對稱的2-通道正交多濾波器組的參數化

張海波，張媛媛

(1.吉林化工學院 理學院,吉林 吉林 132022；2.吉林財經學校 公共基礎教研室,吉林 吉林 132022)

多小波是小波理論的新發展，多小波指的是兩個或兩個以上的函數作為尺度函數生成小波.因為多小波可以同時具有很多良好的性質，如緊支撐性，正交性，對稱性等，使得多小波比單小波有很多的優勢.在某些情況下可以構造具有想要性質的多小波.在[1]中總是要求多濾波器組的參數化，參數化不僅能減少自由變量數也能減少限制，否則在最優化[2]中那些限制必須被強加，而且生成正交多濾波器組的仿酉系統的完全參數化經常為最優化設計和快速實現提供一個有效的構造.

在這篇文章中，我們將討論對稱/反對稱的2-通道正交多濾波器組的參數化.由于多濾波器能通過它的多相矩陣被表示，正交多濾波器組的參數化能被簡化成一個相應的仿酉矩陣.在[3]和[4]中已經指出仿酉系統的參數化對濾波器組的設計非常重要.基于前面的結果，我們將繼續討論具有對稱/反對稱的2-通道正交多濾波器組的參數化.

1 基本的定理和定義

定義1.1 對于某個常數，如果向量函數F(x)=(f1(x),f2(x),L,fr(x))T滿足

fj(cj-x)=sjfj(x),sj=1 或者-1,1jr,

(1)

多小波系統的對稱/反對稱性能通過其相應多濾波器組來刻化，我們得到

H(z)=z-γdiag(D0,D1)H(z-1)D0

(2)

等價地有

hi(k)=Dihi(γ-k)D0,0kγ

(3)

其中Di=diag(ti0,ti1),i=0,1.

此外，由引理1.1我們能夠將這種對稱性通過其多相矩陣來體現.

定理1.1[5]設多濾波器組H(z)生成正交多小波系統，那么當γ=2L時，H(z)具有對稱中心L當且僅當其多相矩陣EL(z)滿足

EL(z)=z-(L-1)diag(D0,D1)EL(z-1)diag(z-1D0,D0)

(4)

2 主要結果

當γ=2L時，多濾波器組H(z)的長度為2L+1.求正交多濾波器組H(z)參數化問題就轉化為求其仿酉多相矩陣EL(z)的相應問題.我們通過幾個變換將EL(z)的參數化問題歸結為滿足條件的另一個仿酉矩陣BL-1(z)的參數化問題，然后應用前面的結果定理以及相應的逆變換，我們就能夠得到EL(z)的參數化形式，進而能夠給出H(z)的參數化形式.

定理2.1 設多濾波器組H(z)是正交的且具有對稱中心L.那么其矩陣加細面罩與小波面罩Hi(z)(i=0,1)的系數hi(0)(i=0,1)具有如下形式[6,7]

或者

推論2.1 當γ=2L時，多濾波器組H(z)的長度為2L+1.則其多相矩陣EL(z)是因果的，仿酉的且滿足(4)式且給出的矩陣EL(z)是因果的，仿酉的并且滿足

E1(z)=z-(L-1)diag(J2,J2)E1(z-1)diag(z-1J2,J2).

證明首先,通過U的正交性及EL(z)的仿酉性，可知E1(z)是仿酉的，因果的.

E1(z)=UEL(z)U-1

=z-(L-1)(Udiag(D0,D0)U-1)(UELz-1U-1)(Udiag(z-1D0,D0)U-1)

=z-(L-1)diag(J2,J2)E1(z-1)diag(z-1J2,J2).

于是,我們有下面的結果.

定理2.2 當γ=2L時，多濾波器組H(z)的長度為2L，EL(z)是H(z)的多項矩陣.則有EL(z)是因果的，仿酉的且滿足(4)當且僅當EL(z)能被參數化為

其中a,b是2×2正交矩陣，我們知道

定理2.3 當γ=2L時，多濾波器組H(z)的長度為2L，則H(z)是因果的，仿酉的且滿足(2)的充分必要條件是H(z)能被參數化為

其中a,b是2×2正交矩陣.

算例 通過定理2.3，我們能假設

設

將ω,υ代入，可得

因為Chui-Lian多尺度函數的第一個分量是對稱的，第二個分量是反對稱的，可知向量是的相應于特征值1的特征向量.因此

其中