對一道高考試題的探究

許鳳姣 劉成龍 蔣紅珠

探究指“探索研究”，即努力找出答案，解決問題，數學探究活動指圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程，《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱《課標》）指出：數學探究活動是數學內容的主線之一，數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養的載體，”[1]可見，探究活動是新一輪課程改革提倡的重要數學活動形式，對學生數學素養的提升有益，下文以2013年高考安徽卷理科第9題（簡稱第9題）為探究問題，從背景、解法和拓展視角展開探究.

1 探究問題

希爾伯特指出：“數學問題是數學的靈魂，”數學問題是探究活動的起點，好的數學問題引領探究活動的順利開展，伴隨整個探究性活動，什么樣的數學問題適宜于探究呢？“問題真實，源于學生實際;問題難度適中，符合學生最近發展區;問題背景深刻、內涵豐富;解答視角寬，便于學生從不同角度探究;問題可變性強，宜于推廣和變式;問題與其它數學內容融合度大，”[2]第9題具有一定的難度、深度和廣度，是一個好的探究問題，

問題再現（2013年高考安徽卷·理9）在平面直角坐標系中，0是坐標原點，兩定點Α，Β滿足|OA|=|OB|= OA·OB =2，則點集{P|OP=λ0A+μOB，|λ|++|μ|≤1，λ，μ∈R）所表示區域的面積是（? ?）

2 問題背景

背景指命題時選取素材中含有的知識、模型、問題、文化、思想和方法等，[3]試題背景引領試題編擬方向，凸顯試題立意，研究試題背景，可以準確把握試題本質、理解試題設問、拓寬試題解法、加強試題拓展，第9題蘊含向量等系數和線（簡稱等和線）背景，

等和線定理[4]如圖1，直線AB∥DE，點C為直線DE上任意一點，P為直線AB，DE外一點，若PC=mPA+nPB，則m+n=k=PC/PF（其中K為定值）.

特別地，A，B，C共線時，m+n=1，反之亦然，

等和線定理的推廣形式為：

推廣型等和線定理如圖2，設直線DE∥AB，直線DE'∥A'B，直線D'E'∥A'B'，直線DE'∥A'B，點C為四邊形DED'E'邊界上任意一點，若PC=x PA+yPB，PCi/PFi=k（i=1，2，3，4），則|x|+|y|=k.

推論1 若|PA|=|PB|，四邊形ABA'B'的為矩形;

推論2 若|PA|=|PB|，|x|+|y|

由推論2 知第9題中點集P表示區域為矩形邊界及內部，得S= 4S△OAB，毫無疑問，熟悉上述背景對試題的本質、試題的解法將有更加深入的認識.

3解法研究

P.R.Halmos指出：數學家存在的主要理由是解問題，數學的真正組成部分是問題和解，可見，解題研究在數學活動中占有十分重要地位，解題研究的視角有：一題多解、多題一解、一題多用、錯解分析等等，[5]其中，一題多解指從不同視角對同一問題進行分析進而得到多種解答方法，通過對解法間共性與差異的把握，既能讓學生認識問題的本質，又能培養學生的發散思維，[6]第9題從直觀上看屬于線性規劃問題，但又有別于傳統的線性規劃問題，具有一定的新穎性和創造性，下面從特殊化、一般化和本質化給出問題的解答：

由cos∠AOB=OA·OB/|OA|·|OB|=1/2，得AOB∠=60°，故△OAB是邊長為2的等邊三角形，

視角1特殊化

華羅庚教授指出：“復雜的問題要善于‘退，足夠地‘退，退到最原始而不失重要性的地方”，特殊化是“退”的重要策略，

視角2 一般化

你能用不同的方式推導這個結果嗎？你能一眼就看出它來嗎？[5]

視角3 本質化

《標準》指出：“理解與高中數學關系密切的高等數學的內容，能夠從更高的觀點理解高中數學知識的本質，”“在日常的中學數學教學中，能夠用高等數學的思想、觀點、方法去解釋和理解中學數學問題的例子很多，重要的是，作為一名數學教師應該具有這樣的思維和意識.（張奠宙語）”從高等數學的角度來認識第9題的解答方法，

方法3 矩陣變換法

方法4 二重積分的變量代換法[7]

評注方法1將坐標特殊化，從線性規劃的角度進行求解，是考生最容易想到的辦法;方法2抓住試題的背景，給出了試題的一般解法，這對把握試題的本質有益;方法3、4從高等數學角度給出試題的解法，這對更高角度理解方法1、方法2有益，對深層次認識試題有利，對問題的推廣有用.

4 問題拓展

波利亞指出：沒有任何一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做，[5]比如，問題的拓展，第9題可以從變式和推廣兩個方面展開.

4.1 試題變式

變式是指相對于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使事物的非本質屬性時隱時現，而事物的本質屬性保持不變的變化方式，“依靠變式提升演練水準”是張奠宙先生指出的數學教學的四個特征之一，它不僅能有效制題海戰術，而且能完善學生認知，幫助學生形成良好的的認知結構，陳景潤先生指出“題有千變，貴在有根，”基于根一等和線定理，可以對第9題作出如下變式，

變式平面直角坐標系中，0是坐標原點，兩定點A，B滿足|OA|=|OB|，OA=（x1，Y1），OB= （X2，Y2），則點集{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R）表示區域的面積是2|x1Y2 - x2Y1|.

評注 第9題中條件|OA|=|OB|：OA·OB =2的功能是求△OAB的面積，事實上，由OA， OB的坐標即可確定△OAB的面積，于是可得上述變式，特別指出，變式中的|OA|=|OB|一條件可去掉，變式結論依然成立.

4.2 試題推廣

數學推廣是指在一定范圍內或一定層次上對數學概念、定理、法則進行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立，此外，也指對條件、結論進行結構分析以后，進行適當變化，使得到的新命題為真，[8]張景中院士指出：“推廣是數學研究中極其重要的手段之一，數學自身的發展在很大程度上依賴于推廣，試題推廣有利于完善學生認知結構，試題推廣的方法有：增加元的個數、提升元的次數，數字字母化，結論一般化等[6]，第9題可以從多視角推廣，如下：

視角1 條件中的常數一般化

視角2 平面問題空間化

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017

[2]蔣紅珠，劉成龍.對一道向量最值問題的研究性學習[J].福建中學數學，2018 （2）： 14一18

[3]薛世林，劉成龍.2016年高考四川理科數學卷21題的多角度分析[J].福建中學數學，2017 （4）： 4-6

[4]余小芬，劉成龍.2017全國卷III數學理科12題的研究[J].中學數學研究（江西），2017 （11）：37-39

[5]波利亞.涂泓，馮承天譯.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007

[6]余小芬，劉成龍.對2016年四川卷高考理科10題的研究[J].中學數學研究（江西），2016 （11）：12-16

[7]陳紀修，於崇華，金路.數學分析（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2004

[8]鄭隆昕.數學推廣的類型與思想方法[J].武漢教育學院學報，1999，18 （3）：5-10