廣義直覺模糊有序加權擴展相似度算子及其應用

王琦峰，孫海寧

（浙江萬里學院，浙江 寧波 315100）

0 引言

自Zadeh（1965）[1]提出模糊理論以來，因其能較好地處理模糊信息的優勢而被廣泛應用在控制系統、機器學習、多屬性決策等多個領域。Atanassov（1986）[2]在傳統模糊理論的基礎上進行擴展，提出了直覺模糊集的概念。直覺模糊集同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個方面的信息，能更好地描述客觀事物的模糊性，因此有關直覺模糊理論的研究日益增多。目前在直覺模糊環境下，采用直覺模糊數表征其相似度的研究相對較少，為了更準確地刻畫決策問題的模糊特性，本文提出一種新的直覺模糊相似度計算方法，并將其與GIFOWA算子相結合，提出廣義直覺模糊有序加權擴展相似度（GIFOWES）算子，研究了其性質以及各種特殊形式，并提出了基于此算子的群決策方法，通過實際案例證明方法的有效性。

1 基礎理論

本文主要介紹直覺模糊集的相關理論知識，包括直覺模糊集的概念、運算法則以及相關算子。

定義1[2]：集合X下的直覺模糊集：

其中μA(x)為隸屬度，νA(x)為非隸屬度，πA為猶豫度，πA=1-μA-νA。 (μA，νA)被稱為直覺模糊數，每個直覺模糊數可簡單地寫成，μα，να∈[0，1]且0≤μα+να≤1。

為了比較兩個直覺模糊數之間的大小關系，Xu和Yager（2006）[3]分別定義了得分函數S(α)=μα-να和精確函數H(α)=μα+να。對于兩個直覺模糊數之間的比較可采用如下形式：

設α=(μα，να)，β=(μβ，νβ)為兩個直覺模糊數。

（1）若S(α)＞S(β)，則α＞β；

（2）若S(α)=S(β)，則：①若H(α)=H(β)，則α=β；②若H(α)＞H(β)，則α＞β；③若H(α)＜H(β)，則α＜β。

對于任意三個直覺模糊數，α=(μα，να)，α1=(μα1，να1)和α2=(μα2，να2)，其運算公式[4]如下：

定義2[5]：設Aj=(μj，νj)(j=1，2，...，n)是直覺模糊集。GIFOWA算子為一個n維映射，GIFOWA：Ωn→Ω。

其中，w=(w1，w2，...，wn)是位置權重；λ＞0 為參數；Bk=(μk，νk)(k=1，2，...，n) 為Aj=(μj，νj)(j=1，2，...，n) 的第k大的元素。

2 廣義直覺模糊有序加權擴展相似度算子

由于直覺模糊數自身包含隸屬度、非隸屬度和猶豫度，反映了一定的猶豫程度，其相似度也應當表現出一定的模糊性。而傳統的直覺模糊相似度公式計算結果都是精確數，未能體現這一模糊性，針對這一不足，張洪美等（2007）[6]提出一種新的相似度概念，定義如下：

定義3[6]：s:Ω2→Ω，其中Ω為X上所有直覺模糊集的集合，且設 Ai∈Ω(i=1，2，..，n)，若 s(A1，A2)滿足條件：

（1）s(A1，A2)是直覺模糊數；

（2）s(A1，A2)=(1，0)當且僅當 A1=A2；

（3）s(A1，A2)=s(A2，A1)；

（4）如果 A1? A2? A3,則s(A1，A3)? s(A1，A2)且s(A1，A3)?s(A2，A3)；

則稱s(A1，A2)為A1和A2的直覺模糊相似度。

近年來，很多學者提出了直覺模糊集和區間值模糊集本質上是模糊集的一種廣義形式，只是兩種表達方式不同[7]。因此，直覺模糊集和區間值模糊集的很多方法理論存在聯系。

對于任意直覺模糊數，α=(μα，να)，則其猶豫度為πα=1-μα-να，因此直覺模糊數 α ，它的隸屬度下界為μα，上界為πα+μα。因此，直覺模糊數α可以表示為[μα，μα+πα]，也可以表示為[μα，1-να][8]。因此本文從區間值模糊數的角度構建相似度。

定理1：設A1，A2為兩個直覺模糊集，令：

其中，α≥0，β≥0，α+β=1。存在α*，β*，使得maxh=h*，即：

同樣存在 α*，β*，使得 minh=h*，即：

根據上述公式，提出直覺模糊數相似度公式為：

下面證明上述相似度公式，符合相似度的四個條件。

（1）先證明s(A1，A2)為直覺模糊數形式

因為α+β=1，則有：

因為：

則0≤h*≤1。

（2）snew(A1，A2)=(1，0) 當且僅當 A1=A2；

必要性

由s(A1，A2)=(1，0)可知,h*=h*=1,則μ1j=μ2j,則ν1j=ν2j,所以A1=A2。

充分性

由 A1=A2，可知 μ1j=μ2j，ν1j=ν2j，則 h*=h*=1，故s(A1，A2)=(1，0)。

（3）顯然成立。

（4）如 果 A1?A2?A3，μ1j≤μ2j≤μ1j，ν1j≥ν2j≥ν2j,(1-ν1j)≤(1-ν2j)≤(1-ν2j)。

因為：

所以：

同理：

同理 s(A1，A3)? s(A2，A3)。

例1：設 α=(0.5，0.5)，β=(0.4，0.2)，利用上述相似度計算方法計算其相似度。

h*=0.82;h*=0.54

snew(α1，α2)=(0.54，0.18)

在一些實際的經濟管理決策問題中，不同的元素的重要性可能不完全一樣，因此需要賦予不同的權重.假設集合中元素 μj的權重為 wj(j=1，2，...，n)，要求滿足歸一化條件，即。將式（6）中融入元素的權重，可得到直覺模糊集A1，A2的加權相似度。

其中，α≥0，β≥0，α+β=1。

設h*=maxh，h*=minh

定義4：設 A=(a1，a2，...，an)B=(b1，b2，...，bn)為兩個直覺模糊集，GIFOWES算子是一個n維映射，GIFOWES：Ωn→Ω：

其中 w=(w1，w2，...，wn)為相關聯(位置)權重，wj∈[0，1]，=1σ(1)，σ(2)，...，σ(n)是 (1，2，...，n)的一個置換，對于任意的j，滿足為參數，且 λ∈R，λ≠0。

例2：A=(a1，a2，a3，a4)={(0.3,0.2),(0.7,0.1),(0.5,0.4),(0.3,0.5)},B=(b1，b2， b3，b4)={(0.5,0.1),(0.6,0.2),(0.9,0.1),(0.7,0.3)} 為兩個直覺模糊集，相關聯權重 wj=（0.2，0.3，0.2，0.3）。利用GIFOWES(A,B)計算它們之間的相似度。

首先，利用新直覺模糊相似度計算對應直覺模糊數的相似度，如下：

對上述結果按得分函數大小進行排序得：

設 λ=1時，GIFOWES(A，B)=(0.6362，0.2627)。

下面介紹GIFOWES的相關性質:

定理2（交換性）：A=(a1，a2，a3，a4)B=(b1，b2，b3，b4)兩個直覺模糊集。

GIFOWES(A，B)=GIFOWES(B，A)

定理 3（單調性）：A=(a1，a2，a3，a4),B=(b1，b2，b3，b4),C=(c1，c2，c3，c4) 兩 個 直 覺 模 糊 集 。 如 果 對 于 任 意(j=1，2，...，n)snew((aj，bj))≥snew((aj，cj))則有:

GIFOWES(A，B)≥GIFOWES(A，C)

定理4（冪等性）：A=(a1，a2，a3，a4)B=(b1，b2，b3，b4)兩個直覺模糊集。如果對任意的snew((aj，bj))的相似度相等snew((aj，bj))=s0，則有：

定理5（有界性）：A=(a1，a2，a3，a4)B=(b1，b2，b3，b4)兩個直覺模糊集。如果最大相似度majx snew(aj， bj)=smax， 最小相似度mjin snew(aj，bj)=smin，則有：

在GIFOWES中，通過改變公式中的參數λ和權重向量，可以得到不同形式的GIFOWES算子，例如：

（1）當λ=1，GIFOWES退化為直覺模糊有序加權擴展算術相似度（IFOWES）算子：

（2）當λ=2，GIFOWES退化為直覺模糊有序加權擴展二次相似度（IFOWQES）算子：

（3）當λ→0，GIFOWES轉化為直覺模糊有序加權幾擴展何相似度（IFOWGES）算子：

從權重角度，可以得到GIFOWES的其他特殊形式，如：

（1）當 w1=1，wj=0(j≠1)時，可以得到直覺模糊最大相似測度（GIFMAXES）算子；

（2）當 wn=1，wj=0(j≠n)時，可以得到直覺模糊最小相似測度（GIFMINES）算子；

（3）更一般，當 wk=1，wj=0(j≠k)時，可以得到位置直覺模糊相似度（Step-GIFOWES）算子；

（4）當 w1=wn=0，wj=1/(n-2)，(j≠1，n)時，可以得到奧林匹克直覺模糊相似（Olympic-GIFOWES）算子。

3 基于廣義直覺模糊有序加權擴展相似度算子的群決策方法

考慮直覺模糊環境下的多屬性（指標）綜合決策問題，設 A={A1，A2，...，Am}為方案集，e={e1，e2，...，et}為評價專家集，G={G1，G2，...，Gn}為屬性（指標）集，ω=(ω1，ω2，...，ωn)為各屬性的權重，w=(w1，w2，...wt)為相關聯（位置）權重。專家ek∈e對方案Ai∈A關于指標Gj∈G進行評價，從而構成直覺模糊評價矩陣為直覺模糊數。基于GIFOWES算子的群決策步驟如下：

步驟1：專家根據評價矩陣，給出期望的理想方案。如表1所示。

表1 理想方案

步驟2：利用式（10）和式（11）計算各個專家評價矩陣與理想方案之間的相似度，形成相似度矩陣sm。

其中sik=snew(ri(k)，R*)表示專家ek對Ai評價的數組ri(k)=(μij(k)，νij(k))1×n(i=1，2，..，m) 與 其理想方案R*=(r1*，r2*，...rn*)之間的相似度。

步驟3：利用GIFOWES算子集結各個專家關于Ai的相似度。候選方案Ai的最終相似度Ri。

步驟4：根據Ri的大小進行排序，得到各方案的優劣排序。

4 結束語

本文基于直覺模糊相似度的概念，提出一種新的直覺模糊相似度的計算方法。在直覺模糊環境下，采用直覺模糊數表示其相似度，較好地表現原始信息的模糊性不確定性，并在此基礎上定義了廣義直覺模糊有序加權擴展相似度（GIFOWES）算子，對其相關性質和各種特殊形式進行了研究。并基于此算子提出一種直覺模糊多屬性決策方法，該方法不僅降低決策信息在集結過程的失真程度，而且為相似度的集結方法的研究提供一條有效途徑。