小學數學課外拓展題設計“四要”

王宜琴

【摘要】學生的學習應當是連續的，從課內可以到課外，從學校可以到家庭。課外拓展題應當是課堂學習內容的適當提升，是學生經過努力能夠解決的問題。拓展題的設計應當不局限于了解學生已經學會了什么，還要測評學生在多大程度上能將自己掌握的數學知識和技能遷移到新環境中去。設計時，目標要明確，主題要豐厚，內容要實在，形式要多樣。

【關鍵詞】課外拓展 數學理解 解決問題

學生的學習是連續的，從課內到課外，從學校到家庭。蘇霍姆林斯基也曾說過這樣一段話：“不要把課外作業當成課內作業的量的追加。課外作業應當是知識的發展與深化，是學習能力的改善，是掌握課堂知識的準備，應當讓學生在課外發展個人的愛好和需要，滿足和發展個人的多方面的智力需求。”當前的小學數學教學，課內學習側重于規范性系統知識的學習，幫助學生構建知識體系；而課外拓展則著眼于拓展，學習的范圍可以拓廣一些，學習要求也可以提高一些。高質量的課外拓展題，必須能反映出學生對知識的彈性遷移、靈活的思考和應用所學知識的能力，它直接影響著教師的教學效果和學生的學習效果。怎樣有效地設計小學數學課外拓展題呢？這是一個值得研究的話題。

一、目標要明確——為了理解而去設計

數學理解包含兩層意思。一是“對數學對象的理解”。學生理解數學的知識內容、方法技巧、思想策略等；二是“從數學的角度去理解現實”。理解是多維的和復雜的，有不同的類型和不同的方法。數學理解的測評，不僅要了解學生是否能通過背景知識回答問題，還要測評學生在多大程度上能將自己掌握的數學知識和技能遷移到新環境中去。可以從以下幾點進行判斷：（1）是否有利于對所學知識的完善與優化；（2）是否有利于學習能力的提高；（3）是否有利于形成對數學新的看法、積極的感受；等等。因此，在設計課外拓展題時，首先要思考這兩個問題：（1）設計的目標是什么；（2）這個目標要帶我們去哪里。

例如，在四年級下冊學習完第七單元《三角形、平行四邊形和梯形》后，單元復習時，給學生們設計了這樣一道拓展題：從數學的角度考慮，下面哪一個圖形與其他兩個不同？請找出這個圖形，并說一說你的理由（寫出一種即可）。

（1）這個與眾不同的圖形名稱是 。

（2）你下結論的理由是什么？（在答題卡對應的位置上寫出你的思考過程）

概念的發展，需要學生將數學語言轉化成相對應的生活語言，將符合還原為具象、形象的背景，然后通過實物、圖形、操作過渡到符號、語言表征。在四年級下冊學習完《三角形、平行四邊形和梯形》單元后，就知識基礎而言，學生已經掌握了這幾個圖形的基本特征，并且也有了一定的知識經驗和基礎。本題答案不唯一，這幾個圖形都可以作為標準答案之一。從邊的數量或從邊的相互位置關系去看，答案就是三角形；從圖形的自身結構來看，這里只有梯形是軸對稱圖形，所以答案可以是梯形；從面積大小看，學生在三年級下學期已經有了數方格可以確定平面圖形的面積的數學經驗，答案又可以是平行四邊形。設計這道拓展題時，每一步都有其設計目的，比如：選擇怎樣的三角形、怎樣的平行四邊形和梯形，是否要把這些圖形放置在方格紙上等，都是經過慎重思考后修改的，最終才確定以這樣的方式和表述形式呈現。這樣的設計，其目標除了考查學生是否熟練掌握這幾個平面圖形的基本特征外，還要檢測學生是否有能力從多個維度去思考、去分析、去解決問題、去進行語言表述。正如史寧中教授所說的那樣，是否能用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言去表達世界。

二、主題要豐厚——提升數學文化素養

數學是人類文化的重要組成部分，數學教學傳承著人類文明。教材中的知識往往遵循自身的邏輯體系，科學又嚴謹。但不難發現，有些數學知識恰恰和數學史上的一些趣味名題有著或多或少的聯系，這樣聯系有時在課內教學并不方便開展，因此可以設計成延伸性問題。試想一下，在課外拓展題的設計中，如果能夠在超越教材之外，將數學史料巧妙地帶給學生，提升學生的數學文化素養，這是一件多么有意義的事。

例如，在學習完五年級下冊第三單元《因數與倍數》后，筆者設計了這樣一道課外拓展題：

閱讀下面材料：

其中1、2、3是6的因數，并且還是自然數6除了它本身以外的所有因數。你知道嗎？在數學上，像6這樣的自然數——除了它本身以外的所有因數的和等于它本身，我們把這一類數稱為“完全數”。問題：除了自然數6是完全數以外，你還能再找出一個完全數嗎？

這是一個蘊含著深刻數學教育理念并極具創新的課外拓展題，它是數學史上最美妙的一類數——完全數。所謂完全數，是指一個數除了它本身以外的所有因數的和等于它本身。學生通過材料閱讀，結合《因數與倍數》這個單元所學的知識經驗，嘗試著去尋找另一個完全數，對于五年級學生而言，的確是可行的可操作。當然學生練習前，教師可以做一些鋪墊：先排除質數。因為質數的因數除了1就是它本身，按照規則，不能構成加法運算，所以一定不符合。再引導學生從最小的合數4開始有序思考，一一列舉，逐一排除。4、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28……找出第2個自然數28，28=1+2+4+7+14。這樣一個探究過程，既鞏固了找一個自然數的因數的方法，又培養了學生的抽象思維、逆向思維和探究意識。教師甚至還可以給學生補充：“在數學史上，6是一個完全數，也是最小的完全數，28是第二個被發現的完全數。目前人類利用計算機等工具高速運算，也才發現了38個完全數。在探索完全數的歷程中，留下了很多大數學家的足跡，如歐拉、畢達哥拉斯等，你們啊和大數學家一樣厲害。”通過這樣的課外拓展，讓學生把數學的史料進行了恰當的轉化和有效的對話，給學生提供了體驗數學發現的歷程，彰顯了數學史料的文化價值和教育價值。

再如，教學《比的意義》之后，可以讓學生收集有關“黃金比”的實例及其在生活中的應用實例，拓展學生的認知視野。教學蘇教版數學六年級下冊《解決問題的策略——假設》后，可以讓學生通過網絡等途徑查閱我國古代算術名著《孫子算經》，閱讀關于“雞兔同籠”問題的相關資料。蘇教版教材中也常常出現“你知道嗎？”這樣的欄目，其中很多就是古今中外的數學史料，為學生的課外拓展學習提供了很好的素材。翻開歷史的長卷，像這樣的數學史料舉不勝舉，它們是人類文明史上的寶貴財富，理應成為我們的教學資源，雕刻于學生的記憶深處，成為他們數學文化素養中不可或缺的一部分。因此，在設計課外拓展題時，要合理地開發和使用課程資源，提升學生的數學文化素養，使得數學學習變得豐厚起來。

三、內容要實在——完善知識的整體結構

數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現課程目標、實現數學教學的重要資源。正是由于教材有一定的知識體系，因而客觀上也規定了學生的主要學習內容。不難發現，在實際教學中，對于某些教學內容，我們常常會感覺學生的知識經驗和基礎差了那么一點，一些有經驗的教師，會在不違背數學知識邏輯關系的基礎上，根據學生的數學學習認知規律、知識背景和活動經驗，適當整合補充一些教學內容。實際上，學生有時完全可以超越教材，并且有能力去比較全面地了解或者學習某些相關內容，從而初步建立有關知識的整體結構。

比如，教學蘇教版數學五年級下冊第一單元《方程》時，教材中只安排教學未知數是一個加數或因數、被減數或被除數的方程，對于未知數是一個減數或者除數的方程并未呈現。新課程標準從學生的長遠發展和中小學教學的銜接出發，要求小學階段的學生也會利用等式的性質來解方程。因此，本單元安排了等式的性質的內容，并且分兩段教學，每一段教學等式的性質后，都及時讓學生運用等式的性質解方程。對此，筆者認為蘇教版教材這樣安排非常合理，符合數學的學科特征和學生的認知規律。教材回避了未知數是一個減數或者除數的方程計算，但是在利用方程來解決實際問題，特別是用到稍復雜的方程來解決實際問題時，學生完全有可能列出未知量在減數或者除數位置的方程，此刻怎么辦？為此，學習完簡單的一步計算的方程后，設計了這樣的課外拓展題：

（1）填空：20-（ ）=5，35÷（ ）=7。

（2）運用已有的知識解方程：20-x=5，35÷x=7。

結合四則運算各部分之間的關系：減數=被減數-差；除數=被除數÷商，憑借數感，學生很容易解決出第一個問題。解決第二個問題時，學生結合上一題的解題經驗，也能解出這種類型的一步計算方程。此刻很多教師，就會對學生說：“以后遇到這樣的方程，就用這樣的關系去解啊！”誠然，利用四則運算各部分之間的關系可以解決上述這一類方程，等式的性質在這里真的毫無用武之地嗎？不，知識不是孤立的，它是有聯系的。“數學理解的發展意味著，學生頭腦中建構更加豐富、更加具有整合性的知識結構，這種整合的知識結構使得學生的數學理解更富有生成性。”聯系是數學理解的本質。仔細分析教材上所呈現的方程式，其實它們都可以“看成”最基本的結構關系——“加法”關系和“乘法”關系。“減法”關系和“除法”關系是它們的逆運算，是可以實現轉化的。以這里的方程“20-x=5，35÷x=7”為例，利用知識的遷移，可以帶領學生完善等式的性質，明確：“等式的兩邊加上或減去同一個數，這里的同一個數可以是未知數x；等式的兩邊乘以或除以同一個數（0除外），這里的同一個數也可以是未知數x。”這樣方程“20-x=5，35÷x=7”就轉化成“20=5+x，35=7x”，這就是學生最熟悉的“加法”和“乘法”關系結構的方程。設計這樣的拓展訓練，既完善了學生的認知水平，也彌補了相關知識的缺陷，等學生到了中學階段，學習“合并同類項”和“移項”時，可以實現自然過渡，使得中小學階段關于方程的教學渾然一體，形成了完整的知識結構。

四、形式要靈活——培養綜合應用能力

數學源于生活。要認真挖掘學生所學的數學知識在社會生活、生產以及相關學科中的應用，精心設計問題情境，創造條件讓學生運用所學知識解決相關實際問題，讓學生體驗數學的應用價值。而培養小學生數學應用意識最有效的辦法就是讓學生有機會親身實踐。因此，課外拓展題的設計，要突出綜合性、應用型，形式更要靈活，以促進學生實踐能力的培養，提升學生的數學綜合應用能力。

例如：在五年級上冊《解決問題的策略——一一列舉》單元復習時，筆者設計了這樣一個拓展題：李伯伯有20米長的竹籬笆，請你幫他圍一個長方形的花圃（花圃的長和寬都是整米數）。李伯伯有個要求：他想讓花圃的一端靠著墻圍。你打算怎么設計？猜一猜：李伯伯會選擇哪一種方案，為什么？

本題是一道典型的開放題，和教材上的例題、習題最大的不同，就是多出“一端靠墻圍”這一條件。從課內到課外，既要求學生掌握常規的思維過程，又要打破學生的定式思維。“要靠墻圍，怎么靠？哪條邊去靠？”學生要在頭腦中對已有知識進行“再加工”，并加以調整、改組和充實，創造性地尋找獨特的解法。學生可以借助生活中的材料，比如課本、文具盒充當那面墻，用小棒搭一搭；也可以數形結合，畫示意圖分析題意，再運用一一列舉的策略解決該題。本題的設計方案一共有9種，其中長10米、寬5米時，面積最大。有心的教師還會帶著學生發現規律：不靠墻圍時，長和寬越接近，圍成的面積越大；靠墻圍時，當寬恰好是長的一半時，圍成的長方形面積最大。這樣的一個探究過程，是一個發展思維的過程，有利于學生開拓思維，凸顯過程和方法，體現數學理解。

課外拓展題的形式可以多種多樣，除了上述對學生思維要求比較高的綜合性拓展題，還可以抓住兒童愛玩的心理，布置一些從學校到家庭的實踐性拓展題。如教學“認識鐘表”時，可以讓學生回家和父母一起制作一個鐘面；教學“升和毫升”時，提前讓學生去超市里調查哪些商品用升或毫升做單位；教學“四則混合運算”之后，讓學生回家后借助撲克牌和父母玩玩算24點游戲；等等。

總之，有價值的課外拓展題是對課堂學習的有效補充，期望以這樣的課外拓展題更好地診斷學生數學理解的落實情況，從而改進我們的日常教學，更好地提升教學質量，促進學生核心素養的發展。

【參考文獻】

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