核磁共振陀螺原子核自旋進動的建模與仿真

陳曉格，舒 強，朱明智，汪寶旭

(中國工程物理研究院總體工程研究所，綿陽621999)

0 引言

核磁共振陀螺以原子核自旋磁矩的Larmor進動為參考基準,通過檢測激光測量陀螺載體相對慣性空間轉動引起的Larmor進動頻率或相位改變,來獲取載體的轉動角速率或角位移。核磁共振陀螺不包含運動部件,對加速度不敏感,同時具有高精度、小體積、低功耗的優點,是新一代陀螺技術的典型代表[1]。

1952年,美國通用電氣公司提出利用核自旋角動量的定軸性研制原子自旋陀螺儀。此后,美國Litton公司、Singer-Kearfott公司、Northrop Grumman公司、斯坦福大學、加州大學等開展了相關研究工作[2-3]。2004年,美國Northrop Grumman公司基于Litton公司的原理樣機開始了微型導航級核磁共振陀螺的研制,并于2013年研制出了體積為10cm3、角度隨機游走為 0.001(°)/h1/2、零偏穩定性為0.02(°)/h的核磁共振陀螺[4]。

在國內,據報道,已有研究單位成功研制了微型核磁共振陀螺原理樣機,其他研究單位的成果主要集中于核磁共振陀螺的原理驗證、方案設計、關鍵部件研制階段[5-9],與國外相比還有明顯的差距。

本文以基于87Rb-129Xe的核磁共振陀螺為例,通過對陀螺惰性氣體原子核自旋進動力學方程的分析,從相位控制的角度討論了橫向激勵磁場的幅值和相位對惰性氣體原子宏觀磁矩Larmor進動的影響。建立了宏觀磁矩進動的動力學模型,并進行了仿真,實現了宏觀磁矩進動的穩態自激振蕩,以及陀螺轉動角位移信號的提取、解卷繞處理。

1 核磁共振陀螺的工作原理

核磁共振陀螺的工作原理如圖1所示[10]。

惰性氣體原子具有自旋核磁矩,在外加恒定磁場中會圍繞外磁場進行Larmor進動,進動頻率為:

式中,γ為原子核旋磁比,B0為恒定磁場強度。

在自然狀態下,核磁矩的指向雜亂無章,各原子核磁矩相互抵消。采用z軸方向的圓偏振泵浦光通過光子角動量的傳遞極化堿金屬原子,通過堿金屬原子與惰性氣體間的自旋交換作用極化惰性氣體原子,使得惰性氣體原子在z軸方向獲得宏觀磁化強度M,即宏觀磁矩。在x軸方向施加振蕩頻率為惰性氣體Larmor進動頻率的橫向激勵磁場B1cos(ω0t),使得宏觀磁矩M偏離縱向恒定磁場B0,在xy平面內出現橫向分量M⊥,并繞z軸方向以Larmor頻率進行進動。采用固聯在陀螺載體上的檢測激光測量宏觀磁矩水平分量M⊥, 當陀螺相對慣性空間以角速率ωr繞z軸轉動時,檢測激光測得的進動頻率ω既包含M⊥的進動頻率ω0, 又包含陀螺轉動角速率ωr, 并且滿足:

在式中,當陀螺轉動方向與M⊥進動方向一致時,ωr取正值,反之取負值,從而實現載體轉動角速率的測量。

同理,探測光檢測的進動相位φ也包含M⊥的進動相位φ0和陀螺轉動角位移α, 且滿足:

通過對探測光檢測信號進行處理,即可獲取陀螺轉動角位移信息,進而實現載體轉動角位移的測量。

2 核磁共振動力學分析

2.1 橫向激勵磁場對129Xe原子自旋進動的影響

從宏觀層面,Bloch方程可以很好地描述宏觀磁矩M和磁場的相互作用。考慮光泵浦極化堿金屬原子與惰性氣體原子之間的自旋交換極化作用、原子與氣室壁的碰撞,以及由磁場梯度等因素引起的宏觀磁矩的弛豫,惰性氣體原子自旋進動的Bloch方程可表示為[11]:

假設在z軸方向施加恒定磁場B0,在x軸方向施加橫向激勵磁場B1cos(φ－β)。其中,B1為橫向激勵磁場的強度,φ為M⊥在xy平面的進動相位,β為激勵磁場相對于核自旋進動在x軸方向的相位滯后,磁場向量B可表示為:

橫向激勵磁場Bx可以等效為2個以z軸為旋轉軸且旋轉方向相反的圓偏振場的疊加,左旋圓偏振場如式(7)所示,右旋圓偏振場如式(8)所示。

其x分量疊加得到沿x軸方向的激勵磁場,而y分量相互抵消,如式(9)所示。

對于原子核自旋進動而言,當圓偏振場旋轉方向與原子核自旋進動方向相反時,原子核的自旋磁矩不受影響,只有與原子核進動方向相同的圓偏振場才能引起原子核自旋磁矩的能量吸收,形成宏觀意義上的核磁共振。假設宏觀磁矩M繞z軸沿逆時針方向進行Larmor進動,此時僅考慮Bx的右旋偏轉場,磁場向量B可等效為:

為簡化式(5),宏觀磁矩水平分量M⊥用相量形式表示:

即:

式中,M⊥為M⊥的模值,ω為M⊥的進動頻率。將式(11)、式(12)代入式(5)并分離實部和虛部,可得關于宏觀磁矩縱向分量Mz、水平分量M⊥的模值M⊥以及相位φ的微分方程,如式(13)所示。

將式(10)代入式(13),可進一步化簡為:

可得M⊥和Mz的穩態解:

由式(15)可知,在激勵磁場Bx與宏觀磁矩x軸分量Mx進動的相位差β恒定的前提下,原子核自旋宏觀磁矩進動達到穩態時,M的縱向分量Mz和水平分量模值M⊥不隨宏觀磁矩的進動而改變,即M偏離z軸向xy平面傾斜了一個固定角度θ,滿足:

將式(15)代入式(14)可得:

式中,ω為宏觀磁矩M的Larmor進動頻率；等號右側第1項(－γB0)為核磁矩在恒定磁場B0中的進動頻率,負號意味著當原子核自旋旋磁比γ＞0時,核自旋在磁場中的進動方向為繞z軸順時針方向,γ＜0時核自旋繞z軸逆時針方向進動；等號右側第2項(Γ2cotβ)為由激勵磁場相位滯后β引發的宏觀磁矩進動頻率的失諧量。由式(15)可知,通過控制激勵磁場的相位使β鎖定在π/2,即可消除Γ2cotβ項。此時,Bx可表示為 :

對比式(12)可知,使激勵磁場Bx與宏觀磁矩y軸分量My的相位保持一致,陀螺中工作介質原子宏觀磁矩的Larmor進動頻率將僅依賴于恒定磁場B0。β＝π／2時,將式(17)兩側對時間t進行積分,可得M⊥的進動相位:

式(15)可化簡為:

對于宏觀磁矩水平分量M⊥而言,在陀螺工作介質惰性氣體的同位素確定的情況下,旋磁比γ、弛豫率Г1及Г2均為常量,只有超極化率Rse、激勵磁場幅度B1影響其幅值。Rse對M⊥的影響是線性的,超級化率越高,信號強度越大；B1對M⊥的影響是非線性的,其值過大或過小都會導致M⊥信號強度減小。當激勵磁場幅值B1滿足時,宏觀磁矩水平分量模值M⊥取最大值。此時,宏觀磁矩水平分量的進動信號最強,更容易被檢測到。

2.2 陀螺轉動對129Xe原子自旋進動的影響

以上對陀螺相對慣性空間不轉動時的核磁共振動力學模型進行了分析。當陀螺隨載體以角速率ωr繞z軸轉動時,相對于陀螺載體可等效于在z軸方向施加了磁場ωr／γ[12],z軸方向上的磁場等效于:

將式(22)代入式(4),可得陀螺轉動時原子自旋進動的動力學模型:

當陀螺隨載體轉動時,橫向激勵磁場與惰性氣體原子宏觀磁矩水平分量M⊥相對載體系的相位關系將發生改變,即重新產生一個隨載體轉動而變化的相位差β。由2.1的分析可知,宏觀磁矩M與z軸的相對角度將發生變化,M⊥和Mz不再保持恒定狀態,M在繞z軸進動的同時也在z軸和xy平面之間波動,即宏觀磁矩出現了章動,直至達到新的平衡狀態。在這種情況下,很難利用宏觀磁矩水平分量的Larmor進動信號來獲取載體的轉動信息。為了維持原子核自旋進動穩定的核磁共振狀態,可以采取反饋控制方案,實時鎖定激勵磁場與惰性氣體原子核自旋進動的相位關系。假設陀螺隨載體系繞z軸逆時針轉動的角度為α,此時Bx的相位應滯后相等的角度,即等效旋轉磁場順時針轉動α角度,才能保持激勵磁場與宏觀磁矩水平分量的相位關系,使β＝π/2,激勵磁場應滿足:

激勵磁場與宏觀磁矩進動的相位關系鎖定后,將式(22)代入式(18)、式(19)替換B0,可得載體系檢測光測得的M⊥的進動頻率ω和φ,滿足:

式中,α＝∫ωrdt為陀螺相對慣性系的轉動角位移,φ0＝－γB0t為M⊥相對慣性系的進動相位。

由式(25)可知,陀螺中工作介質原子宏觀磁矩水平分量M⊥的進動相位/頻率受陀螺轉動角位移/角速率的線性調制。通過對宏觀磁矩水平分量進動信號進行檢測,在檢測信號中減去宏觀磁矩水平分量相對慣性系的進動相位/頻率,即可分離出陀螺的轉動角位移/角速率,實現載體轉動信息的測量。

3 Simulink建模與仿真分析

3.1 仿真模型的建立

根據2.2動力學模型,建立了核磁共振陀螺原子自旋進動的Simulink仿真模型。模型封裝如圖2所示,輸入接口分別為x、y、z方向的磁場Bx、By、Bz,以及模擬陀螺轉動的角位移信號α；輸出接口分別為x、y、z方向的宏觀磁矩分量Mx、My、Mz。

實現核磁共振陀螺橫向激勵磁場的閉環控制需要提取檢測激光中包含的宏觀磁矩水平分量進動相位信息作為反饋信號,從仿真角度,直接采用宏觀磁矩進動信號y軸分量My進行相位反饋,可以驗證穩態核磁共振的條件。由2.2分析可知,宏觀磁矩水平分量的進動相位受陀螺轉動角位移的線性調制。對于相位調制信號,可以采用鎖相解調技術分離調制信號,但就核磁共振模型而言,其輸出信號包含核自旋進動信號的同相分量Mx和正交分量My,因而采用復信號解調方法構造相位比較器,可以簡單、快速地從自旋進動信號中分離陀螺角位移信號。激勵磁場反饋控制原理框圖如圖2所示,主要包括129Xe原子自旋進動模型、激勵磁場反饋控制模塊、相位比較器、相位解卷繞模塊。

磁場反饋控制模塊使激勵磁場瞬時相位實時跟隨My進動相位,實現了陀螺載體系轉動時工作介質原子宏觀磁矩的穩態進動。

相位比較器用于比較M⊥相對載體系的進動相位與參考信號瞬時相位的相位差,參考信號瞬時相位等于宏觀磁矩相對慣性坐標系的進動相位。對參考信號相移90°構造復信號,與以Mx為實部、My為虛部構造的復信號相乘,并對得到的以α為相角的復信號進行相角提取,即可得到陀螺轉動角位移。

相位比較器輸出的角位移幅度范圍為－π～＋π,當實際信號幅度｜α｜＞π時,角位移將在α＝＋π或α＝－π處發生跳變,即出現了相位卷繞。通過解卷繞處理,即可得到反映真實角位移變化的相位信號。

3.2 仿真結果和分析

本文中,陀螺工作介質惰性氣體為氙的同位素129Xe。129Xe的弛豫時間受原子氣室體積、氣室壁抗弛豫鍍膜材料、氣室磁場梯度、緩沖氣體原子密度等因素影響,其值通常為10s量級。諾格公司[13]已實現在2mm3氣室中的弛豫時間大于26s,在1mm3氣室中的弛豫時間大于22s；加州大學歐文分校[14]在微型氣室中實現了7.5s的弛豫時間。鑒于取值將直接影響宏觀磁矩進動達到穩態的時間,且不影響模型對其他參數的分析,為縮短仿真時間,假定橫向弛豫時間和縱向弛豫時間相等,均取1s,則弛豫率Г1＝Г2＝1。 旋磁比為γ＝－2π×11.86Hz/μT。外加恒定磁場B0的幅度通常為0.1G～10G[15]。仿真時采用Litton公司[16]的專利數據,取B0為11.4μT。橫向激勵磁場幅度根據K⊥達到最大值的條件取 0.026μT, 振蕩頻率等于129Xe原子的Larmor進動頻率135.2Hz。根據2.1的分析,Rse的取值僅影響宏觀磁矩的穩態幅值,與信號的性質無關,取Rse＝1。 仿真求解器選擇ode45,仿真步長為0.0001s,陀螺載體系不轉動時為10s,轉動時為12s。

圖3為陀螺載體系不轉動時,129Xe原子宏觀磁矩自旋進動的時域響應。由于激勵磁場幅值較小,為便于觀察,在圖3(d)中取10Bx。 可以看出,129Xe宏觀磁矩在外加磁場、87Rb超極化及弛豫因素的綜合作用下,在x、y、z方向的分量經過一定時間的建立過程最終達到穩定狀態,Mx、My的穩態幅度0.5與仿真參數代入式(21)的理論值吻合。同時可以發現,Mx、My以Larmor進動頻率進行進動且相位相差90°,My始終與Bx保持同相。

圖4為陀螺載體系不轉動時,不同激勵磁場幅值B1對x向宏觀磁矩分量Mx的影響。由圖4可知,磁場幅度過大或過小都將導致Mx穩態幅值減小。當B1取時,M幅度最大。此外,Mxx越小,宏觀磁矩建立穩態進動的過程越平穩,但響應速度較慢；隨著B1的增大,Mx建立穩態進動過程的振蕩更加激烈,但響應速度較快。

圖5為模擬陀螺載體系從仿真時間8s開始,在宏觀磁矩已建立穩態進動的情況下,以1rad/s勻速轉動時Mx的時域響應及模型輸出的角位移信號。圖5(a)為未對激勵磁場施加反饋控制的情況,可以看出,當載體系開始轉動時,Mx的穩定進動狀態被破壞,仿真模型輸出的角位移不能反映載體系的角運動狀態。圖5(b)為施加了激勵磁場反饋控制的情況,顯然,對橫向激勵磁場的閉環控制,保證了宏觀磁矩的穩定進動,仿真輸出角位移與實際角位移吻合程度較理想。

圖6為載體系模擬角位移信號分別為4sin(100πt)和4sin(10πt2)時的仿真輸出結果。 由圖6可知,模型可以很好地跟蹤陀螺載體系的非勻速角運動狀態。

4 結論

通過對核磁共振陀螺核自旋進動的建模、分析和仿真驗證,得出維持陀螺惰性氣體原子宏觀磁矩穩態Larmor進動的條件是保持激勵磁場相位與宏觀磁矩y向分量進動相位一致；激勵磁場的幅值對宏觀磁矩穩態進動的建立時間和穩態幅值有直接影響,

在選取激勵磁場時應進行綜合考慮；建立的反饋控制方案可以很好地實現對陀螺載體坐標系角運動狀態的跟蹤。通過修改參數,該模型可適用于其他工作介質的核磁共振陀螺仿真,對于核磁共振陀螺的方案設計、相關參數選取、陀螺轉動信號提取方案設計等具有一定的參考意義。