化動為靜：解決與圓有關的動態問題

文 陳小鋒

旋轉的齒輪、飛馳的車輪，萬物都在運動變化當中。但靜和動只是相對而言，變化中也蘊含著某些不變的因素，因此我們只要認真分析其變化特點，尋找不變的靜態因素，就能從中找到解決問題的突破口。下面老師選取了幾個和圓有關的動態變化問題和同學們交流分享，一起總結解題經驗。

一、圖形旋轉

例1（2020·四川樂山）在△ABC中，已知∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=1。如圖1所示，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°后得到△AB′C′。則圖中陰影部分面積為（ ）。

【分析】如圖2，△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°后得到△AB′C′，陰影部分的面積可以由大扇形CAC′的面積減去小扇形DAB′的面積再減去△AB′C′的面

二、圖形平移

積得出。∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=1，可求出AC=2，AB=，大扇形CAC′的面積=π，∠DAB′=60°，小扇形DAB′的面積=π，△AB′C′的面積=，所以陰影部分的面積=。

【答案】B。

【點評】本題的“動”只是過程，“靜”才是結果，利用靜態圖形，以“靜”制“動”，分析構圖特征和關系就可以完成解題。

例2（2013·湖北宜昌）半徑為2cm的⊙O與邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側，⊙O與l相切于點F，DC在l上。

（1）過點B作⊙O的一條切線BE，E為切點。

①填空：如圖3，當點A在⊙O上時，∠EBA的度數是________；

②如圖4，當E、A、D三點在同一直線上時，求線段OA的長。

（2）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動正方形（圖5），至邊BC與OF重合時結束移動，M、N分別是邊BC、AD與⊙O的公共點，求扇形MON的面積的范圍。

【分析】（1）①如圖3，當點A在⊙O上時，OE=2cm，OB=4cm，所以在Rt△OBE中，∠EBA=30°；②由△EOA∽△BOE，可得，又有OE=2cm，OB=OA+2cm，所以OA（2+OA）=4，解得OA=，因為OA＞0，可得OA=。

（2）扇形MON的面積由∠MON的大小決定，∠MON的大小又和弦MN的長度相關，所以弄清正方形運動過程中線段MN的變化范圍，求出對應圓心角的大小即可解決。

解：（1）①30°；②OA=。

（2）如圖6，當N、M、A分別與D、B、O重合時，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2）；如圖7，當MN=DC=2cm時，此時O為AB中點，MN最小，由ON=MN=OM，可得∠NOM=60°，S扇形MON最小（cm2），可得π≤S扇形MON≤π。

【點評】解決本題的關鍵在于化“動”為“靜”，找到臨界狀態，根據題意畫出圖形。但我們首先要找到影響扇形面積的關鍵因素，即圓心角的大小，再把圓心角的大小范圍轉化為圓心角所對的弦或弧的大小范圍。

三、圖形翻折

例3（2020·四川達州）如圖8，在半徑為5的⊙O中，將劣弧AB沿弦AB翻折，使折疊后的恰好與OA、OB相切，則劣弧AB的長為（ ）。

【分析】如圖9，點O′是點O關于弦AB的對稱點，由圖形折疊的對稱性及恰好與OA、OB相切，不難得出四邊形OAO′B為正方形，所以∠BOA=90°，劣弧AB的長等于圓周長的。

【答案】B。

【點評】遇翻折問題，我們可利用對稱原理構造基本圖形（如正方形OAO′B）打開解題思路，其關鍵依然在于化“動”為“靜”，以“靜”制“動”。

四、點的運動

例4（2020·江蘇連云港）如圖10，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE面積的最小值為________。

【分析】如圖11，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，連接OC，則OC⊥AB，∠OCA=90°，C點的運動軌跡為以OA為直徑的圓。那么將直線平移，和以OA為直徑的圓相切時的切點C′即為所求，所以過以OA為直徑的圓的圓心M作直線的垂線，垂足為點N，利用△MDN∽△EDO，由，可得，，所以△C′DE面積的最小值=。

【答案】2。

【點評】此題中動點B是主動點，由中點、垂徑可以判斷出點C運動的軌跡為以OA為直徑的圓。“動”“靜”結合，合理化歸，才能解決問題。