試論“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)形成和發(fā)展的基本途徑

陳中峰

數(shù)學(xué)建模是新一輪課程改革提出的數(shù)學(xué)學(xué)科“六大”核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)與外界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的手段，只有切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，才能使學(xué)生切實感悟到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界間的密切聯(lián)系，才能自覺地從現(xiàn)實世界發(fā)現(xiàn)和提出與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題，并用數(shù)學(xué)語言加以表達(dá)，用數(shù)學(xué)模型加以解決，因此，數(shù)學(xué)建模是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”重要載體，是促進(jìn)學(xué)生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識發(fā)展的重要素養(yǎng)，正因為如此，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》十分關(guān)注數(shù)學(xué)建模活動，把“數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動”和函數(shù)、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計與概率等并列作為貫穿課程始終的四條內(nèi)容主線之一，并在評價考試建議中，要求保證“一定數(shù)量的應(yīng)用問題”“重點考查學(xué)生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識”等，讓促進(jìn)學(xué)生實踐創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展實實在在落在數(shù)學(xué)課程中，落在數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、評價考試中，那么，在課程實施中應(yīng)如何有效地促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)的形成和發(fā)展呢？本文擬就此作些探討.

1 數(shù)學(xué)建模的含義

數(shù)學(xué)建模（ Mathematical Modeling）是指用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖表等對現(xiàn)實世界相關(guān)問題的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象，并用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行準(zhǔn)確而又簡潔的刻劃，提煉出能夠恰好反映問題本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model），并通過對這個數(shù)學(xué)模型的解決，實現(xiàn)或解釋某些客觀現(xiàn)象、或預(yù)測未來發(fā)展規(guī)律、或為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略的目的，當(dāng)然，這里的數(shù)學(xué)模型，一般并非現(xiàn)實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實問題深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識，建立教學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程，數(shù)學(xué)建模一般包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，驗證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題等環(huán)節(jié)，

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)，是最重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，是聯(lián)系數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實世界的基本橋梁，將數(shù)學(xué)的知識、方法和思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)之外，解決實際問題的基本通道，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識與應(yīng)用意識，具有數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的學(xué)生，能夠在若干具體的現(xiàn)實世界中抽象出數(shù)學(xué)問題，并靈活運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識、方法和思想創(chuàng)造性地解決問題，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有利于激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識，促進(jìn)學(xué)生實踐、創(chuàng)新能力的提高，

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》，高中學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)的相關(guān)要求如下表：

2 促進(jìn)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)形成和發(fā)展的基本途徑

通過上述討論我們知道：數(shù)學(xué)建模實際上是對現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化處理，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識和方法建構(gòu)模型解決問題的過程，完整的數(shù)學(xué)建模一般包括模型建構(gòu)、數(shù)學(xué)求解及模型解釋三個階段，模型建構(gòu)階段主要是利用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在現(xiàn)實世界中的問題，借助數(shù)學(xué)思維對問題進(jìn)行分析，并利用數(shù)學(xué)語言對問題進(jìn)行表達(dá)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)從現(xiàn)實世界到數(shù)學(xué)世界的過渡，其核心在于合理地選擇、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)求解階段主要是利用數(shù)學(xué)的知識、技能、方法和思想對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，得到數(shù)學(xué)模型的解，其核心在于科學(xué)合理地應(yīng)用數(shù)學(xué)手段準(zhǔn)確地求解;而模型解釋階段主要是借助數(shù)學(xué)模型的解，驗證數(shù)學(xué)結(jié)論與實際問題的吻合程度，并據(jù)此對模型進(jìn)行反思、調(diào)整和改進(jìn)，確保模型能較好地反映實際問題，并用于預(yù)測或決策，由此可見，數(shù)學(xué)建模是一種綜合運(yùn)用知識分析解決問題的過程，不但要有敏銳的數(shù)學(xué)眼光，而且要有扎實的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成和發(fā)展不可能是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點，是一個漫長的過程，因此，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》在談到數(shù)學(xué)建模時特別強(qiáng)調(diào)，“教師應(yīng)整體設(shè)計、分步實施數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動，引導(dǎo)學(xué)生從類比模仿到自主創(chuàng)新、從局部實施到整體構(gòu)想，經(jīng)歷‘選題、開題、做題、結(jié)題的活動過程，積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗，養(yǎng)成獨(dú)立思考與合作交流的習(xí)慣”.

2.1 借助習(xí)題教學(xué)，交給“數(shù)學(xué)建模”方法

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的目的在于使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識自己生活的社會和環(huán)境，學(xué)會以數(shù)學(xué)的思維方式對現(xiàn)實世界的問題進(jìn)行思考，并將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、方法及思想合理地應(yīng)用于生活實踐，解決現(xiàn)實生活中的問題，但是，任何的學(xué)習(xí)都是從模仿開始的，學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)也是在一節(jié)課一節(jié)課、一個單元一個單元、一個主題一個主題的學(xué)習(xí)中不斷積累，逐步從模仿、吸收、內(nèi)化的過程中形成和發(fā)展起來的，在日常教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注尋找數(shù)學(xué)知識在客觀世界中的實際背景，引導(dǎo)學(xué)生提煉相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析模型的實際意義及適用情景，如，在函數(shù)的教學(xué)中應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生把握直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等函數(shù)模型，分析各種模型的增長含義及其在人口增長、利息計算、投資回報等方面的實際應(yīng)用，剖析各種增長模型在現(xiàn)實生活中的適用情形，建構(gòu)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知基礎(chǔ)，并在這個基礎(chǔ)上，合理利用具有實際應(yīng)用意義的例習(xí)題，通過對問題的合理解剖、分析，引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)會通過數(shù)學(xué)建模解決實際問題，初步掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法和過程，

案例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

方案1：每月回報40元;

方案2：第一個月回報10元，以后每月比前一月多回報10元;

方案3：第一個月回報0.4元，以后每月的回報比前一月翻一番，

請問，你會選擇哪種投資方案？

要解決這個問題，可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，選擇投資方案，為此，設(shè)第x月所得回報是y元，則方案1可以用函數(shù)y= 40.xeN*進(jìn)行描述;方案2可以用函數(shù)y=lOx.x∈N*進(jìn)行描述;方案3可以用函數(shù)y= 0.4×2x-1，x∈N+進(jìn)行描述，

三個模型，第一個是常數(shù)函數(shù)，后兩個都是遞增函數(shù)模型，要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情況進(jìn)行分析，為此，我們先用計算器或計算機(jī)計算三種方案所得回報的增長情況如下表：

由上表和圖象可知，方案1的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案2、方案3的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案3的函數(shù)與方案2的函數(shù)的增長情況很不相同，可以看到，盡管方案1、方案2在第1個月所得回報分別是方案3的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案3是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7月開始，方案3比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案1、方案2無法企及的，從每月所得回報看，在第1-4月，方案1最多;在第5-8月，方案2最多;第9月開始，方案3比其他兩個方案所得回報多得多，再通過比較投資期間的總收益，知道：如果投資時間不超過7個月，選擇方案1;投資時間超過7個月但不超過10個月，選擇方案2;投資時間超過10個月，選擇方案3.

結(jié)合問題的解決，在解決問題的過程中闡述數(shù)學(xué)建模的基本過程，并給出解決問題的流程圖：

在這個階段，側(cè)重點是讓學(xué)生熟悉相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，把握數(shù)學(xué)模型的含義及適用情形，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的基本流程，是方法的習(xí)得階段，實現(xiàn)“了解熟悉的數(shù)學(xué)模型的實際背景及其數(shù)學(xué)描述，了解數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)、結(jié)論的實際含義”，“知道數(shù)學(xué)建模的過程”，達(dá)到數(shù)學(xué)建模水平1的要求，是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的初步養(yǎng)成階段.

2.2 經(jīng)歷問題解決，積累“數(shù)學(xué)建模”經(jīng)驗

數(shù)學(xué)建模是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的過程，需要靈活地將所學(xué)的數(shù)學(xué)模型合理地應(yīng)用于實際問題之中，單憑模仿是無法完成的，模仿的目的是為了能夠自主地應(yīng)用，當(dāng)然，這個目標(biāo)的實現(xiàn)，不但要掌握數(shù)學(xué)建模的基本流程，還需要具備較豐富的數(shù)學(xué)模型、把握相關(guān)模型的含義及適用情形，這需要一個漫長的逐步內(nèi)化的過程，因此，在數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中應(yīng)根據(jù)具體數(shù)學(xué)模型，通過適時的合理變式，營造解決實際問題的氛圍，讓學(xué)生初步經(jīng)歷應(yīng)用知識解決問題的過程，通過相對獨(dú)立地解決實際問題，實現(xiàn)“能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問題;理解模型中參數(shù)的意義，知道如何確定參數(shù)，建立模型，求解模型;能夠根據(jù)問題的實際意義檢驗結(jié)果，完善模型，解決問題;能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，理解數(shù)學(xué)建模的意義;能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，表述數(shù)學(xué)建模過程中的問題以及解決問題的過程和結(jié)果，形成研究報告，展示研究成果”，達(dá)到數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平二的要求，并在這個過程中積累數(shù)學(xué)建模的基本經(jīng)驗，為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的進(jìn)一步發(fā)展提供保證，

案例2 在解三角形的教學(xué)中，在講解相關(guān)例題的基礎(chǔ)上，通過變式讓學(xué)生借助皮尺、測角器測量河對岸的某建筑物的高度，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)建模的基本流程進(jìn)行分析討論：

這個階段是知識的初步應(yīng)用階段，應(yīng)合理把握問題的難度及其與所學(xué)知識的關(guān)聯(lián)度，不宜選擇過難或過于綜合的問題，并堅持以“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的原則，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生自主嘗試應(yīng)用所學(xué)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、解決問題，重在個體體驗，讓學(xué)生體驗中初步學(xué)會應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)模型解決實際問題，為進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)積累經(jīng)驗.

2.1 通過實踐活動，提升“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)

當(dāng)代教育理論研究表明，學(xué)生精確地掌握好基本概念、基本原理，并使之高度概括化、結(jié)構(gòu)化，是促進(jìn)知識遷移和能力發(fā)展的最重要的條件;但知識和方法的學(xué)習(xí)僅僅是能力和素養(yǎng)形成的一種條件，而人的能力和素養(yǎng)只能在一定的實踐活動中形成和發(fā)展，因此，教學(xué)中不但要引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)建模的基本方法，掌握數(shù)學(xué)模型的確切含義及實際意義，更要在這個基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)積累適時地選擇適量的具有一定挑戰(zhàn)性的實際問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用相關(guān)知識解決實際問題的數(shù)學(xué)建模實踐，實現(xiàn)“能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問題;理解模型中參數(shù)的意義，知道如何確定參數(shù)，建立模型，求解模型;能夠根據(jù)問題的實際意義檢驗結(jié)果，完善模型，解決問題;能夠在綜合的情境中，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，提出數(shù)學(xué)問題;能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的一般方法和相關(guān)知識，創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型，解決問題”等，不斷提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，

案例3 一杯88°的熱水，放在室溫為24°的房間，那么水溫自然冷卻到35°，需要多少分鐘？

這是一個實際問題，應(yīng)如何解決它呢？要解決這個問題，必須知道熱水在自然冷卻過程中水溫變化的曲線，如何得到這條曲線呢？這樣自然就有以下解決問題的過程：

（1）提出問題：將水加熱到一定溫度后放在室溫中自然冷卻，采集冷卻過程中水的溫度y隨著時間x的變化數(shù)據(jù)，作出水溫隨時間變化的曲線圖，選用一個函數(shù)模型表示該曲線并求出該函數(shù)的解析式.

（2）數(shù)據(jù)采集與整理：記下室溫，將一杯水加熱到一定溫度，借助計算機(jī)與TI溫度傳感器采集水溫變化數(shù)據(jù).

（3）數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析：利用TI圖形計算器將收集到的數(shù)據(jù)發(fā)送到“數(shù)據(jù)與統(tǒng)計”，得到一條溫度隨時間變化的散點圖.

（4）模型選取與建立：觀察曲線形狀，選擇一種恰當(dāng)?shù)幕貧w模型，得到一條回歸曲線及其方程，如二次回歸模型、三次回歸模型、指數(shù)回歸模型等.

（5）模型求解與檢驗：根據(jù)不同的模型分別計算某些時刻的水溫，發(fā)現(xiàn)：用二次回歸模型刻畫，經(jīng)過一定的時間，水溫將回升;用三次回歸模型刻畫，隨著時間的推移，水溫將不斷下降，低于室溫，這都與事實不符，不合常理，事實上，隨著時間的推移，水溫應(yīng)該無限趨向于室溫，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可對指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，選用f（x）= abx+c（其中c為室溫）模型進(jìn)行擬合，

問題的解決經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的完整過程，體現(xiàn)了較高的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，解決問題的基本流程見文末，

必須指出的是，流程圖中三條途徑雖然是從不同的側(cè)面提出的，但在教學(xué)的過程中它們常常是互相交融，相互促進(jìn)的有機(jī)整體，呈交替進(jìn)行螺旋上升的態(tài)勢，數(shù)學(xué)模型的把握和理解、數(shù)學(xué)建模方法的掌握是開展數(shù)學(xué)建模實踐、積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗的前提和基礎(chǔ)，而豐富的數(shù)學(xué)建模實踐經(jīng)驗又進(jìn)一步促進(jìn)對數(shù)學(xué)建模方法的掌握及更深刻理解地數(shù)學(xué)模型的含義與價值，

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是一項綜合性素養(yǎng)，涉及了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成和發(fā)展不是一朝一夕能夠完成的，它需要日積月累的循序漸進(jìn)的過程，本文僅僅從它的形成和發(fā)展的途徑方面作些探討，至于如何高效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展尚待日后作進(jìn)一步深入研究，

參考文獻(xiàn)

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