千分表在拉伸法測金屬絲楊氏模量中的應用

蔡 彥，楊海燕，單長吉，楊海濤，馬殿旭

（昭通學院 物理與信息工程學院，云南 昭通 657000）

楊氏模量的測定是普通物理實驗的必做實驗之一，它是一種縱向的彈性模量，是描述固體材料特征的一個重要的物理參數，是工程材料選材需要考慮的要素之一。拉伸法測量金屬絲的楊氏模量的難點，是如何測定出金屬絲受力而發生的微小長度變化，現有楊氏模量測定儀中有的應用光杠桿配合尺度望遠鏡，有的使用光杠桿配合顯微鏡。利用光學放大原理進行測量，用光杠桿-望遠鏡系統、顯微鏡-CCD-顯示器系統來測出微小長度變化量[1-5]。

上述方法使用的儀器主要有彈性模量測定儀、光杠桿、尺度望遠鏡、顯微鏡、顯微鏡成像儀，需要進行光路的調節，實驗中要測定的物理量很多，導致操作復雜，容易引入人為誤差，在實驗測定過程中，不管是尺讀望遠鏡-光杠桿組合，還是顯微鏡-光杠桿-顯示器組合，光路調節都需要花費大量的時間，容易引起課程的時間沖突[3-6]。

針對這些問題，基于前人的研究成果，對測定金屬絲楊氏模量的儀器進行了改進設計，也就是使用千分表直接測量金屬絲受外力產生的微小變化量，改進設計之后的實驗儀構件較少，避免引入更多的系統誤差；操作簡單，可有效減少人為誤差；直接讀取測量結果，可有效提高金屬絲楊氏模量實驗測定的精確度，使測量值更接近真值。

1 楊氏模量測定原理

橫截面積為D，原長為L的金屬絲，粗細均勻，D1/2遠小于L，將金屬絲上端固定，當下端受到一個沿豎直向下的拉力F作用時，金屬絲由于受拉力的作用會產生彈性形變變長。設伸長量為ΔL，F/D稱為應力，則相對伸長量ΔL/L稱為應變。金屬絲所受拉力發生的形變小于其彈性限度時，由胡克定律可知，應力與應變成正比關系，即[1-2]：

(1)式中，T表示該金屬材料抵抗拉力形變的物理量，稱為楊氏模量，T只與金屬絲自身的材料特性有關，單位為Pa，在數值上等于微小長度變化產生的應力，可表示為：

（2）式中，F=mg，g為重力加速度，m為所加砝碼質量。若待測金屬絲的直徑為d，則和D帶入（2）式并整理可得[1-2]：

（3）式中，只要測出等式右邊的每個物理量，就可以算出待測物的楊氏模量T，通常情況下，L和m的數值較大，L可用直尺或卷尺測定，m可用天平測定；d的數值較小，可用螺旋測微器、游標卡尺測定；待測金屬絲的伸長量ΔL的值很小（約為10-2～10-3cm量級），需要用更高精度的方法進行測定。

2 現用楊氏模量測定儀存在的問題

各高校實驗室中常用的楊氏模量測定儀如圖1所示。其中，楊氏模量測定儀YMC-1型（圖1.1）的構造為，在鑄鐵底座上裝配三只底腳螺絲和兩根立柱，放置水平儀后，對底腳螺絲進行調節使立柱垂直于水平面。立柱中部的平臺通過調節螺絲可以沿立柱上下自由移動。金屬絲的上下兩端有螺絲夾，可將金屬絲固定。金屬絲可自由通過平臺中間的小孔上下移動，金屬絲的下端掛著砝碼托盤。光杠桿的后尖腳置于金屬絲下端的螺絲夾上，兩前尖腳置于平臺的凹槽內。標尺和望遠鏡都固定在望遠鏡支架上，是為尺讀望遠鏡，望遠鏡水平地對著光杠桿鏡面，其功能是觀察平面鏡內標尺的像，然后通過尺讀望遠鏡與光杠桿來測量金屬絲的微小長度變化。楊氏模量測定儀YMC-II型（圖1.2）是YMC-1型的改進版本，其在尺度望遠鏡上加裝了激光瞄準器，并標尺旁裝了小燈泡，便于瞄準和讀數。楊氏模量測定儀LY-1CCD型（圖1.3）沒有用讀數顯微鏡和光杠桿，而是采用CCD（像素數752（H）×582（V））接收、顯微鏡（測量范圍3mm，分度值0.05mm，放大率15倍）連接顯示器（8寸液晶電視機（分辨率800*600））進行觀察、結構緊湊，與YMC-1型、YMC-II型相比，更易觀察、讀數也比較精確。楊氏模量測定儀LDX-DHY-3型（圖1.4）與LY-1CCD型基本一致，只是采用的CCD（420線黑白CCD）、顯微鏡（測量范圍3mm，分度值0.05mm，放大率30倍）及顯示器（8寸液晶監視器）的型號有所不同。

上述儀器及相應的操作方法可用于測量部分金屬絲（鉬絲、鋼絲）的微小變化量，設計精巧，有助于提高學生的動手操作及觀察能力，但也存在一些問題[6-8]：

YMC-1型、YMC-II型中所用尺讀望遠鏡視角不大，實驗要求調整光杠桿鏡面法線與望遠鏡光軸重合，學生需要用大量時間才能到光杠桿的鏡面所反射的標尺的像。

YMC-1型、YMC-II型中涉及到的實驗部件較多，容易引入誤差，需要較大的實驗場所，中等偏小的實驗室難以同時開設多組實驗。

YMC-1型、YMC-II型中光杠桿是分離元件，穩定性較差，調節光路時反光鏡鏡面方位容易移動，甚至會出現光杠桿從平臺上衰落的情況，造成反光鏡損壞，并影響實驗進度和效果。

LY-1CCD型、LDX-DHY-3型中涉及的元件也很多，學生操作時最容易出問題的是調節成像系統，即每次改變砝碼數量后，都要重新調節顯微鏡，然后進行CCD成像，再通過顯示器觀察橫線的刻度變化，在有限的實驗時間里，難以完成實驗內容。

圖1 各高校實驗室中常用的楊氏模量測定儀

3 楊氏模量測定儀的改進

針對各高校在該實驗中存在的這些問題，從平滑演進的角度出發，對現有楊氏模量測定儀進行改進。結合普通物理實驗教學的特征，歸納總結出一種利用千分表直接測定金屬絲受外力作用而產生的微小長度變化量ΔL的方法。該方法中的主要構件有鑄鐵底座、三角調平螺釘、兩根支撐立柱、待測金屬絲、金屬絲固定裝置、千分表、千分表固定裝置、砝碼及砝碼托盤，改進設計后的實驗裝置如圖2所示。

圖2 改進后的楊氏模量測定儀

待測金屬絲固定裝置中帶調平螺釘的鑄鐵底座的重量較大，可使楊氏模量測定儀的重心降低，提高穩定性，有效防止傾倒。固定千分表的夾子直接裝配在砝碼托盤下方的支架上，同樣用夾子固定，通過調節千分表固定旋鈕，支架可沿立柱上下自由移動。砝碼托盤制作為下底面中心內陷成圓形的形狀，直徑略大于千分表測頭。實驗時將千分表用卡子固定住，調整千分表的上下位置，使其與砝碼托盤內陷處接觸，使千分表內盤指針發生微小偏轉，并指向內盤零刻度線附近，此時外表盤有一起始讀數，調節外表盤，使外盤指針指向外表盤的零刻度線，完成調零工作。當砝碼質量增加Δm時，千分表的讀數變化量就等于金屬絲的伸長量ΔL，故待測金屬絲的楊氏模量可通過下式計算出[1,2,7]：

實驗中金屬絲的上、中、下三個位置的直徑d可用游標卡尺或螺旋測微計進行測量，每個位置都進行多次測量，最后求平均值。用直尺測量金屬絲的長度L，多次測量求平均值。在鉤碼托盤上每次增加一個質量相同的砝碼，待測定儀穩定后記錄千分表的讀數，增加至六個后，再每次減小一個砝碼，待測定儀穩定后記錄千分表的讀數，用逐差法和平均值法進行數據處理就可以得出金屬絲的伸長量ΔL，將測得的金屬絲直徑、原長、伸長量、砝碼質量等代入（4）式，就可以算出待測金屬絲的楊氏模量。

4 結論

改進后的楊氏模量測定儀用千分表替代YMC-1型、YMC-II型中的光杠桿-望遠鏡系統，替代LY-1CCD型、LDX-DHY-3型中的顯微鏡-CCD-顯示器系統，結構更加簡單，操作更加方便，可大大降低制造成本，直達實驗主題，不限金屬絲的類型，減少了現有儀器調試的時間，可使學生在有限的課時內更好的完成實驗，符合高等院校物理實驗的特征，能夠滿足實驗教學要求，比較適合在高校普通物理實驗中進行推廣。