矩陣多項式的逆矩陣的計算

原子霞

摘要：從給定的矩陣等式，求相應的矩陣多項式的逆矩陣是線性代數教學中的一類重要問題。本文利用多項式的除法介紹求矩陣多項式的逆矩陣的一個簡單計算方法，使得這類問題計算更容易。

關鍵詞：矩陣多項式；逆矩陣；多項式除法

中圖分類號：O151 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）52-0161-02

一、引言

矩陣的求逆運算是線性代數中的重點內容之一，矩陣多項式的逆矩陣是逆矩陣的最直接延伸。在線性代數中，經常會遇到求矩陣多項式的逆矩陣的問題：設A是一個n階矩陣，f（x）是代數多項式，求矩陣A的多項式f（A）的逆矩陣。對這類問題，文獻[1-2]中的方法主要是通過觀察構造來求解。

例1 已知矩陣A滿足A2-A-2E=O，證明矩陣B=A-E可逆并求其逆矩陣。

上面例題中證明和計算事實上是一個問題，只要從已知條件A2-A-2E=O中湊出（A-E）×？=E或者？×（A-E）=E即可。解答：由已知條件分解因式，得 A（A-E）=E，故矩陣A-E可逆，且（A-E）-1= A。

上面的方法通過對已知的矩陣方程進行因式分解，然后運用逆矩陣的定義求出因子，即矩陣B的逆。但并不是所有多項式都能快速容易地進行因式分解，上面例子中求矩陣多項式的逆矩陣的方法較煩瑣且需要一定的運算技巧。為此，文獻[3-6]利用多項式的性質給出了求多項式矩陣的逆矩陣的一些方法和計算公式，但技巧性強不易被初學者掌握。本文在改進前人結論的基礎上，利用多項式的除法技巧，對此類問題給出一個簡單易學的計算方法并舉例說明其應用。

二、主要結果

定理1 設A為一個n階矩陣，C為復數域，多項式f（x），g（x）∈C[x]，deg（f（x））≥deg（g（x））≥1，f（A）=O.若存在多項式 （x）∈C[x]和非零常數c使得f（x）=g（x） （x）+c，則矩陣多項式g（A）可逆且

[g（A）]-1=- （A）.

證明 根據多項式方程f（x）=g（x） （x）+c和f（A）=O，可得矩陣方程f（A）=g（A） （A）+cE，簡單計算得到，g（A）可逆且[g（a）]-1=- （A）.證畢.

三、舉例應用

下面舉例說明上面定理的應用。

例2 已知矩陣A滿足A2+3A+2E=O，證明矩陣2A+E可逆，并求其逆矩陣。

分析 從條件A2+3A+2E=O因式分解湊出（2A+E）×？=E不容易。若令f（x）=x2+3x+2，g（x）=2x+1，則利用多項式除法有f（x）=g（x） x+ + .從而可以利用定理1中的結論對例2進行證明并求解。

證明：根據多項式方程f（x）=g（x） x+ + 和題中條件有O=f（A）=g（A） A+ E+ E，對上式移項，整理得到（2A+E）- A- E=E.從而矩陣2A+E可逆，且（2A+E）-1=- A- E.

四、推廣討論

定理1的條件要求deg（f（x））≥deg（g（x））≥1，如果遇到deg（f（x））

從上面的討論可以看到，利用多項式除法來解決這類從給定的矩陣等式來求相應的矩陣多項式的逆矩陣的問題是很簡單高效、容易掌握的。

參考文獻：

[1]黃廷祝，成孝予.線性代數與空間解析幾何[M].第4版.北京：高等教育出版社，2015.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003.

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