由翻轉(zhuǎn)水瓶實(shí)驗(yàn)理解角動量守恒與碰撞過程

吳亞東　程建榮

摘要：翻水瓶挑戰(zhàn)在2017年風(fēng)靡了美國，挑戰(zhàn)者需將裝有一定量液體的水瓶拋出，并使其穩(wěn)穩(wěn)地立在平面上.通過對水瓶的運(yùn)動狀態(tài)分析，從定性角度出發(fā)，得到?jīng)Q定挑戰(zhàn)成功的影響因素：水瓶重心、水瓶形狀、出手方式等.再進(jìn)行一定的定量分析后，通過一系列實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)一系列規(guī)律并給出可行的建議.并通過此實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生理解角動量守恒與物理碰撞過程，同時(shí)展示了其在跳水等運(yùn)動的相似之處.

關(guān)鍵詞：翻水瓶實(shí)驗(yàn)；碰撞過程；角動量守恒；穩(wěn)定性；重心

作者簡介：吳亞東（1997-），男，北京密云人，本科在讀，研究方向：數(shù)學(xué)建模、物理實(shí)驗(yàn)競賽；

程建榮（1961-），男，陜西人，高級實(shí)驗(yàn)師，研究方向：物理演示與教學(xué).

2017年在美國掀起了一場翻水瓶挑戰(zhàn)（Fliping Bottle Challenge），規(guī)則很簡單，用手向空中扔一個(gè)裝有適當(dāng)液體（例如水）的水瓶，使其在空中進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，最終豎直穩(wěn)定地立在平面上（桌子或者地板）.

由于規(guī)則對于水瓶的材質(zhì)，瓶內(nèi)液體的性質(zhì)（粘度，密度），液體高度以及平面的材質(zhì)沒有特殊規(guī)定.因此，有了足夠的空間去發(fā)揮.比如，有人使用可口可樂的水瓶，有人用類似農(nóng)夫山泉的水瓶，還有人使用飲水機(jī)的水桶.在課桌、地板、滑板、籃球甚至路邊的廣告牌上都有穩(wěn)穩(wěn)立住的水瓶.

雖然翻水瓶游戲看似簡單，但是若要直接進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，建立模型的話，則會發(fā)現(xiàn)，其中涉及到的物理知識較多，如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)、剛體力學(xué)、流體力學(xué)等，因此，筆者采取從定性到定量化的分析方法逐步解決問題，并通過實(shí)驗(yàn)理解角動量守恒與碰撞過程[1，2].

1定性理解

對于翻水瓶至穩(wěn)定狀態(tài)這一物理過程可以分為如圖1所示的三個(gè)步驟：出手、空中翻轉(zhuǎn)、碰撞至穩(wěn)定.

因此，影響水瓶翻轉(zhuǎn)成功的因素包括：水瓶的選擇（形狀，密度，硬度等），瓶內(nèi)液體體積以及液體的性質(zhì)，出手的角度以及力度和平臺的性質(zhì)等.

11水瓶的選擇

在市場上所有能看到的水瓶可以歸為兩類：可與地面完全貼合圓形底（如農(nóng)夫山泉，飲水機(jī)飲水桶等）以及非完全貼合的形狀（如塑料可口可樂瓶子），如圖2所示.

將這兩種瓶子拿在手里或放在桌子上我們可以明顯地發(fā)現(xiàn)兩者的不同，農(nóng)夫山泉的水瓶可以嚴(yán)密地貼合在桌面上，而可口可樂的水瓶僅有幾個(gè)“支柱”與桌面接觸，并且農(nóng)夫山泉的水瓶較為柔軟容易變形，但可口可樂的瓶底很堅(jiān)硬不易變形（如圖3）.

因此，在碰撞階段兩者的差別就很明顯，因?yàn)檗r(nóng)夫山泉水瓶易通過變形而將動能消耗，更容易靜止直立在平面上，從而有更大的幾率達(dá)到成功的翻轉(zhuǎn).但是對于可口可樂水瓶的碰撞過程，由于瓶體難以發(fā)生形變，也就導(dǎo)致其需要較長時(shí)間才能將動能消耗，所以相對于農(nóng)夫山泉水瓶不易完成翻轉(zhuǎn).

在選擇水瓶方面，應(yīng)當(dāng)選擇有較為柔軟、易變形的，與平面可以緊密貼合的瓶底的水瓶（如圖4）.

12瓶中液體高度

瓶中液體的高度會影響到總體水瓶系統(tǒng)的重心，若暫時(shí)將瓶中液體“凍結(jié)”，也就是說，水瓶系統(tǒng)的重心是不變的也就可以看做是剛體.

如圖5所示，可以清楚地看出：物體能立在平面上的臨界狀態(tài)的角度滿足θ1 <θ2<θ3.也就表明了當(dāng)剛體的重心越低就有更大概率穩(wěn)定在平面上，就更可能完成水瓶翻轉(zhuǎn)，即系統(tǒng)具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性.

所以，在灌入瓶中液體時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇盡可能降低整個(gè)體系重心的液體和適當(dāng)?shù)母叨龋ǜ叨燃s1/3或以下，使水瓶可以在45°的傾角下仍可恢復(fù)直立的狀態(tài)即可），同時(shí)適當(dāng)高度的液體還可以使水瓶在翻轉(zhuǎn)過程中適當(dāng)減速，更加有利于完美的著陸.

13出手方式

在翻轉(zhuǎn)水瓶的三種過程中，出手的方式（包括力度、角度等）是直接關(guān)系到翻轉(zhuǎn)水瓶成敗的決定性因素.

首先，應(yīng)當(dāng)盡量保持水瓶出手后在空中做豎直平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，即出手的方向應(yīng)當(dāng)與水瓶的軸線在同一平面內(nèi).不然，水瓶將在三維空間里翻轉(zhuǎn)，不易達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的著陸姿勢.

由于在空中翻轉(zhuǎn)時(shí)，瓶內(nèi)的液體與瓶壁摩擦較小，可以在重力作用下沿著瓶壁自由流動，保持液面平穩(wěn).這就導(dǎo)致了液體在不同的時(shí)刻所處的相對位置與形態(tài)是不一樣的.當(dāng)出手時(shí)給予水平方向的初速度大，則水瓶運(yùn)動的水平距離較遠(yuǎn)，但是碰撞過程中這部分的能量難以抵消，會導(dǎo)致水瓶內(nèi)液體向水瓶頂部運(yùn)動，使其重心升高，也就更不易穩(wěn)定直立.但是當(dāng)所給予的垂直方向的速度較大，則水瓶向更高處運(yùn)動，著陸時(shí)，水平方向速度較小，豎直方向速度較大，這種情況下水瓶更容易穩(wěn)穩(wěn)地立在平面上.較為合適的出手方式是使水瓶的軸線與平面平行（如圖6）.

總之，應(yīng)當(dāng)保持水瓶在豎直平面內(nèi)做水平分速度較小的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，這樣才更有機(jī)會完成水瓶翻轉(zhuǎn).

2定量分析

水瓶整體的運(yùn)動可以類比為運(yùn)動員在空中的翻轉(zhuǎn)，如跳水運(yùn)動員從離開跳板到入水的過程.水瓶在空中翻轉(zhuǎn)的過程中，其角動量守恒，但是體系的轉(zhuǎn)動慣量是變化的，所以其角速度也是變化的.

21空中運(yùn)動時(shí)間

在討論瓶子在空中運(yùn)動時(shí)，可近似地可以將其按質(zhì)點(diǎn)處理（圖7），其過程滿足以下公式：

t1 = vgt2 = vgH =vt3 + 12gt23

在給定的H和v下，可以求出瓶子在空中的運(yùn)動時(shí)間，可確定后一步在空中的翻轉(zhuǎn)狀態(tài).

22空中翻轉(zhuǎn)

因?yàn)槠恐幸后w會在瓶中運(yùn)動，導(dǎo)致轉(zhuǎn)動慣量變化，但是這樣難以進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，因此先討論在定軸轉(zhuǎn)動慣量（瓶中液體粘度大，難以運(yùn)動）即角速度不變情況下的運(yùn)動，再推廣到角動量變化時(shí)的情況.

221轉(zhuǎn)動慣量不變時(shí)

θ=θ0+ωt

可根據(jù)之前所求出的時(shí)間，確定水瓶著陸時(shí)的姿態(tài)（如圖8）.

222轉(zhuǎn)動慣量變化

由于水瓶中液體的運(yùn)動，導(dǎo)致轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生變化，有下式關(guān)系成立：

L0=∑n1r→×v→m=r→瓶×v→瓶m瓶+r→液×v→液m液

可使之前的結(jié)果更加符合實(shí)際.

23落地狀態(tài)

要使水瓶成功落地，主要取決其落地時(shí)的姿態(tài)與速度（如圖9）.

vx=vcosθtvy=vsinθt

θ=θ0+ωt

水瓶著地時(shí)的角度應(yīng)小于圖10中所示的臨界角度.

24碰撞

由于瓶子在落地前有動能，只能通過碰撞使能量耗散.而這一過程卻是最容易使水瓶傾倒的，同時(shí)也是最難分析的.因?yàn)榕鲎仓兴績?nèi)的液體會突然受到碰撞，激起水花等，從而使瓶子重心提高而翻倒.

3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由于水瓶及其內(nèi)部的水的運(yùn)動狀態(tài)較為復(fù)雜，難以推導(dǎo)出具體表達(dá)式，而且每次試驗(yàn)的微小差異，也會對水瓶的成功翻轉(zhuǎn)產(chǎn)生較大影響.因此，要進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，嘗試探索出可行的方式.

分為用手拋水瓶和用機(jī)器拋射水瓶兩種方式.使用機(jī)器拋射水瓶可以較為精確地控制每次的初始條件，從而得到了一定的規(guī)律.

31機(jī)械投射不同拋水瓶

制造機(jī)械投射裝置，以控制每次的投射初始參數(shù)，從而進(jìn)行定量的實(shí)驗(yàn)（如圖11、圖12、圖13）.

32手拋不同拋水瓶

手拋水瓶難以運(yùn)用控制變量法試驗(yàn)，筆者進(jìn)行了多次試驗(yàn)，成功概率較低.只發(fā)現(xiàn)了存在一定角度和略向前移動等規(guī)律.因此，這里不作討論.

321失敗

4總結(jié)與推廣

41概率較低

翻轉(zhuǎn)水瓶實(shí)驗(yàn)中，成功的實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少，概率較低.需要進(jìn)行一定次數(shù)的反復(fù)練習(xí)并掌握一定的技巧.

水瓶較容易發(fā)生前傾或側(cè)翻狀態(tài)，而且即使當(dāng)水瓶豎直著陸時(shí)，也會發(fā)生水瓶傾倒，原因可能是因?yàn)槠績?nèi)的液體發(fā)生運(yùn)動，使水瓶失去穩(wěn)定.

42翻轉(zhuǎn)

翻轉(zhuǎn)的原理與跳水運(yùn)動類似，從高處落下，以近似豎直的方式落入水中.故可以將本實(shí)驗(yàn)中的相關(guān)結(jié)果，原理推廣到類似的運(yùn)動項(xiàng)目中，指導(dǎo)運(yùn)動員進(jìn)行訓(xùn)練.如在扔水瓶時(shí)，應(yīng)使其水平方向分速度較小，近似豎直單向運(yùn)動，這與跳水運(yùn)動員的3米跳板方式類似，為了使入水的水花盡量小，也應(yīng)當(dāng)使其在水平方向分速度較小.

43建議

總結(jié)實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選擇底部面積大，與平面盡量貼合的水瓶，密度較大的液體（使整體重心低），粘度較大（在瓶中不易滑動），出手時(shí)水平方向分速度較小時(shí)，水瓶成功翻轉(zhuǎn)的概率較大.

翻水瓶實(shí)驗(yàn)雖然過程看上去簡單，但卻涉及多種物理知識，如角動量守恒、碰撞過程[3]，可以通過此試驗(yàn)加深學(xué)生對于物理知識的掌握，并且可以引領(lǐng)學(xué)生主動運(yùn)用所學(xué)知識發(fā)現(xiàn)、解決身邊的物理問題，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)及日后發(fā)展有重要意義.

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳曉莉 新課程中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 2015.

[2] 張連禎 中學(xué)物理教學(xué)實(shí)踐探索[M].成都：四川教育出版社， 2014.

[3] 龔承康 高中物理碰撞問題研究[J].高中數(shù)理化， 2015（10）：29-29.