一種導彈捷聯慣導/地磁/雷達高度表組合導航方法

靳宇航，王海涌，劉 濤，賈平會，王永海

(1.北京航空航天大學宇航學院，北京100191；2.北京航天萬源科技有限公司，北京100176；3.北京航天長征飛行器研究所，北京100076)

0 引言

在導彈的導航系統中,慣性/天文/GPS三者或兩兩之間的組合導航是目前組合導航的主要研究范疇。其中,慣性/天文組合導航系統、慣性/GPS組合導航系統已經得到應用,但仍有一定的局限性。星敏感器成本高、體積大、價格昂貴,應用時需要主動控制以保障姿態穩定,避免成像拖尾。GPS及北斗導航信號易受干擾,在實戰中難以使用。地磁導航具有自主性,長期工作無積累誤差,隨著器件和算法的發展,地磁導航越來越引起了人們的關注。因此,某些型號應用自主導航、轉向慣性和地磁的組合尋求技術解決方案。地磁場的磁強范圍在50000nT～60000nT之間,目前已有的三軸磁強計分辨率可達0.1nT,MEMS磁強計的分辨率可以達到10nT左右,可以用于地磁輔助導航。慣性/地磁組合導航主要有基于批處理算法的地磁匹配輔助導航和地磁序貫濾波輔助導航兩種方式。前者是將地磁匹配定位算法得到的載體位置估計作為量測輸入,再利用濾波技術估計慣導系統的誤差,該算法需要存儲大量的地磁數據,并且累積一段路徑才能完成定位,實時性較差；后者直接利用磁強計的測量值作為濾波器的量測輸入,需要的存儲空間較小,同時結合遞推濾波技術,直接把地磁測量值作為觀測量,每獲得一個測量值便對系統進行實時更新,具有連續修正能力,導彈和衛星通常采用后者。

雷達高度表(Radar Altimeter,RA)作為一種主動式距離傳感器,與氣壓高度表和激光高度表相比,雷達高度表具有測高范圍大、精度高、功耗低、體積小等優點。雷達測距技術已成功應用于軌道測量、彈道修正、衛星定位、交會對接、巡航制導、航天著陸、大地測量、微波遙感等方面。本文利用雷達高度表的測量信息,建立了一種估計導彈位置的方法,結合磁強計的輸出進行姿態矯正,用一個觀測式就可以包含姿態和位置信息,實現對導彈的組合導航。

1 地磁場模型

地磁場是一個矢量場,它是時間和位置的函數,但是地磁場隨著時間變化緩慢,目前普遍采用的全球地磁模型有國際地磁參考場模型(IGRF)和世界地磁模型(WMM)。本文取用IGRF作為研究的背景場,地磁場勢函數V表示為:

式中,Re表示地球半徑,r表示載體的地心距,λ表示地理經度,θ代表了地理緯度,gmn(t)和hmn(t)是Gauss系數,IGRF模型提供相應的Gauss系數表,Pmn(cosθ)為Schmidt準歸一化n次m階Legendre函數。

地磁場強度B在地磁球面坐標系f與地球坐標系e中的轉換關系如圖1所示。

從而得到地磁場矢量B在地球坐標系e下的矢量Be,表示為:

2 捷聯慣導/地磁/高度表組合系統模型

本文涉及的坐標系有:導彈發射點慣性坐標系l系、地球坐標系e系、地心慣性系i系、本體坐標系b系。 文中以發射點慣性系l系為導航坐標系,建立捷聯慣導/地磁/雷達高度表組合導航系統的狀態方程和量測方程。

2.1 組合導航系統狀態方程

系統狀態模型為慣性導航系統的誤差模型,慣性器件加速度計、陀螺建模零偏和白噪聲的疊加,建立15維狀態方程:

其中,狀態變量為:

其中,?x、?y、?z為捷聯慣導數學平臺失準角,δvx、δvy、δvz為發射點慣性系3個軸上的速度誤差, δx、 δy、 δz為位置誤差,εx、εy、εz為陀螺儀常值漂移,為加速度計常值偏置。系統噪聲為:

式中,各項分別為三軸陀螺儀誤差和三軸加速度計誤差,均建模為Guass白噪聲。

2.2 雷達高度表量測模型

導彈在飛行過程中,通過向地球反射表面(海平面或地表平面)發射一系列雷達脈沖,由彈上雷達信號接收機測得回波信號后,可根據時間間隔Δt得到雷達高度表測量高度H′為:

其中,c為電磁波傳播速度。為了獲得雷達高度表測得的海拔觀測高度Ho,需在實測值H′的基礎上進行高度補償,即:

補償值Δh由當地地表海拔等因素決定。

接下來推導高度表的輸出和捷聯慣導解算高度的關系,導彈的高度示意圖如圖2所示。其中,Re為當前所在位置的地球半徑,Re0為發射點至地心距離。

在l系Ol－XlYlZl下,位置矢量OlP與發射點水平面夾角θ0滿足:

式中,x、y、z分別為慣導位置解算結果在l系下的坐標,則該時刻慣導測得的海拔計算高度Hc為:

Hc與Ho之差ΔH滿足如下關系:

其中,

wh為誤差項,受導航誤差及量測噪聲影響。δx、δy、δz分別為捷聯解算與標稱彈道的位置誤差。

2.3 地磁量測模型

(1)姿態誤差角與平臺失準角的關系

在捷聯慣性導航系統中,載體姿態角是通過姿態矩陣計算出來的。理想情況下,導航計算機計算的導航坐標系(?系)應和理想的導航坐標系(l系)一致,然而,實際計算的導航系與理想的導航系之間將產生偏差,對應的誤差角為平臺失準角,用角矢量表示。 在小角度假設下,l系與?系之間滿足如下關系:

式中,[φ×]為平臺失準角φ的反對稱矩陣。定義姿態誤差角矢量η為:

式中,Cb?為捷聯解算的姿態矩陣。忽略2階小量,可得l系下姿態誤差角與平臺失準角關系:

式中,M為誤差角轉換矩陣:

(2)地磁觀測模型

三軸磁強計測量值Bm可表示為:

磁強計在載體預估狀態下,根據地磁場模型計算的地磁場強度值Bc可表示為:

定義上述磁強計測量值Bm與根據地磁場模型計算的地磁場強度值Bc之差為量測Z1:

地磁場矢量Bb與其估計值之間滿足如下數學關系:

將式(22)和式(23)代入式(21)中,可得:

由式(25)可知,磁強計測量誤差主要由兩部分組成:姿態誤差引起的測量誤差和位置誤差引起的測量誤差,本文重點研究姿態部分引起的誤差。

式(25)右邊第一項可以簡寫成:

根據微分運算法則:

式中,Bl為地磁場矢量在l系下的表示。定義為:

得到:

由于組合系統狀態變量中代表姿態信息的是平臺失準角φ,而式(31)中的量測是用姿態誤差角η表示的,將前面推導的它們的關系代入式(31)中,得到:

因此,地磁量測模型為:

其中,量測矩陣H1滿足:

2.4 系統觀測方程

在推導了雷達高度表和磁強計的觀測模型之后,得到如下的系統觀測方程:

式中,[η×]為姿態誤差角η的元素組成的反對稱矩陣。將式(28)和式(29)代入式(26),可得:

Z(t)包含地磁誤差Z1和高度誤差Z2兩部分,。 其中,H1的 表達如式(34)所示,

V為觀測噪聲,仿真設定參考實際器件誤差。

2.5 濾波器設計

本文推導得到的測量方程是非線性方程,采用工程上常用的擴展Kalman濾波方法,并采用反饋矯正濾波器。圖3為組合導航系統原理圖。H2表達式如下所示:

擴展Kalman濾波方程為以下形式:

3 仿真分析

3.1 仿真條件

1)導彈發射點位于北緯 39.98°,東經116.34°,采用垂直向東發射,主動段飛行時間為160s,全程飛行時間為1000s。

2)初始俯仰角為90°,偏航角為0°,橫滾角為0°；俯仰角誤差為3′,偏航角誤差為6′,橫滾角誤差為 3′。

3)采樣周期:陀螺及加速度計為0.01s,磁強計和高度表為0.1s,Kalman濾波周期為0.1s。

4)元器件參數:陀螺常值漂移為0.003(°)/s,陀螺測量白噪聲標準差為0.0003(°)/s；加速度計常值偏置為1mg,加速度計白噪聲標準差為0.1mg；磁強計測量誤差為100nT；雷達高度表測量誤差為50m。

3.2 仿真結果及分析

捷聯慣性導航及與磁強計高度表組合導航相應的位置誤差、速度誤差、姿態角誤差如圖4～圖8所示。經過1000s的飛行,純捷聯解算的位置誤差為44.58km,速度誤差為52.40m/s,俯仰角誤差為3.21°,偏航角誤差為3.07°,橫滾角誤差為2.94°。利用磁強計和高度表進行組合導航之后,上述誤差的發散均得到有效抑制,位置誤差為2.68km,速度誤差為8.4m/s,俯仰角誤差為0.31°,偏航角誤差為0.25°,橫滾角誤差為0.19°。

由仿真結果可知,加上磁強計和高度表之后進行組合,導航精度得到明顯的提高。因為測量方程中既包含了姿態誤差,又包含了位置誤差,引入了磁強計和高度表的測量值,采用濾波估計的方法能夠較好地估計系統的誤差。

4 結論

本文基于雷達高度表和磁強計的測量信息,提出一種導彈捷聯慣性/地磁/高度表組合導航方法。以捷聯慣導誤差方程為基礎建立系統的狀態模型,以磁強計測量值、地磁場模型計算的地磁場強度之差和高度表測量與捷聯慣導解算高度之差共同作為量測,只用一個觀測表達式即同時包含載體的位置和姿態信息。引入狀態反饋,通過混合校正的Kalman濾波進行信息融合,得到系統導航信息的最優估計。仿真結果表明,該算法能有效抑制捷聯解算誤差的發散。值得一提的是,慣性器件和磁強計可以選用低成本、中等精度的MEMS器件,經過組合導航之后可以到達較高的精度,該方法完全自主,具有一定工程應用價值。