線性代數(shù)若干概念的教學(xué)與考研結(jié)合探討

王曉梅 劉文軍

摘要：矩陣的初等變換與矩陣的秩是線性代數(shù)的兩個(gè)非常重要的概念。本文中，作者依據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合考研輔導(dǎo)，對(duì)矩陣的初等變換及其應(yīng)用，矩陣的秩及相關(guān)結(jié)論的教學(xué)進(jìn)行了歸納、總結(jié)和探討。

關(guān)鍵詞：矩陣;矩陣的初等行變換;矩陣的初等列變換;矩陣的秩

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）50-0191-02

在線性代數(shù)課程中，矩陣?yán)碚撠灤┯谡麄€(gè)課程，矩陣的初等變換是矩陣的一種運(yùn)算，課程中的許多問(wèn)題都需要用矩陣的初等變換來(lái)解決。矩陣的秩是矩陣的一個(gè)非常重要的數(shù)量指標(biāo)，矩陣的秩及相關(guān)結(jié)論的教學(xué)是線性代數(shù)課程的重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是考研學(xué)生必須熟練掌握的內(nèi)容。下面分別就矩陣的初等變換與矩陣的秩的教學(xué)，結(jié)合考研輔導(dǎo)，作一些研究與探討。

一、矩陣的初等變換教學(xué)

矩陣的初等變換是矩陣的一種運(yùn)算，線性代數(shù)中有如下的定理：

設(shè)A是一個(gè)m×n的矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣，對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。

對(duì)一個(gè)非零矩陣施行初等變換，可以化簡(jiǎn)這個(gè)矩陣，化簡(jiǎn)后的矩陣與原矩陣有相同的秩，因?yàn)橛卸ɡ恚壕仃嚨某醯茸儞Q不改變矩陣的秩。

1.用矩陣的初等行變換化非零矩陣為行階梯形矩陣。在這一部分的教學(xué)中，注重“行階梯形矩陣”這一概念的教學(xué)，非零矩陣的行階梯形矩陣的特征是非零行的第一個(gè)非零元稱為主元，主元所在列的下面的元素全為零，零行在非零行的下面，特別強(qiáng)調(diào)：一個(gè)矩陣的行階梯形矩陣不唯一，但是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的，就是該矩陣的秩。

2.用矩陣的初等行變換化非零矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣。在解線性方程組Ax=b中，需將方程組的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，同樣教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)非零矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣的特征：主元為1，主元所在的列的其他元素全為0的行階梯形矩陣，且一個(gè)非零矩陣的最簡(jiǎn)形矩陣是唯一的。

在教學(xué)中教師可以啟發(fā)學(xué)生：什么樣的矩陣形式最簡(jiǎn)單？如何繼續(xù)用初等行變換將行階梯形矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣？

3.用矩陣的初等變換化非零矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形。在將非零矩陣化為行最簡(jiǎn)形后，如果再作初等列變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終可化為標(biāo)準(zhǔn)形，非零矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，在此教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)滿秩方陣，即可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形為同階的單位矩陣，即A為n階方陣，且R（A）=n，則A的標(biāo)準(zhǔn)形為n階單位矩陣。

二、矩陣的初等變換在課程中的應(yīng)用

矩陣的初等變換在線性代數(shù)課程中有著廣泛的應(yīng)用，許多問(wèn)題的解決都要用到初等變換，教師應(yīng)加以歸納總結(jié)。

解決下列線性代數(shù)的問(wèn)題，均用到矩陣的初等變換。

教學(xué)中應(yīng)注意到：學(xué)生往往分不清什么情形下用行變換，什么情形下可以用列變換，且應(yīng)將矩陣的初等變換在課程中的應(yīng)用加以歸納總結(jié)。

三、矩陣的秩的教學(xué)

關(guān)于“矩陣的秩”的定義，不同的教材有不同的處理，比較常見(jiàn)的有：（1）將“矩陣的秩”定義為矩陣的非零子式的最高階數(shù)，而計(jì)算矩陣的秩的方法是：對(duì)矩陣施行初等行變換，化矩陣為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即為矩陣的秩。（2）將“矩陣的秩”定義為它的行階梯形矩陣非零行的行數(shù)，而把“矩陣的秩”是矩陣的非零子式的最高階數(shù)作為等價(jià)定義，不管哪種形式的定義，由于涉及的概念較多，較抽象，對(duì)于我校學(xué)生來(lái)講，都是一個(gè)難點(diǎn)，教師需在課時(shí)緊的情形下，拿出足夠的時(shí)間精心講解，舉例示范，突破難點(diǎn)。

四、矩陣的秩在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用

矩陣的秩的概念與相關(guān)結(jié)論教學(xué)在線性代數(shù)課程中具有重要地位，具體體現(xiàn)在。

（一）線性方程組 解的判定

（三）向量組的秩

線性代數(shù)課程中將矩陣的秩的概念推廣到了向量組，且有定理5，矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。這一定理，使得求有限個(gè)向量組成的向量組的秩的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求矩陣的秩的問(wèn)題。

通過(guò)上面的論述，我們清楚看到矩陣的初等變換及應(yīng)用，矩陣的秩與相關(guān)結(jié)論在線性代數(shù)課程學(xué)習(xí)與考研中有著重要的地位與作用，因此教師在教學(xué)中需潛心鉆研，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，拓廣教材的深度與廣度，給考研的同學(xué)提供幫助，方能取得良好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

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