電磁場(chǎng)相對(duì)論效應(yīng)及載流直導(dǎo)線中帶電粒子受力分析

楊浩　李裔　蘭小剛

摘要：從帶電粒子運(yùn)動(dòng)激發(fā)的電磁場(chǎng)出發(fā)，討論了不同參考系下電磁場(chǎng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，著重研究了不同參考系中，載流直導(dǎo)線激發(fā)的電磁場(chǎng)以及導(dǎo)線上帶電粒子的受力情況.并對(duì)電場(chǎng)與磁場(chǎng)的統(tǒng)一關(guān)系及相對(duì)論效應(yīng)進(jìn)行了定量分析.

關(guān)鍵詞：電場(chǎng)；磁場(chǎng)；相對(duì)論效應(yīng)

基金項(xiàng)目：四川省研究生教育改革創(chuàng)新項(xiàng)目（445001）；西華師范大學(xué)教學(xué)改革與研究項(xiàng)目（XJJGXH2017111）.

作者簡(jiǎn)介：楊浩（1996-），女，四川廣元人，在讀研究生.

通訊作者：蘭小剛（1982-），男，四川內(nèi)江人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：物理學(xué)科教學(xué)論研究.

電場(chǎng)與磁場(chǎng)的產(chǎn)生都與電荷有關(guān)，靜止的電荷激發(fā)靜電場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)的電荷激發(fā)磁場(chǎng).在不同的參考系中，電荷的運(yùn)動(dòng)情況不同，電磁場(chǎng)會(huì)有不同的表現(xiàn).特別是考慮相對(duì)論效應(yīng)，在不同參考系下，電、磁場(chǎng)間相互轉(zhuǎn)化會(huì)比較復(fù)雜，而且該相對(duì)論效應(yīng)也不可忽略.本文從運(yùn)動(dòng)帶電粒子激發(fā)的電磁場(chǎng)出發(fā)，討論了不同參考系下（本文涉及的參考系均為慣性參考系，以下同）電磁場(chǎng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，詳細(xì)研究了載流直導(dǎo)線激發(fā)的電磁場(chǎng)，分別計(jì)算了載流導(dǎo)線上正（負(fù)）離子的受力.并將考慮相對(duì)論效應(yīng)的結(jié)果與低速近似結(jié)果進(jìn)行比較，自然回歸到經(jīng)典物理的公式，最后對(duì)所得結(jié)果以及電磁場(chǎng)的本質(zhì)進(jìn)行討論.

1不同參考系下運(yùn)動(dòng)電荷激發(fā)的電磁場(chǎng)

當(dāng)場(chǎng)源電荷（q）運(yùn)動(dòng)時(shí)，在其周圍運(yùn)動(dòng)的電荷（q′）不僅受到與自身運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)的力（電力），還會(huì)受到與自身運(yùn)動(dòng)速度大小和方向有關(guān)的力（磁力），這兩種力都是通過(guò)場(chǎng)來(lái)傳遞的.顯然，運(yùn)動(dòng)電荷周圍不僅存在電場(chǎng)，還存在磁場(chǎng).而物理學(xué)描述靜止或運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)的，在相對(duì)場(chǎng)源電荷（q）靜止的參考系（S）中，只能觀測(cè)到電場(chǎng)的存在；但在相對(duì)場(chǎng)源電荷運(yùn)動(dòng)的參考系（S′）中觀測(cè)，不僅存在電場(chǎng)，還存在磁場(chǎng).說(shuō)明電場(chǎng)和磁場(chǎng)具有相對(duì)性.與洛倫茲變換關(guān)系（說(shuō)明了時(shí)間與空間的聯(lián)系）類似，電場(chǎng)與磁場(chǎng)也存在相對(duì)論聯(lián)系.若以E→（Ex，Ey，Ez），B→（Bx，By，Bz）和E→′（E′x，E′y，E′z），B→′（B′x，B′y，B′z）分別表示在S系和S′系（以速度u沿S系的x軸正向運(yùn)動(dòng)）的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，它們之間的變化關(guān)系為[1]：

E′x=Ex，E′y=（Ey-uBz）/1-u2/c2

E′z=（Ez+uBy）/1-u2/c2

B′x=Bx，B′y=（By+uEz/c2）/1-u2/c2，

B′z=（Bz-uEy/c2）/1-u2/c2 （1）

可見，電場(chǎng)、磁場(chǎng)構(gòu)成統(tǒng)一體，即電磁場(chǎng).相對(duì)于不同參考系，電磁場(chǎng)的六個(gè)分量具有不同的表現(xiàn)形式，其大小也存在差異.應(yīng)該注意的是，由于存在電荷，但不存在所謂的“磁荷”，所以造成電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象并不對(duì)稱.正是由于這種非對(duì)稱效應(yīng)，可將磁場(chǎng)理解為電場(chǎng)的相對(duì)論效應(yīng).愛因斯坦也曾經(jīng)指出：“我曾確信，在磁場(chǎng)中作用在一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體上的電動(dòng)力不過(guò)是一種電場(chǎng)力罷了.正是這種確信或多或少直接地促使我去研究狹義相對(duì)論”[2].

總之，同一電荷系統(tǒng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的物理表現(xiàn)隨參考系的不同而發(fā)生變化.電磁場(chǎng)本質(zhì)上是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的統(tǒng)一實(shí)體，但磁場(chǎng)（或磁效應(yīng)）是電場(chǎng)（或電效應(yīng)）的相對(duì)論效應(yīng).接下來(lái)，我們將通過(guò)一個(gè)具體的物理模型，來(lái)定量研究二者之間的相對(duì)論效應(yīng).

2不同參考系中載流直導(dǎo)線激發(fā)的電磁場(chǎng)

我們以兩條平行放置的載流直導(dǎo)線這種簡(jiǎn)單的物理模型為例，如圖1所示.豎直固定平行放置的兩條相同長(zhǎng)直導(dǎo)線1和2相距為a（a為長(zhǎng)直導(dǎo)線的長(zhǎng)度），兩導(dǎo)線通有方向、大小都相同的穩(wěn)恒電流 導(dǎo)線中的正離子均靜止，且單位長(zhǎng)度導(dǎo)線中正離子的電荷量為λ；形成電流的導(dǎo)電子以速度v0沿導(dǎo)線向下勻速運(yùn)動(dòng)，單位長(zhǎng)度的導(dǎo)線中導(dǎo)電電子的電荷量為-λ.已知：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度電荷量為η的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線在距其r處產(chǎn)生的電場(chǎng)的強(qiáng)度大小為E=2keη/r，其中ke是常量；當(dāng)無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通有穩(wěn)恒電流I時(shí)，電流在距導(dǎo)線距離為r處產(chǎn)生的電場(chǎng)的強(qiáng)度大小為B=2kmI/r，其中km是常量.

我們將結(jié)合狹義相對(duì)論中的長(zhǎng)度收縮公式來(lái)討論常量ke和km的比值關(guān)系.

我們選取參考系S（S′）分別相對(duì)導(dǎo)線中正（負(fù)）離子靜止，如圖1所示.參考系S中，導(dǎo)線中的正離子靜止，而電子以速度v0向下勻速運(yùn)動(dòng)；參考系S′中，導(dǎo)線中電子靜止，而正離子以速度v0向上勻速運(yùn)動(dòng)

21不同參考系中載流直導(dǎo)線對(duì)正離子的作用

在S參考系中，如圖1（a）所示，導(dǎo)線上正負(fù)離子所帶電荷和為零，即λ=λ++λ-=0.考慮導(dǎo)線1對(duì)導(dǎo)線2中帶電量為q的正離子的作用，有Fe += 0；S參考系中，導(dǎo)線1中雖有導(dǎo)電電子運(yùn)動(dòng)，并激發(fā)磁場(chǎng)（B=2kmI/a），但導(dǎo)線2中正離子相對(duì)靜止，故正離子受到磁場(chǎng)力Fm+=qv1+B=0.

但在S′參考系中，如圖1（b）所示，電子靜止，正離子向上運(yùn)動(dòng)，考慮相對(duì)論尺縮效應(yīng)：相對(duì)觀測(cè)者運(yùn)動(dòng)的載流導(dǎo)線，其上的電荷線密度分布會(huì)變大.因此S′參考系中，導(dǎo)線的單位長(zhǎng)度帶電量不再正負(fù)抵消為零，從而在空間激發(fā)電場(chǎng).因此在S′參考系中，導(dǎo)線1對(duì)導(dǎo)線2中正離子產(chǎn)生作用力（電場(chǎng)力）.相對(duì)參考系S′靜止的電子，其占據(jù)的長(zhǎng)度比在S參考系中運(yùn)動(dòng)時(shí)占據(jù)的長(zhǎng)度l會(huì)伸長(zhǎng)為l-' = l/1-v20 c2[3].由于總的電荷量不隨參考系變化，有λ′l′=λl.因此，S′系中的負(fù)電荷線密度為-λ- ′ = λ1-v20 c2.反之，參考系S′中正離子以速度v0向上勻速運(yùn)動(dòng)，相比在S系中靜止時(shí)占據(jù)的長(zhǎng)度l會(huì)縮短為l+′= l1-v2oc2，同理可得，S′系中正電荷密度為λ +′ = λ/1-v20 c2.

因此，考慮相對(duì)論長(zhǎng)度收縮效應(yīng)后，在參考系S′中，導(dǎo)線1單位長(zhǎng)度帶電量不再為零，其大小為

λ′ = λ +′ + λ-′ = λv2oc21-v20c2（2）

則其在導(dǎo)線2處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E′= 2ke λ'a = 2ke λv2o c2a1-v20 c2（3）

（3）式中，凈電荷密度λ′>0，電場(chǎng)強(qiáng)度方向向右.則導(dǎo)線2中帶電量為q的正離子會(huì)受到方向水平向右的電場(chǎng)力，其大小為

Fe +′ = qE′ = 2ke qλv20 c2a1-v20 c2（4）

另一方面，在參考系S′中觀測(cè)，導(dǎo)線1中的正離子以速度v0向上勻速運(yùn)動(dòng)，形成電流

I′= λ +′v0 = λvo 1-v2o c2（5）

此電流在距離導(dǎo)線a處激發(fā)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B′ = 2km I′a = 2km λvo a1-v2o c2（6）

其方向垂直紙面向內(nèi).則導(dǎo)線2中電荷量為q的正離子會(huì)受到方向水平向左的磁場(chǎng)力為

Fm +′ = qv0 B′ = 2km qλv20 a1-v20 c2（7）

通過(guò)以上分析可見，在S參考系中觀測(cè)導(dǎo)線2中的正離子不受力作用，但S′參考系中，導(dǎo)線2中的正離子既受電場(chǎng)力又受到磁場(chǎng)力作用，顯然二者合力應(yīng)該為零（因正離子均保持靜止或向上勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）.故F′=F′e+-F′m+=0，化簡(jiǎn)可得ke/km=c2.

當(dāng)然，我們直接利用無(wú)限長(zhǎng)帶電導(dǎo)線激發(fā)的電場(chǎng)以及無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)線激發(fā)磁場(chǎng)的表達(dá)式為

E=λ2πε0r=2keλr，B=μ0I2πr=2kmIr（8）

（8）式中，ε0，μ0分別為真空介電常數(shù)與磁導(dǎo)率，二者均為與參考系無(wú)關(guān)的常數(shù).也可得到ke與km的比值為ke/km=1/μ0ε0=c2[4].這和我們考慮相對(duì)論效應(yīng)得到的結(jié)果也是一致的.

至此，通過(guò)以上分析我們看到：不同參考系下，同一條載流直導(dǎo)線激發(fā)的電磁場(chǎng)是不同的.為了進(jìn)一步理解電磁場(chǎng)的統(tǒng)一性與相對(duì)性，我們不妨繼續(xù)討論，分析上述過(guò)程中導(dǎo)線2中的負(fù)離子受力情況.

22不同參考系中載流直導(dǎo)線對(duì)負(fù)離子的作用

如圖1（a）所示，在S參考系中，負(fù)離子-q以速度v0豎直向下運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)線1中有方向向上的穩(wěn)恒電流I，則載流直導(dǎo)線1在距離a處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度大小為B=μ0I/2πa，方向垂直紙面向里.因正負(fù)離子帶電量相抵消，不激發(fā)電場(chǎng)，故作用在導(dǎo)線2中的負(fù)離子q上的力（洛倫茲力）大小為Fm=qvB=qvμ0I/2πa方向水平向左，指向?qū)Ь€1.

在S′參考系中，如圖1（b）所示，導(dǎo)線1中導(dǎo)電電子靜止，正離子向上運(yùn)動(dòng)形成方向向上的電流，在距離a處產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B'=μ0I′2πa的磁場(chǎng).但此時(shí)導(dǎo)線2中的負(fù)離子（-q）相對(duì)靜止，故不受洛倫茲力的作用.但考慮尺縮效應(yīng)，S′系下導(dǎo)線1中正負(fù)電荷之和為λ' = λv20 （c2·1-v20 c2），其將在距離a的導(dǎo)線2處產(chǎn)生電場(chǎng).電場(chǎng)強(qiáng)度方向水平向右，大小為E′=λ′/2πε0a，則作用在導(dǎo)線2中的負(fù)離子（-q）上的電場(chǎng)力大小為Fe′=qE′=qλ′/2πε0a，方向水平向左，指向?qū)Ь€1.

接下來(lái)我們將不同參考系下的電力和磁力進(jìn)行化簡(jiǎn)，由c-2=ε0μ0以及電流定義I=λv0，可得

Fm = qλv202πε0 ac2，F(xiàn)e′ = qλv2o2πε0ac2 11-v2oc2（9）

（9）式結(jié)果表明，兩個(gè)參考系下，電力和磁力大小幾乎相等.至少，在低速情況下Fm=Fe′.實(shí)際上，我們?cè)倩仡櫍?）式和（7）式，也會(huì)發(fā)現(xiàn)類似結(jié)果.因此無(wú)論作用對(duì)象是正離子還是負(fù)離子，不同的參考系中，導(dǎo)線對(duì)一沿其勻速運(yùn)動(dòng)的帶電離子作用力（電力或磁力）是相同的，電和磁可以理解為“對(duì)同一事物的兩種不同觀察方法而已”.電和磁本質(zhì)上僅僅是兩種不同的表現(xiàn)形式而已，它們最終也會(huì)給出相同的物理結(jié)果.

當(dāng)然，（9）式Fe′中多出的因子項(xiàng)，可以通過(guò)考慮不同參考系下力的作用效果來(lái)證明，二者產(chǎn)生的物理結(jié)果是等效的.若作用一段時(shí)間后的橫向動(dòng)量（設(shè)橫向坐標(biāo)為y）為ΔPy=FΔt，ΔPy′=F′Δt′.利用 （9）式，可得ΔPy=ΔPy′，即在不同參考系下，載流直導(dǎo)線所激發(fā)出的電場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)一沿導(dǎo)線勻速運(yùn)動(dòng)的帶電離子的作用效果完全一致.

3總結(jié)與討論

由以上分析可得載流直導(dǎo)線在運(yùn)動(dòng)參考系S′中激發(fā)的電磁場(chǎng)為

E′ = λ′2πε0a = Iv0c22πε0a1-v20c2，B′ = μ0I2πa = B（10）

顯然，在低速情況下，載流直導(dǎo)線在相對(duì)于觀察者沿導(dǎo)線方向以速度v0運(yùn)動(dòng)時(shí)激發(fā)的電磁場(chǎng)，相當(dāng)于它本身（S系中）激發(fā)的靜磁場(chǎng)與它的線電荷密度變?yōu)棣恕浜蠹ぐl(fā)出的靜電場(chǎng)的疊加.同理，線電荷密度為λ的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線在相對(duì)于觀察者沿長(zhǎng)度方向以速度v0運(yùn)動(dòng)時(shí)激發(fā)的電磁場(chǎng)，就相當(dāng)于它本身激發(fā)的靜電場(chǎng)與它形成的電流I=λv0時(shí)激發(fā)的靜磁場(chǎng)的疊加.

此外，單位長(zhǎng)度載流導(dǎo)線所受電、磁力的大小也存在顯著差異.上節(jié)討論的導(dǎo)線1、2中單位長(zhǎng)度間的磁力大小為Fm=μ0λ1v1λ2v2/2πd，電力大小為Fe=E1λ2=λ1λ2/2πε0d.將二者大小進(jìn)行比較，有Fm/Fe=ε0μ0v1v2=v1v2/c2.假設(shè)金屬中電子漂移速度大約為10-4數(shù)量級(jí)[5]，則Fm/Fe大約為10-24.也就是說(shuō)載流直導(dǎo)線間的電力遠(yuǎn)大于磁力.但由于導(dǎo)線中正負(fù)帶電粒子所受的電力大小相同、方向相反，電力被抵消.所以分析兩根載流導(dǎo)線間的作用力時(shí)，僅僅考慮磁力即可.

總之，同一電荷系統(tǒng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的物理表現(xiàn)隨參考系的不同而發(fā)生變化.

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