不同分布下Realized EGARCH模型的擬合效果研究

玄海燕，戴天驕，李鴻漸，郭長青

（蘭州理工大學 經濟管理學院，蘭州 730050）

0 引言

如何合理地擬合波動率在金融領域一直是研究的重點。在金融時間序列的條件異方差模型擬合方面，以Engle(1982)[1]提出的自回歸條件異方差(ARCH)模型和Bollerslev(1986)[2]提出的廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型為主，這也是最早且得到廣泛應用的條件異方差模型。

GARCH類模型存在的主要問題是研究樣本只能為低頻數(shù)據（在證券市場中主要為日數(shù)據），而信息化技術的進步增強了數(shù)據采集能力，高頻數(shù)據越來越多的在應用研究中出現(xiàn)，向主要在低頻數(shù)據層面應用的GARCH類模型提出了新的需求。高頻數(shù)據的不規(guī)則交易間隔、離散取值、強自相關性、日內模式的特征讓傳統(tǒng)的計量模型在實際應用中表現(xiàn)不佳，因此學者們開始研究用于高頻數(shù)據層面的GARCH類相關模型。Andersen等(2008)[3]提出專用于高頻數(shù)據的“已實現(xiàn)測度”。此后將已實現(xiàn)測度和傳統(tǒng)的GARCH模型結合用于高頻數(shù)據的波動率建模成為了一個研究熱點。最初，研究主要集中在GARCH-X模型上，這類模型直接將已實現(xiàn)測度作為外生變量納入，模型形式較為簡單，但是在預測方面存在缺陷。因此，建立把波動率和已實現(xiàn)測度聯(lián)合、具有優(yōu)良預測能力的模型成了后續(xù)的研究方向。Hansen等(2012)[4]提出的Realized GARCH模型就是其中之一，在傳統(tǒng)的GARCH模型中加了已實現(xiàn)測度，并利用已實現(xiàn)測度的方程（測量方程）將條件方差和已實現(xiàn)測度聯(lián)系起來。王天一和黃卓(2012)[5]將Realized GARCH模型推廣到厚尾分布的情形，認為Skewed-t分布可以較好的反映收益率的尖峰厚尾的特征，同時使用t分布的預測精度最高。黃雯等(2012)[6]認為基于Skewed-t分布Realized GARCH模型擬合情況和尾部風險描述能力明顯優(yōu)于正態(tài)分布和t分布下的Realized GARCH模型。王天一等(2014)[7]使用多種頻率的已實現(xiàn)波動率及實現(xiàn)核估計作為已實現(xiàn)測度進行分析，采用t分布和正態(tài)分布并和GARCH、EGARCH模型進行對比，認為數(shù)據頻率、分布設定以及不同已實現(xiàn)測度對其預測能力有影響。魏正元等(2015)[8]研究認為誤差項服從Skewed-t分布的Realized GARCH(1,2)模型對于上證380的擬合能力較好，并且能夠精確地測量其收益風險。Hansen和Huang(2012)[9]基于Realized GARCH模型進行拓展，提出了Realized EGARCH模型，對Realized GARCH模型中的GARCH方程進行修改，使得Realized EGARCH模型能夠更好地反映當前市場上存在的非對稱性特征。Banulescu等（2016）[10]將Realized EGARCH模型進一步推廣，考慮了robust結構的杠桿函數(shù)并與Realize GARCH模型對比。

Hansen和Huang(2012)[9]對于Realized EGARCH模型的研究主要基于正態(tài)分布，對于t分布及Skewed-t分布下的模型情況并沒有進行研究。因此，本文針對上證指數(shù)的5分鐘高頻數(shù)據，探討基于t分布及Skewed-t分布下Realized EGARCH模型的擬合情況，并與正態(tài)分布下的擬合情況進行對比。結果表明，基于t分布及Skewed-t分布下Realized EGARCH模型的擬合效果明顯優(yōu)于正態(tài)分布下的情況，但是二者之間差異不大。

1 模型簡介

1.1 模型形式

Hansen和Huang(2012)[9]提出的Realized EGARCH模型如下所示：這三個式子中，式（1）被稱作是回歸方程，式（2）是GARCH方程，式（3）則被稱為測量方程。其中μ通常設定為0，但是會根據數(shù)據出現(xiàn)擬合結果不為0的情況。zt、ut獨立同分布且 zt～iid(0，1) ，ut～iid(0，) ，ut=u1，t，u2，t，…，uK，t，k=1，2，…，K ，xt是由高頻數(shù)據計算出的已實現(xiàn)測度。GARCH方程和測量方程中的杠桿函數(shù)的形式如下所示：

這兩個杠桿函數(shù)在整個模型中起著相當重要的作用，通常扮演著在現(xiàn)實中使zt、ut具有獨立性的因素的角色，同對回歸沖擊和波動率沖擊的非獨立性關系建模，波動率沖擊由 νt=τ(zt-1)+γut-1得出，其繪圖后即為 Realized GARCH模型的信息沖擊曲線，形式為νt=E(loght+1|Ft)-E(loght+1|Ft-1)。

Realized EGARCH模型中的三個方程與Hansen等(2012)提出的Realized GARCH模型中的三個方程有所區(qū)別。Realized GARCH模型的前兩個方程的基于GARCH-X模型，采用了與Engle(2002)、Barndorff-Nielsen和Shephard(2007)、Visser(2011)相似的形式，而測量方程則是Realized GARCH框架相比于其他模型的特色所在，加入了杠桿函數(shù)來描述波動率對于收益率沖擊的非對稱反應。兩個模型的差異主要體現(xiàn)在GARCH方程上，Realized EGARCH模型并沒有將logxt直接納入計算，而是替換為一個杠桿函數(shù)logxt方程中ut的滯后項的和的形式。因此τ(zt-1)+γut-1被稱為條件波動率的創(chuàng)新。

1.2 已實現(xiàn)測度選擇

測度方程中可以使用的已實現(xiàn)測度種類較為豐富，較為常用的有以下四種：已實現(xiàn)波動率(realized variance,RV)，已實現(xiàn)核估計(realized kernel,RK)，已實現(xiàn)二次冪變差(realized bipower variation,RBV)，已實現(xiàn)極差(realized range,RR)。已實現(xiàn)波動率是通過計算日內收益率的平方和來估計波動率，并且是積分波動IR的一致估計量。因而雖然后續(xù)提出了諸多已實現(xiàn)測度，但已實現(xiàn)波動率仍然是其中應用較為廣泛的一種。在這里本文使用RV作為測量方程中的xt。已實現(xiàn)波動率的表達式如下：

其中m為一天的樣本數(shù)，i為第t天的第i個樣本。m的值取決于采樣頻率，頻率越高，每日數(shù)據量越大。這里采用5分鐘高頻數(shù)據，所以本文取m=48。由于市場微觀噪聲的存在，采樣頻率過高會使RV值嚴重偏離，過低則信息量有損失，因此必須尋找最優(yōu)的采樣頻率。

1.3 似然函數(shù)

Realized EGARCH模型的似然函數(shù)由兩部分組成：

其中，L(r|x)+L(x|r)為似然函數(shù)中對應ut和zt的部分，在進行模型間分布擬合和預測能力的比較前必須確保使用相同的數(shù)據，但是由于在與不同模型比較時L(x|r)不一定都存在，因此只使用似然函數(shù)中L(r|x)的部分，即半似然函數(shù)。試用半似然函數(shù)值進行比較的方式在王天一等、黃雯等的研究中均有試用。由于本文進行的對比研究是基于相同模型，單獨計算L(r|x)要更加麻煩，為簡化計算，直接使用L(r，x)進行比較，形式如下：

1.4 分布形式

本文采用的t分布為Bollerslev(1987)提出的標準化t分布，形式為：

Hansen(1994)提出的Skewed-t形式為：

其中ν為自由度，ε體現(xiàn)了分布函數(shù)的偏斜情況，當ε＞0時，分布右偏；當ε＜0時，分布左偏；ε=0時，整個分布退化為標準化t分布。

雖然從分布的特征上來說，Skewed-t分布比t分布更能體現(xiàn)金融時間序列尖峰厚尾、有偏的性質，在對Realized GARCH模型分布擬合的相關研究中被認為Skewed-t分布的擬合效果明顯優(yōu)于其他分布，但是Realized EGARCH模型的結構與Realized GARCH模型的結構相比，更加強調了杠桿函數(shù)的部分，對于不對稱性的反應相比Realized GARCH模型來說已經有了增強。與t分布相比Skewed-t分布也只是多考慮了偏度的影響，因此不確定基于Skewed-t分布的擬合結果一定優(yōu)于t分布下的擬合結果。由于目前還沒有相關文獻證明基于t分布下的Realized EGARCH模型已經足夠反應金融時間序列本身的特征，因此基于多種分布對于Realized EGARCH模型的擬合情況的影響進行研究是有必要的。

2 實證分析

2.1 數(shù)據統(tǒng)計特征及模型參數(shù)估計

本文使用的數(shù)據為2016年1月8日到2017年3月24日共294個交易日的5分鐘高頻數(shù)據，每日交易時間為4小時，共48個數(shù)據點。收益率采用“收盤價—收盤價”的形式計算。對數(shù)收益率的表達式為：

其中pt為當前時刻收盤價，pt-1為前一時刻收盤價。5分鐘收益率序列和已實現(xiàn)波動率序列如圖1所示。可以看出這兩個序列都存在明顯的波動率集聚現(xiàn)象。而且由于數(shù)據選擇區(qū)間包括了極端區(qū)間，數(shù)據左側波動十分劇烈。

圖1 上證指數(shù)收益率序列及已實現(xiàn)波動率序列

表1計算了兩個序列的基本統(tǒng)計量。從中可以看出收益率序列rt與對數(shù)已實現(xiàn)波動率RV5存在著顯著的尖峰特征。在正態(tài)性檢驗上采用了K-S檢驗，Z值分別為14.360和7.610，括號內為p值，p值＜0.05，顯著地拒絕了正態(tài)分布假設。從偏度來看，rt與logRV5序列的偏度都在0附近，說明數(shù)據偏斜不強，這可能會對Skewed-t分布下的擬合效果產生一定的影響。因此從描述性統(tǒng)計的結果來說，t分布可能與Skewed-t分布的擬合情況相似。

表1 描述性統(tǒng)計

使用上述數(shù)據進行模型參數(shù)估計結果如表2所示。其中，RE為Realized EGARCH模型的簡寫，N為正態(tài)分布，t為t分布，S-t為Skewed-t分布。括號內為參數(shù)的標準誤差（std.error）。估計方式為QMLE（Quasi-maximum Likelihood Estimate），即準極大似然估計。

表2 Realized EGARCH模型的參數(shù)估計

從參數(shù)估計結果來看，由于ε＜0，說明殘差分布存在一定的偏斜，且為左偏，但是偏斜較為微弱，這可能是由于RV5和rt序列的偏度不強的結果。三種分布下估計出的τ1、τ2和δ1、δ2的值均為一負一正，體現(xiàn)出了模型的非對稱性，并且t分布和Skewed-t分布下杠桿函數(shù)的參數(shù)τ1、τ2和δ1、δ2的值基本相同，說明二者在對數(shù)據非對稱性的反應上基本相同。從標準誤差來看，正態(tài)分布下參數(shù)的標準誤差、t分布下的參數(shù)標準誤差和Skewed-t分布下的標準誤差各有大小，無法從參數(shù)估計的標準誤差上來準確評定模型的參數(shù)擬合情況。但是從參數(shù)估計的結果來看，t分布下的參數(shù)估計結果應當是最優(yōu)的，這種最優(yōu)可能與模型選擇的已實現(xiàn)測度的種類、數(shù)據的時間區(qū)間有關，如果偏度相反或者都接近0，則使用t分布要更為簡單。

圖2為三種分布情況下Realized EGARCH模型的信息沖擊曲線。可以看出t分布和Skewed-t分布下的信息沖擊曲線比正態(tài)分布的曲線形狀更加分明，且對稱軸偏離0較多，說明這兩種分布體現(xiàn)了更強的不對稱性，更能夠體現(xiàn)Realized EGARCH模型的強非對稱性的性質。

圖2 信息沖擊曲線

2.2 分布擬合能力評估

對于模型的擬合能力進行評估時，使用似然函數(shù)進行比較。表3中l(wèi)ogL（Log likelihood function）為對數(shù)似然函數(shù)值，其數(shù)值越大說明在相應參數(shù)下獲得所用數(shù)據的可能性越高。

表3 三種分布的擬合能力評估指標

從對數(shù)似然函數(shù)的值來看，仍然是Skewed-t分布下的擬合結果的對數(shù)似然函數(shù)值最大，但與t分布下的擬合結果差異不大。正態(tài)分布下擬合結果的對數(shù)似然函數(shù)值最小，與其他兩個分布相比顯得擬合結果不夠優(yōu)良。

3 結論

本文主要研究基于高頻數(shù)據的波動率模型——Realized EGARCH模型在殘差服從三種不同分布下時模型的擬合情況，并使用上證指數(shù)進行了實證研究。上證指數(shù)的收益率明顯地表現(xiàn)出尖峰厚尾、有偏的特征，這也是金融時間序列數(shù)據的所特有的。Realized EGARCH模型與Realized GARCH模型相比，在模型形式上加強了對非對稱性的反映，其結構本身可以產生一定的峰度和偏度，但是這種偏度和峰度仍然不足以擬合數(shù)據，在正態(tài)分布下擬合上證指數(shù)數(shù)據產生的較大的標準誤差可以說明這一點。

另外，不同的已實現(xiàn)測度可能對模型結果會產生不同的影響，本文只使用已實現(xiàn)波動率作為已實現(xiàn)測度，諸多相關研究表明已實現(xiàn)波動率相比其他已實現(xiàn)測度可能存在一定的誤差，進而影響模型的擬合情況，這是下一步研究的范疇。

最后，在對于上證指數(shù)數(shù)據的殘差服從正態(tài)分布、t分布、Skewed-t分布下Realized EGARCH模型進行的擬合研究結果表明，這三種分布中的Skewed-t分布在擬合模型時具有較為良好的性質，但是其擬合效果與t分布的擬合效果差異不大，這可能與數(shù)據的選擇及已實現(xiàn)測度的選擇有關。總體來說，對上證指數(shù)使用以上三種不同的分布進行Realized EGARCH模型的擬合時，Skewed-t分布的擬合效果最好。