基于ε–NTU理論的蒸氣壓縮式熱泵循環模型研究

閔銳 喻李葵 劉韜 馬衛武 劉剛

中南大學能源科學與工程學院

蒸氣壓縮式熱泵系統作為一種高效節能的制冷、制熱裝置，在當今多元化的制冷、空氣調節系統乃至熱泵系統中仍備受青睞[1-2]。學者對蒸氣壓縮式熱泵傳熱模型的研究，均以動態模型[3-4]與穩態模型[5]作為基本理論模型。而蒸氣壓縮式熱泵系統在實際中常用于時間跨度較大的能源系統，例如分布式能源系統[6]、地源熱泵系統[7-8]。由于穩態模型忽略了蒸汽壓縮制冷系統及熱泵系統中的所有不穩定的過程，當整個系統的瞬變時間常數遠大于蒸汽壓縮制冷機或熱泵的時間常數時，穩態模型的模擬結果足夠準確[9]。鑒于穩態模型具有簡潔、便于計算等優點，本文將以此為系統建模的導向。

在蒸氣壓縮式熱泵系統中，丁國良等[10]致力于建立簡潔、普適性強、精確的傳統模型，模型通過查閱工質在不同狀態點的焓濕表或者焓濕圖以獲得對應焓值，從而通過數學計算求解。德國學者Alefeld[11]從熱力學第二定律出發，建立一套僅涉及系統運行主要關鍵參數（蒸發溫度、冷凝溫度、蒸發潛熱等）的系統性能系數解析模型。Klein等[12]建立了蒸汽壓縮式制冷系統各主要部件的穩態集中參數模型，并就模型對設計出的制冷系統進行整體性能的分析和估算。梁彩華等[13]則應用“移動邊界”方法對系統的換熱器進行建模分析。為得到適用于工程應用的解析模型，本文作者基于熵分析方法，結合Alefeld提出的解析模型以及換熱器的經典理論（ε-NTU理論）[14-15]對蒸氣壓縮式熱泵系統進行建模仿真。

1 蒸氣壓縮式熱泵模型建立

1.1 循環COP解析建模

為了簡化蒸氣壓縮式熱泵循環過程，提出以下假設：1）循環采用可逆絕熱的壓縮過程，即壓縮機的等熵壓縮系數為100%。2）制冷劑在循環過程中不存在過冷、過熱現象，即進入壓縮機的制冷劑為處于蒸發壓力下的飽和干蒸氣，進入膨脹閥的制冷劑液體為冷凝壓力下的飽和液體。基于以上兩個假設可得到該循環的壓-焓圖，如圖1所示。

圖1 簡單理想循環p-h圖

本文在德國學者Alefeld的簡化研究基礎上，通過進一步將模型中關鍵參數轉化成循環狀態點的溫度值，從而達到系統的性能系數（COP）更加有利于計算機編程計算的目的。所得的COP解析式如下：

式中：T1，T3，T2s分別為蒸發溫度，冷凝溫度，壓縮機等熵壓縮出口溫度；ηc為卡諾循環效率；ηi為壓縮機效率；r為工質的汽化潛熱；cp為工質的定壓比熱。

在COP解析式變量中，T2s為運行工質在過熱狀態下的溫度參數，它獲取不僅要借助實際氣體狀態方程，更要查閱精確的工質溫熵圖，對于模型的計算求解帶來諸多不便。因此，將T2s用工質的熱物性參數取代即可完成循環效率模型的構建。經查閱文獻[16]，溫度T2s與熱膨脹系數可以通過克拉貝隆方程完成相互轉換。在蒸氣壓縮式熱泵循環中，對于壓力小于10 MPa的過熱蒸氣，可視其為理想氣體從而使用克拉貝隆方程。根據理想氣體的狀態方程，將熱膨脹系數β用蒸發溫度進行替代，最終溫度T2s的替代結果是：

聯立式（1）與（2），完成了蒸氣壓縮式熱泵循環的制冷性能系數模型的建立，解析表達式如下：

對于蒸氣壓縮式熱泵循環，其熱力學循環效率均是通過工質的溫熵圖或狀態方程，結合焓平衡方程計算而得。該計算方法需要大量的計算資源和密集的編程工作。而本文推導出的解析模型極大地簡化了計算，為工程實際中快速計算模擬蒸氣壓縮式熱泵循環的熱效率提供了有力的工具。

1.2 基于ε-NTU理論的耦合建模

1.2.1 制冷機組與用戶側的耦合模型

蒸氣壓縮式熱泵系統中，通過蒸發器，冷凝器與冷卻塔的能量傳遞，建立用戶單元，制冷機組單元以及冷卻塔單元之間的聯系。依據換熱器理論，將ε-NTU理論分別應用于上述熱交換設備中，可聯立構成一套算法簡便的解析傳熱計算模型。實現制冷機組及冷卻塔系統耦合建模的關鍵參數如圖2所示：

圖2 制冷機組及冷卻塔系統能量傳遞圖

對于系統中發生相變的蒸發器及冷凝器，基于ε-NTU理論的換熱方程組如下：

式中：Q表示換熱量；（cpm）表示換熱介質的熱容量流率；NTU表示換熱器的傳熱單元數；ΔT表示換熱介質的進、出口溫度；ε表示換熱器有效度。

在對蒸發器及冷凝器運用有效度時，做出以下兩點近似：1）蒸發過程中發生相變，工質的定壓比熱可視為無限大。2）對于等熵工質與過熱回降不明顯的工質，近似等效冷凝過程溫度不變（恒為T3）。因此，蒸發器有效度εe與冷凝器有效度εc可分別表達為：

根據制冷系數與熱泵系數之間的關系，結合本文建立蒸氣壓縮式熱泵循環的制冷性能系數模型與換熱理論，制冷機組與用戶側的耦合模型即為：

式中：Th,in為冷卻水的進口溫度。

至此，通過制冷量Qe以及用戶側水流量參數的確定，即可求解出模型中其余全部變量。因此，制冷機組與用戶側的耦合模型建立完畢。

1.2.2 制冷機組與冷卻塔的耦合模型

大量研究中冷卻塔均被視為換熱器進行模型計算，因此將ε-NTU理論應用于冷卻塔中，且將逆流式冷卻塔等效為濕空氣與水的逆流換熱器進行建模。通過假定塔內空氣流的加濕過程等效為處于均勻溫度下濕表面的空氣流加濕過程，結合根據熱質交換原理，得到冷卻塔模型參數：

式中：ws,eff為 hs,eff所對應的飽和含濕量；win、wout分別為進出口空氣的含濕量；w為濕空氣含濕量；t為空氣溫度；Ta,out為冷卻塔出口處空氣溫度；ha,out為冷卻塔出口空氣的焓值；wout為進出口空氣的含濕量。

對于廣泛使用的水-水相變式制冷空調系統，鑒于系統中所有換熱器的傳熱單元數NTU以及系統運行制冷劑的熱物理參數均可通過軟件或手冊確定，通過系統在可研性分析時對系統運行溫度以及制冷量的評估，當系統在可研時加以確定運行工況，所建立的耦合模型均能對其余未知參數逐一求解。因而，完成了蒸氣壓縮式制冷機組與冷卻塔系統的耦合模型。

2 模型運行分析與討論

2.1 解析模型的驗證

采用不同制冷劑在設定工況下進行仿真實驗，通過傳統算法與COPT的誤差比對分析，從而確定解析模型的準確性。參考常規空調運行工況，蒸發溫度均不超過10℃，冷凝溫度一般低于40℃[17]。現取4種常見制冷劑，針對日常運行中由于用戶側需求的多樣性而導致選取的蒸發溫度不同，設定恒定冷凝溫度變蒸發溫度工況（即工況a）。具體工況參數在表1中列出：

表1 四種常見制冷劑的變蒸發溫度設計工況

兩種模型在設計工況下的計算結果如圖3所示：

圖3 變蒸發溫度傳統算法與解析模型計算結果對比圖

圖3以傳統算法計算值為參照對象，在工況a下，4種制冷劑在兩種模型中的最大相對誤差由大到小依次為：R32對應的最大相對誤差為6.76%，R22對應的最大相對誤差為3.75%，R143a對應的最大相對誤差為1.13%，R134a對應的最大相對誤差為0.52%。除R32以外，其余三種工質的模型誤差均小于4%，精度上足以證明解析模型正確與可靠。另外，兩種模型對于該工況下R134a制冷劑而言，可視為等效模型。

壓縮式冷熱水機組運行過程中，冷凝溫度同樣會發生一定范圍內的波動。因而對恒定蒸發溫度變冷凝溫度工況（即工況b）的實驗也尤為重要。工況b參數詳見表2：

表2 四種常見制冷劑的變冷凝溫度設計工況

圖4 變冷凝溫度傳統算法與解析模型計算結果對比圖

從圖4中，可以看出：R32對應的最大相對誤差為6.46%，制冷劑R22對應的最大相對誤差為3.39%，R134a對應的最大相對誤差為3.32%，R152a對應的最大相對誤差為1.40%。解析模型的誤差與工況a情況大致相同。但在工況b下，R134a在309～310 K之間，誤差出現了陡增現象，這點在工況a中完全不存在。通過研究發現，制冷劑工質R134a處于循環的過熱回降階段（2s-2”）時，其平均定壓比熱cp的值在310 K時，由 10 J/(kg·K)的增速突變為 363 J/(kg·K)。因此，此現象通過公式（3）得以詮釋。

經過兩個工況的模型對比，并結合對比卡諾效率后，模型計算結果均小于對應溫度下的卡諾效率，完成了對COP解析模型的驗證。為了更準確的應用解析模型，對模型中冷凝溫度取值范圍以及制冷劑物性參數選取方面的考量不可或缺。

2.2 工況變化對制冷機組性能的影響

2.2.1 工況變化對制冷機組性能的影響

圖5～7所示分別為制冷量，冷凍水流量和冷卻水流量的變化對于壓縮式制冷機組性能的影響結果。結合圖5～7可為提高制冷機組性能提供方向。

制冷量作為壓縮式制冷機組的重要輸出變量，因會氣候變化、人員多少等因素而波動不斷。通過采用R22為運行工質，實驗模擬壓縮式制冷機組的性能隨制冷量的變化趨勢，數據結果歸納于圖5。結果表明：當制冷量逐漸增加時，系統的制冷性能系數顯著降低。當系統其他參數不變時，蒸發溫度的降低或冷凝溫度的提高是兩個增大制冷量的因素，且蒸發溫度的下降以及冷凝溫度的升高，共同增加了系統的不可逆溫差，從而導致了制冷性能系數的下降，冷凝溫度與蒸發溫度則升高、降低的范圍均小于5℃。

圖5 制冷量變化對壓縮式制冷機組性能的影響

圖6為恒定機組制冷量為240 kW時，冷凍水熱容量流率對制冷機組性能的影響。從圖中可知：冷凍水熱容量流率的增加，致使系統的制冷系數升高，蒸發溫度升高而冷凝溫度下降趨勢并不明顯。當系統的制冷量確定且維持其余參數恒定時，隨著冷凍水熱容量流率的增加，蒸發溫度勢必升高。根據制冷效率的定義式，T3-T1的減小保證了COPR的增大。

圖6 冷凍水流量變化對壓縮式制冷機組性能的影響

冷卻水系統與壓縮式制冷機組僅在冷凝器中產生熱量交換，因此，蒸發溫度的變化對于冷卻水熱容量流率無直接關系，即蒸發溫度不隨冷卻水流量變化而改變。冷卻水熱容量流率的增加勢必會改變冷凝器側的換熱量Qc，冷凝溫度，COPR與冷卻水熱容量流率的變化關系如圖7所示。

圖7 冷卻水流量變化對壓縮式制冷機組性能的影響

2.2.2 工況變化對冷卻塔性能的影響

圖8～10是以冷卻塔出口的溫水是定值（即冷卻水進水溫度）為前提，通過制冷量、冷凍水流量和冷卻水流量的變化，對空氣冷卻形逆流式冷卻塔進行性能分析。

圖8 制冷量變化對冷卻塔性能的影響

從圖8中看出：隨著制冷量的增加，冷卻塔進水溫度，出口空氣干球溫度以及空氣質量流量均呈現上升趨勢。因為冷卻塔換熱量Qc增加，而冷卻塔進口空氣溫度依舊為環境溫度，則塔體出口空氣的溫度勢必升高，而進出口處空氣焓差的降低是導致空氣質量流量增加的直接因素。

圖9與圖10分別為冷凍水熱容量流率和冷卻水熱容量流率的變化對冷卻塔側性能的影響。實驗結果顯示：當冷凍水熱容量流率增加時，冷卻塔進水溫度Th,out下降趨勢緩慢，塔體出口空氣干球溫度降低、空氣質量流量的減小同樣不夠顯著。冷卻水熱容量流率的增加，會使冷卻塔進水溫度Th,out以及塔體出口空氣干球溫度Ta,out明顯下降，空氣質量流量顯著上升。綜上，對于實際工程運行中，先應當根據需求嚴格把控冷卻水流量。采用加大冷凍水流量的方法，可使系統維持在額定工況運行條件下，有效地提高系統的效率。

圖9 冷凍水流量變化對冷卻塔性能的影響

圖10 冷卻水流量變化對冷卻塔性能的影響

3 結論

本文基于ε-NTU理論建立僅以蒸發溫度和冷凝溫度為主要參數的蒸氣壓縮式熱泵循環模型，不僅經過驗證完全滿足精度要求，而且非常適合對實際工程的應用。并通過 R22，R32，R134a，R143a 與 R152a 等五種工質進行的模型仿真試驗，結果顯示：

1）制冷劑R22的COP值較高且性能表現穩定，與傳統算法相比，模型相對誤差在3.04%～3.75%之間。

2）系統采用R22作為運行制冷劑時，仿真結果表明：冷凍水流量變化對壓縮式制冷機組的性能影響和冷卻塔性能影響不明顯，而冷卻水流量變化對壓縮式制冷機組的性能影響和冷卻塔性能影響較大。