線性代數若干概念的教學與考研結合探討

王曉梅 劉文軍

摘要：矩陣的初等變換與矩陣的秩是線性代數的兩個非常重要的概念。本文中，作者依據多年的教學經驗，結合考研輔導，對矩陣的初等變換及其應用，矩陣的秩及相關結論的教學進行了歸納、總結和探討。

關鍵詞：矩陣;矩陣的初等行變換;矩陣的初等列變換;矩陣的秩

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）50-0191-02

在線性代數課程中，矩陣理論貫穿于整個課程，矩陣的初等變換是矩陣的一種運算，課程中的許多問題都需要用矩陣的初等變換來解決。矩陣的秩是矩陣的一個非常重要的數量指標，矩陣的秩及相關結論的教學是線性代數課程的重點與難點，也是考研學生必須熟練掌握的內容。下面分別就矩陣的初等變換與矩陣的秩的教學，結合考研輔導，作一些研究與探討。

一、矩陣的初等變換教學

矩陣的初等變換是矩陣的一種運算，線性代數中有如下的定理：

設A是一個m×n的矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣，對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣。

對一個非零矩陣施行初等變換，可以化簡這個矩陣，化簡后的矩陣與原矩陣有相同的秩，因為有定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。

1.用矩陣的初等行變換化非零矩陣為行階梯形矩陣。在這一部分的教學中，注重“行階梯形矩陣”這一概念的教學，非零矩陣的行階梯形矩陣的特征是非零行的第一個非零元稱為主元，主元所在列的下面的元素全為零，零行在非零行的下面，特別強調：一個矩陣的行階梯形矩陣不唯一，但是行階梯形矩陣中非零行的行數是唯一確定的，就是該矩陣的秩。

2.用矩陣的初等行變換化非零矩陣為行最簡形矩陣。在解線性方程組Ax=b中，需將方程組的增廣矩陣化為行最簡形矩陣，同樣教師應強調非零矩陣的行最簡形矩陣的特征：主元為1，主元所在的列的其他元素全為0的行階梯形矩陣，且一個非零矩陣的最簡形矩陣是唯一的。

在教學中教師可以啟發學生：什么樣的矩陣形式最簡單？如何繼續用初等行變換將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣？

3.用矩陣的初等變換化非零矩陣為標準形。在將非零矩陣化為行最簡形后，如果再作初等列變換進行化簡，最終可化為標準形，非零矩陣的標準形是唯一的，在此教師應強調滿秩方陣，即可逆矩陣的標準形為同階的單位矩陣，即A為n階方陣，且R（A）=n，則A的標準形為n階單位矩陣。

二、矩陣的初等變換在課程中的應用

矩陣的初等變換在線性代數課程中有著廣泛的應用，許多問題的解決都要用到初等變換，教師應加以歸納總結。

解決下列線性代數的問題，均用到矩陣的初等變換。

教學中應注意到：學生往往分不清什么情形下用行變換，什么情形下可以用列變換，且應將矩陣的初等變換在課程中的應用加以歸納總結。

三、矩陣的秩的教學

關于“矩陣的秩”的定義，不同的教材有不同的處理，比較常見的有：（1）將“矩陣的秩”定義為矩陣的非零子式的最高階數，而計算矩陣的秩的方法是：對矩陣施行初等行變換，化矩陣為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數即為矩陣的秩。（2）將“矩陣的秩”定義為它的行階梯形矩陣非零行的行數，而把“矩陣的秩”是矩陣的非零子式的最高階數作為等價定義，不管哪種形式的定義，由于涉及的概念較多，較抽象，對于我校學生來講，都是一個難點，教師需在課時緊的情形下，拿出足夠的時間精心講解，舉例示范，突破難點。

四、矩陣的秩在線性代數課程中的應用

矩陣的秩的概念與相關結論教學在線性代數課程中具有重要地位，具體體現在。

（一）線性方程組 解的判定

（三）向量組的秩

線性代數課程中將矩陣的秩的概念推廣到了向量組，且有定理5，矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。這一定理，使得求有限個向量組成的向量組的秩的問題轉化為求矩陣的秩的問題。

通過上面的論述，我們清楚看到矩陣的初等變換及應用，矩陣的秩與相關結論在線性代數課程學習與考研中有著重要的地位與作用，因此教師在教學中需潛心鉆研，抓住重點，突破難點，拓廣教材的深度與廣度，給考研的同學提供幫助，方能取得良好的教學效果。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編工程數學線性代數（第五版）[J].北京：高等教育出版社，2007.

[2]萬勇，李兵.線性代數（修訂版）[J].復旦大學出版社，2013，（12）.