自然的微積分

本欄目2018年第6期的故事中，鵬飛和浩天在古希臘街頭見識了辯才芝諾的才能，分析了他提出的四個著名悖論——“二分法”“追不上烏龜”“飛矢不動”和“運(yùn)動場”，但是浩天提出的問題，似乎還是沒有解決。

浩天：“我的問題還沒解決呢！剪刀剪紙上畫的線，到底是什么說法？”

鵬飛：“不要急！古希臘的阿布德拉學(xué)派認(rèn)為，萬事萬物，包括精神和靈魂，都是由在空間移動的原子構(gòu)成的。這些原子是堅硬且不可再分的微粒，質(zhì)量相近但是形狀和大小各不相同。所有的原子都小得無法被感知。”

浩天：“是的，德謨克利特將這種觀點引入到數(shù)學(xué)中，認(rèn)為線、面、體也都是由無窮小的點組成。然后呢？如何解釋剪刀剪紙上畫的線？”

鵬飛：“這樣‘原子論就可看成兩個部分——‘物理原子論和‘?dāng)?shù)學(xué)原子論。‘物理原子論發(fā)展到今天，已經(jīng)可以解釋宏觀和微觀的許多現(xiàn)象。”

浩天忽然領(lǐng)悟了：“‘?dāng)?shù)學(xué)原子論就是認(rèn)為幾何上的‘體是由‘面累疊而成，‘面是由線并列而成，‘線是由點排列而成，而‘點就是有位置的‘單子，‘單子不可再分。因此畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，一個線段一定是由整數(shù)個‘點組成，所以任意兩個線段的長度比一定是整數(shù)比，或者說自然數(shù)之比，也就是說這個比值一定是有理數(shù)。由于所有的幾何體都是由點構(gòu)成的，所以畢達(dá)哥拉斯只承認(rèn)有理數(shù)，認(rèn)為大自然不應(yīng)該存在其他的數(shù)。畢達(dá)哥拉斯所謂‘萬物皆數(shù)的‘?dāng)?shù)，指的就是有理數(shù)。我理解了畢達(dá)哥拉斯！”

浩天又想起了被扔到大海里喂魚的希帕索斯，這個人發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形的斜邊與直角邊的比不是有理數(shù)。他是第一個發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的人，這讓畢達(dá)哥拉斯極其惱火，也讓今天的浩天若有所思。

浩天：“無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)說明‘?dāng)?shù)學(xué)原子論的觀點是不對的！”

鵬飛看時機(jī)已到，便說：“用現(xiàn)代的觀點看，紙是由原子構(gòu)成的，剪刀也是由原子構(gòu)成的，紙上畫的線也是由原子構(gòu)成的。剪刀可以剪開紙，是因為原子間結(jié)合力更強(qiáng)大的剪刀原子集團(tuán)，切斷了結(jié)合力較小的紙原子之間的連接，是原子與原子之間的分割。剪刀口一定是從紙原子間的空隙穿過去的，也是從所畫線的原子之間穿過的。剪刀口并不會剪碎某個紙原子，也不會剪壞某個墨水原子。”

“是這么回事。”浩天的思維還在數(shù)學(xué)里，“那如果用一把理想中的數(shù)學(xué)剪刀來剪幾何上的線，又會怎么樣呢？它該如何剪斷一根幾何線？它會剪到一個幾何點上嗎？”

鵬飛：“這個嘛……幾何上的線，比如一條數(shù)軸，是沒法剪斷的！設(shè)想如果它被剪成兩段，把這兩段分開，那這兩段之間是什么？難道還有數(shù)嗎？”

浩天：“看來是不能分開！那就不能剪了嗎？比如畫一條線，再畫一條和它相交的線，代表數(shù)學(xué)剪刀要走的路徑，這兩條線相交一定會有交點嗎？”

鵬飛：“當(dāng)然有交點，線是沒有空隙的。根據(jù)德國數(shù)學(xué)家戴德金的實數(shù)構(gòu)造理論，如果把一條實數(shù)軸在任意一點分割成不相交的左集和右集，那么這個分割點要么屬于左集，這時它就是左集的最大值，而右集沒有最小值；要么屬于右集，這時它就是右集的最小值，而左集沒有最大值。沒有其他情況……”

浩天似乎想通了：“實數(shù)軸上是不存在‘漏洞的，它是連續(xù)的。數(shù)學(xué)上的線，那上面的每一個點，都沒有什么緊挨著它的‘相鄰點，因此沒有什么從‘兩點間的空隙剪過的概念。用數(shù)學(xué)剪刀剪一條線時，它的確會剪到一個點上，但這個點不會被一剪為二，它總是在被剪成的兩條線中的一條上。而現(xiàn)實世界里的剪刀把實際畫出的線剪斷，與這不是一回事！”

浩天一聲感嘆：

“也許這就是數(shù)學(xué)和物理的不同之處吧！”

鵬飛：“數(shù)學(xué)上不存在不可再分的‘?dāng)?shù)學(xué)原子。物理上存在不可再分的‘物理原子嗎？”

浩天：“物理上的不可再分原子是有條件的，現(xiàn)在所說的原子是化學(xué)反應(yīng)中的最小粒子，化學(xué)上的原子還可用物理方法，如核反應(yīng)來改變。”

鵬飛：“比原子更小的微粒是質(zhì)子和中子。在核反應(yīng)中，質(zhì)子、中子是不變的，它們是不可再分的嗎？”

浩天：“還有更小的夸克，再小我們得談?wù)摮伊耍僭傩　乙膊恢懒恕！?/p>

鵬飛：“看來‘物理原子也不好說存不存在。也許，這就是數(shù)學(xué)和物理的相似之處吧！”