高中數(shù)學(xué)解題的類比推理運(yùn)用分析

邵姝媛

（山東壽光現(xiàn)代中學(xué)高二37班，山東 壽光）

在抽象知識(shí)的學(xué)習(xí)中高效應(yīng)用類比推理思想可以將已經(jīng)學(xué)習(xí)過的實(shí)際問題遷移到尚未學(xué)習(xí)的、抽象的、較難理解的數(shù)學(xué)知識(shí)中。發(fā)揮類比推理的工具作用，明確其數(shù)學(xué)意義，并在數(shù)學(xué)實(shí)踐中增強(qiáng)應(yīng)用，幫助減輕高中數(shù)學(xué)解題實(shí)踐難點(diǎn)。

一、數(shù)學(xué)類比推理能力培養(yǎng)現(xiàn)狀分析

1.教學(xué)中忽視，缺乏研究意識(shí)

數(shù)學(xué)是演藝、歸納的科學(xué)，但長(zhǎng)期以來高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中忽視合情推理的應(yīng)用。演繹推理固然可以解決很多問題，但不借助數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)問題”這一優(yōu)勢(shì)。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中僅僅將類比推理局限在數(shù)學(xué)解題的應(yīng)用中，不重視思維能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致多數(shù)同學(xué)自我認(rèn)知意識(shí)弱，創(chuàng)新思維得不到開發(fā)。此外，課本中相應(yīng)教學(xué)素材少，僅出現(xiàn)在選修部分的“推理與證明”一章。教師更多將精力放在“證明”的講解和應(yīng)用上。長(zhǎng)期忽視類比推理，缺乏研究意識(shí)，實(shí)際教學(xué)環(huán)節(jié)該部分能力培養(yǎng)脫節(jié)。

2.局限于解題研究，教學(xué)中體現(xiàn)不足

學(xué)生類比推理能力的培養(yǎng)局限在數(shù)學(xué)解題研究中，仍以題海訓(xùn)練，疲于應(yīng)付高考。為了提升解題能力，教學(xué)和學(xué)習(xí)中會(huì)采用分類講解的辦法，探究不同題目的相似性，便于學(xué)生通過典型題目的解題思路和方法，類比遷移至其他題目中，提升解題能力。但數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，深層次的類比推理思想無法在教學(xué)中體現(xiàn)出來。

3.學(xué)生類比推理認(rèn)知弱，整體水平不高

目前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，多數(shù)同學(xué)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、勇于創(chuàng)新和挑戰(zhàn)的意識(shí)還未養(yǎng)成。機(jī)械模仿教師方案、簡(jiǎn)單套用教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)象十分普遍。更多時(shí)候，學(xué)生只是知識(shí)的搬運(yùn)工，無法通過類比推理的應(yīng)用，透過數(shù)學(xué)概念、原理、模型等進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深層次延伸。類比推理能力水平整體低下，對(duì)類比的屬性判斷不清，且無法進(jìn)一步延伸到實(shí)際問題的應(yīng)用中。對(duì)類比推理的概念理解不到位，只能做到詞句之間的表征結(jié)構(gòu)對(duì)比，無法從內(nèi)容本質(zhì)上進(jìn)行類比加工，對(duì)上升的高階關(guān)系等相似性無法理解應(yīng)用。

二、數(shù)學(xué)類比推理能力發(fā)展的意義

類比推理的本質(zhì)是對(duì)思維本質(zhì)和結(jié)構(gòu)的提升重塑。類比推理能力的提升可以促進(jìn)思維水平的發(fā)展，開發(fā)思維創(chuàng)新能力。對(duì)高中生而言，類比推理是思維創(chuàng)新的起點(diǎn)，而數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性地位，使其思維能力開發(fā)、大腦訓(xùn)練以及理性思維得到不同程度的訓(xùn)練。

當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的原理、定理、結(jié)論都是經(jīng)過類比、歸納等探究過程的反復(fù)分析，才能得出實(shí)踐問題的解決方法和結(jié)論，并經(jīng)過反復(fù)論證、猜想，在確立推翻過程中得到新結(jié)論。

高中階段大腦思維水平和能力處于上升時(shí)期，類比推理能力的提高可以促進(jìn)思維靈敏度、創(chuàng)新性思維的發(fā)展。這一思維品質(zhì)的提升可以促進(jìn)同學(xué)們自主學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)興趣的提高。類比推理能力的培養(yǎng)是促進(jìn)科學(xué)創(chuàng)新與探究發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵機(jī)制，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要法寶，更是執(zhí)行素質(zhì)教育的有力武器。

三、高中數(shù)學(xué)解題的類比推理運(yùn)用分析

1.幾何解析題目中巧借形式、概念以及方法相似性進(jìn)行解題

例1：有正方形ABCD，M是邊BC上一點(diǎn)，E是邊CD的中點(diǎn)，AE平分∠DAM。①試證明AM=AD+MC；②AM=DE+BM，是否夠成立，若成立給出證明，不成立給出理由。③若四邊形ABCD是長(zhǎng)寬不等的矩形，其他條件不變，則①②中結(jié)論是否依然成立，請(qǐng)做出判斷。四邊形如下圖所示。

對(duì)于①式的證明，兩個(gè)四邊形ABCD都可以通過做AE和BC的延長(zhǎng)線，構(gòu)造相似三角形，得證邊相等。并利用角平分線性質(zhì)得出三角形“等角對(duì)等邊”。通過等邊轉(zhuǎn)換問題得證。②式同樣通過對(duì)四邊形做輔助線，創(chuàng)造邊角相等條件，并借助三角形形似、角平分線、四邊形性質(zhì)以及邊角轉(zhuǎn)換等層層遞進(jìn)尋找問題的答案。

例1利用類比方法，對(duì)正方形和矩形幾何題進(jìn)行證明。通過將題目的求解任務(wù)進(jìn)行層層分解，通過簡(jiǎn)單問題的層層深入，理清思路，找到解題路徑，并將解題方法遷移至類似的情景中。通過相似問題的解決，在自主解題過程中具有帶入感，更容易找到解決途徑。

高中階段空間幾何學(xué)習(xí)和解題中，很多同學(xué)由于空間思維能力不到位，導(dǎo)致相關(guān)知識(shí)難以理解。做關(guān)于球的習(xí)題時(shí)，可以通過類比圓幫助學(xué)生進(jìn)行球的體積、表面積以及內(nèi)接圖形等相關(guān)概念性質(zhì)的類比。通過圓和球由平面向立體的過渡，借助圓考慮球問題，豐富解題空間。

2.借助典型變式，加深不等式理解記憶

同樣，借助類比可以對(duì)不等式相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析和講解。尤其不等式等新知識(shí)的講解中，要關(guān)注老師對(duì)解題方法和策略的滲透。主動(dòng)培養(yǎng)逆向思維和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。巧借變式幫助把握不同知識(shí)點(diǎn)多樣化的考查方向。不等式內(nèi)容的考試中最常見的問題就是求極值，而最值的求解條件應(yīng)滿足“一正，二定，三相等。”

解析，由于例2已知條件滿足不等式求最值的基本條件，可直接進(jìn)行求解當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，x=1.

上述①②③式是例2的變式，未滿足不等式求最值的三個(gè)基本條件。因此，想要運(yùn)用不等式的求解需要進(jìn)行變形然后求解。變式①中可做如下變形可得得 y≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，即x=-1.而變式②限定x的取值范圍，不滿足“三相等”的求解條件。變式③可首先對(duì)求解目標(biāo)做一定變形，并利用不等式性質(zhì)求解。

重視變式在不等式求解中的應(yīng)用，從多角度思考，重視變式練習(xí)，借助變式這一類比形式培養(yǎng)并激發(fā)發(fā)散性思維。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題訓(xùn)練中，類比推理思想和策略的應(yīng)用十分廣泛。在解題教學(xué)中運(yùn)用多種方法，將類比推理思想貫穿在不同的知識(shí)模塊，潛移默化中幫助養(yǎng)成健康的思維品質(zhì)，把握類比的實(shí)質(zhì)，并貫穿在整個(gè)自主學(xué)習(xí)中，提升高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)效。