做功，由動能定理得

(3)下落過程中，當環所受合力為零時速度最大，此時有

2Fcosθ=mg

由胡克定律得F=kΔx

【點評】對于這類綜合題，考查知識點較多，知識綜合性強，在分析過程中要全面分析，分析出物體的位移與彈簧形變量之間關系，將其他知識，如牛頓運動定律、物體平衡、功能轉換等，有效地與F=kx相結合求解。