實二次型的教學探索

卞小霞　季紅蕾

摘要：二次型理論在經濟管理、工程技術等領域有較多應用，其本身在線性代數課程中又是矩陣理論的應用，教學中應予以重視。本文結合教學實踐，探討二次型教學中需突出的重點。

關鍵詞：二次型；矩陣；變換；正定性

中圖分類號：O151 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）50-0195-02

在本科數學公共基礎課中，線性代數是一門古老的數學學科，特點是概念較多、內容抽象，而數學的本質屬性包括抽象和概念，無法回避。這時需要教師進行相應處理，化解問題，即盡可能地從實際背景中提取問題，使概念可視化、可理解化，類比分析較復雜的內容，并延伸探討使學生能課外思考，針對這幾點，本文提出以下思路。

一、情境創設

因實際問題中遇到的矩陣往往不滿足對稱性，即一般矩陣的正定性在實際應用中更加頻繁，比如本文第一部分中航天器姿態問題，姿態穩定性的證明就需要利用非對稱實矩陣的正定性。為此不少學者針對矩陣的正定性做了大量研究工作。殷慶祥等得到了矩陣正定性判別的不同結果[3，4]。

（二）Matlab可視化教學

二次型中有較多的代數表達式，內容難免抽象，教學中可以利用Matlab的可視化效果使學生能直觀認識一些概念，加強理解的效果。下面以正交變換過程為例。

例：利用正交變換將（1）式化為標準形。

在命令框中輸入：A=[53；35]；[V，D]=eig（A）；

即可得到結果：V=[-0.701 0.701；0.701 0.701]；D=[20；08].

此外，教師利用“meshgrid，plot3”等命令還可以分別作出正定、負定、不定二次型的圖形，直觀比較之下降低了內容的難度，也使教學過程生動鮮活，從而學生才能興趣盎然地參與課堂。

四、結論

目前，高等教育已經從精英教育轉向大眾教育，筆者所在的工科院校較大比例的學生不從事數學研究工作，這種情況下讓學生掌握現代數學思想、數學方法，加強學生的應用能力、邏輯思維、創造精神的培養才是更重要的。我們在教學過程中需要加強應用背景的探討，所學知識的類比分析，請學生課外自主延伸閱讀，調動學生的積極主動性。在這樣的學習方式下，學生在將來的工作中才能更好地應用所學知識解決實際問題。

參考文獻：

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]陳萬勇，等.線性代數[M].電子工業出版社，2013.

[3]李炯生.實方陣的正定性[J].數學的實踐與認識，1985，（3）：67-73.

[4]錢云，顧傳青. 矩陣正定性的進一步推廣[J].應用數學與計算數學學報， 2014，（28）：215-217.