非線性電容RLC串聯(lián)電路的2次超諧共振分析

李高峰

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)部，河北 唐山 063000)

0 引言

以變?nèi)荻O管、參數(shù)放大器、混音器、傳感器等裝置設(shè)計(jì)電路時(shí)，電子元器件通常用非線性電容。詹士昌等研究了非線性RLC串聯(lián)諧振電路[1]。黃偲等給出了一類非線性RLC電路的新解法及數(shù)值仿真，從而算出電路的相軌線、時(shí)程曲線、相程曲線、時(shí)幅曲線、相幅曲線、幅頻曲線、相頻曲線和響應(yīng)周期，數(shù)值仿真顯示，結(jié)果與數(shù)值積分法吻合良好[2]。丁光濤利用Lagrange力學(xué)逆問題理論和方法，構(gòu)造了電感、電容和電阻三種耦合RLC電路的Lagrange函數(shù)和Hamilton函數(shù)[3]。郭曉瑩等在電容耦合RLC電路中，通過改變外部信號(hào)源的頻率，測(cè)量了傳輸?shù)降谝粋€(gè)RLC回路的功率隨信號(hào)頻率的變化關(guān)系[4]。楊志安等研究了非線性RLC電路與板和微梁耦合系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)問題[5-7]。潘杰等對(duì)RLC并聯(lián)諧振電路進(jìn)行了理論研究[8]。B.Nana等研究了鐵磁磁芯電感器件的非線性，分析了在由交流電源強(qiáng)迫的RLC串聯(lián)電路中電流的解析表達(dá)式[9]。國(guó)外學(xué)者還對(duì)非線性RLC電路動(dòng)力學(xué)問題和系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的條件等進(jìn)行了研究[10-12]。

筆者曾對(duì)非線性電容RLC串聯(lián)電路進(jìn)行過主共振和亞諧共振的研究[13-15]?，F(xiàn)本文從超諧視角，以RLC串聯(lián)電路的振動(dòng)微分方程為研究對(duì)象，研究非線性電容RLC串聯(lián)電路系統(tǒng)的2次超諧共振問題。

1 RLC串聯(lián)電路的振動(dòng)方程

根據(jù)拉格朗日-麥克斯韋方程，可得到該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

對(duì)式(1)進(jìn)行處理，可得著名的Duffing方程為

(2)

2 2次超諧共振理論分析

弱非線性振動(dòng)在非線性和阻尼項(xiàng)前面冠以小參數(shù)ε，可得

(3)

應(yīng)用多尺度法求2次超諧共振微分方程，設(shè)

q(T)=q0(T0，T1)+εq1(T0，T1)。

(4)

將式(4)代入式(3)得到一組線性偏微分方程

D02q0+ω02q0=fcosωt，

(5)

D02q1+ω02q1=-2D0D1q0-2μD0q0-α2q02-α3q03。

(6)

方程(5)的解為

φn0(T0，T1)=A(T1)ejω0T0+BejωT0+cc，

(7)

(8)

將式(8)代入式(6)得

(9)

研究系統(tǒng)的2次超諧共振，引入調(diào)諧參數(shù)σ，由下式確定為

2ω=ω0+εσ，σ=o(1)。

由式(9)得消除永年項(xiàng)的條件為

(10)

(11)

相應(yīng)的一次近似解為

(12)

令式(11)中D1a=0，D1φ=0，消去φ，得到2次超諧共振的幅頻響應(yīng)方程

(13)

(14)

從方程(13)中解出σ為a的函數(shù)，得

(15)

3 數(shù)值實(shí)例分析

應(yīng)用Matlab軟件對(duì)式(13)進(jìn)行計(jì)算，可以得到RLC串聯(lián)電路2次超諧共振的響應(yīng)曲線(見圖1)，數(shù)值計(jì)算中，電子元器件的基本參數(shù)為：電阻R=15 Ω，電動(dòng)勢(shì)Em=25 V，電感L=15 H，線性電容C0=0.001 F。

(a)Em (b)C0

(c)L (d)R圖1 系統(tǒng)的超諧共振響應(yīng)曲線

圖1中系統(tǒng)的超諧共振響應(yīng)曲線具有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象。電動(dòng)勢(shì)作為系統(tǒng)的供能元件，電容、電阻和電感作為耗能元件，其數(shù)值變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)振幅以及共振區(qū)域均有影響。由圖1(a)到圖1(c)可知，電動(dòng)勢(shì)、線性電容和電感增大時(shí)，系統(tǒng)的共振幅值均增大，且圖1(a)和圖1(b)的共振區(qū)域依次增大，而圖1(c)共振區(qū)域隨振幅的增大而變窄。圖1(d)中隨著電阻值的增大系統(tǒng)的共振幅值和區(qū)域都減小，這是因?yàn)殡娮枰种葡到y(tǒng)的非線性，電阻增大時(shí)電流減弱，電路中的電荷也相應(yīng)減少。

圖2為調(diào)諧值變化時(shí)電動(dòng)勢(shì)-振幅響應(yīng)曲線，電動(dòng)勢(shì)增大時(shí)振動(dòng)幅值增大，整個(gè)電路中電流增大，電荷增多。圖3為振幅隨電容變化的響應(yīng)曲線，隨著電容的增大，振幅也增大。圖4為振幅隨非線性電荷系數(shù)k2變化的響應(yīng)曲線，隨著k2的增大，振動(dòng)幅值也增大。圖5為振幅隨非線性電荷系數(shù)k3變化的響應(yīng)曲線，隨著k3的增大，振動(dòng)幅值減小，但應(yīng)注意的是，σ>0時(shí)曲線振幅隨非線性電荷系數(shù)增大先增大再減小。綜合圖2-5可知，當(dāng)σ>0時(shí)，隨著電動(dòng)勢(shì)、電容、非線性電荷系數(shù)等參數(shù)的增大，RLC串聯(lián)電路的響應(yīng)曲線具有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象；在σ<0時(shí)，參數(shù)增大時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)幅值逐漸增加，不出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象。

圖2 電動(dòng)勢(shì)-振幅響應(yīng)曲線

圖3 電容-振幅響應(yīng)曲線

圖4 非線性電荷系數(shù)k2-振幅響應(yīng)曲線

圖5 非線性電荷系數(shù)k3-振幅響應(yīng)曲線

圖6為電阻-振幅響應(yīng)曲線，調(diào)諧值越大系統(tǒng)的振動(dòng)幅值滯后性越強(qiáng)，逐漸出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，與圖1(b)比較可知，在σ=0且電阻增大時(shí)，振動(dòng)幅值緩慢減弱，最終趨于穩(wěn)定。圖7為振幅隨電感變化的響應(yīng)曲線，當(dāng)調(diào)諧值增大，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值減??；當(dāng)σ>0時(shí)，隨著電感的增大系統(tǒng)的振動(dòng)幅值減小，并趨于穩(wěn)定；當(dāng)σ=0時(shí)，隨著電感的增大系統(tǒng)的振動(dòng)幅值增大。

圖6 電阻-振幅響應(yīng)曲線

圖7 電感-振幅響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

應(yīng)用多尺度法得到非線性電容RLC串聯(lián)電路系統(tǒng)2次超諧的幅頻響應(yīng)方程。電路中的非線性振動(dòng)是由電路中的移動(dòng)電荷造成的，電阻增大電路中的電流減小，同時(shí)電荷數(shù)減少，振動(dòng)的振幅相應(yīng)減小，此時(shí)電阻對(duì)振幅有抑制作用。當(dāng)σ>0時(shí)，隨著電動(dòng)勢(shì)、電容、非線性電荷系數(shù)k2與k3等參數(shù)的增大，RLC串聯(lián)電路的響應(yīng)曲線具有跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象。