基于深度學習的微研究實踐

馬海龍

《中國學生發展核心素養》已經正式發布，以培養“全面發展的人”為最終目的，在高中數學教學中就反映在落實數學六大核心素養，而落實核心素養重在使用好數學教材，教材是編寫組在充分調研基礎上，精心設計、合理編排的，讓學生經歷完整研究過程，感悟數學的思想性，但實際教學中，數學教材的使用存在著值得探討問題：有的是棄教材而不用;有的是把教材作為知識點的提供者;還有的是使用教材了但挖掘的深度不夠，不足以促進學生的核心素養的提升，如何讓教材的使用承擔起落實核心素養的重任？正是對這個問題的思考，本文基于深度學習理論，以一道課本習題的微研究為案例，讓學生經歷了完整的獲得對象一研究性質一應用拓展的過程，實踐了以發展學生數學核心素養為目的課堂教學.

1 深度學習

1.1 深度學習的內涵

深度學習理論認為學習既是個體感知、記憶、思維等認知過程，也是根植于社會文化、歷史背景、現實生活的社會建構過程[1].深度學習也被譯為深層學習，是美國學者Ference Marton和Roger Saljo基于學生閱讀的實驗，針對孤立記憶和非批判性接受知識的淺層學習，于1976年首次提出的關于學習層次的一個概念[2].

深度學習是學生源于自身內部動機，對有價值的學習內容展開的完整的、準確的、豐富的、深刻的學習[3]，從本質上看，深度學習是一種主動的、探究式的、理解性的學習方式，要求學習者掌握非結構化的深層知識并進行批判性的高階思維、主動的知識建構、有效的遷移應用及真實問題的解決，進而實現元認知能力、問題解決能力、批判性思維、創造性思維等高價能力的發展;與之相對應的淺層學習則是一種被動的、機械式的、記憶性的學習方式，只是把信息作為孤立的、不相關的事實來被動接受、簡單重復和機械記憶，忽視對知識的深層加工、深度理解及長期保持，更無法實現知識建構、遷移應用及真實情景中的復雜問題解決[4].

深度學習是有意義的學習，要求學生的學習不是單純的接受，而是在發現基礎上的同化;深度學習是理解性的學習，重在引導學生通過深切的體驗和深入的思考，達成對學科本質和知識意義的滲透理解;深度學習是階梯式的學習，要求學生的學習必須是促進式的、層次性的、階梯式的[3].

1.2 深度學習對微研究的指導意義

本文的微研究是指針對高中數學教學實際，把研究內容放在“小現象、小策略、小教學”上，雖然研究的問題是“微”、“小”的，但本質上也是“研究”，要求是高效的：要把數學學科的價值追求及所蘊含的精神融入其中，要挖掘出對學生個體——人的后續學習發展最有價值的、能遷移、能內化的部分.

基于深度學習的微研究，是源于學生自身內部動機，對有價值的學習內容讓學生學習到數學最本質、最有價值的知識，也就是微研究要落實在核心概念與命題、本質與規律、思想與方法、產生與來源、關系與結構上，最終實現數學核心素養的落實.

2 實踐案例

2.1 獲得對象——來源于教材

人教A版高中數學2第124頁一道題目：

己知點M（x，y）與兩個定點0（0，0），A（3，0）的距離之比為1/2，求點M的軌跡方程，

這道課本習題，學生應用解析法可順利完成，若止步于此，學生的學習狀態就停留在淺層學習水平而鮮有對核心素養的發展，既浪費了一道好題，學生又沒能學習到最本質、最有價值的知識.

2.2 引向深度——推廣到一般

為挖掘本題深刻含義，開展微研究，師生提出變式問題：己知點M（x，y）與兩個定點0（0，0），A（3，0）的距離之比為2，求點M的軌跡，完成后提出問題1：

問題1 能提出一般性的問題嗎？能解決它嗎？

學生提出平面上動點P到兩定點A，B的距離之比為定值λ（λ>0，且λ≠1），求動點P的軌跡，

學生完成求解后，師生共同總結出：

阿波羅尼斯圓定理 已知平面上兩定點A，B，則所有滿足PA/PB=λ（λ>0，且λ≠1）的動點P的軌跡是一個圓.（這個軌跡最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，下文簡稱阿氏圓）.

這種一般化的思考，就是深度學習的體現，在微研究過程中，學生批判地學習，主動地探究，自主地建構知識，這種有效遷移應用，是一種創造性思維能力，同時也是對核心素養數學抽象的落實，在微研究中，學生從原題及變式中辨認出：動點到兩定點的距離比為定值是阿氏圓的本質特征，通過抽象使得原型內涵減少，結構變弱，外延擴張，獲得比原結構更廣的結構，使原結構成為后者的特例，這種抽象是弱抽象，也就是由特殊到一般.

2.3 領悟本質——幾何化表征

希爾伯特指出：數學是一個不可分割的有機整體，它的生命力在于各個部分之間的聯系，從不同的角度對同一數學對象進行多元表征，可以使數學學習對象多角度具體化，加深對同一數學對象的認識，阿氏圓本身是幾何問題，教師可引導學生用幾何知識解決該問題.

問題2 阿氏圓定理能用幾何證明嗎？

這需要學生對新知識進行充分的思維加工，讓其與已有的初中平面幾何知識結構相互作用，使新知識同化到已有認知結構中去，達到對新知識的相應理解和主動建構.

證明如圖1，在△PAB中，內角∠P的平分線與邊AB交于E，外角∠P的平分線與AB的延長線交于F，由角平分線性質得AE/BE=λ，AF/BF=λ，又∠EPF= 90°，故點P在以EF為直徑的圓上，

這個證明可以在新知識和原有知識之間建立聯系，有利于把所學知識遷移應用到新的問題情境中使用，有利于構建良好的知識體系，這樣構造的知識體系和正遷移能力正是深度學習的特點，也體現了直觀想象的核心素養，高中階段，直觀想象主要表現在利用圖形描述、理解數學問題，利用圖形探索、解決數學問題，通過構建直觀模型，加深對事物本質和發展規律的理解和認知，阿氏圓的證明通過平面幾何知識解決，是直觀想象的一個實例，體現出阿氏圓不僅是建立在抽象的代數運算基礎上，也是在動態的幾何問題中找尋到的不變幾何關系.

至此，學生能使用術語交流，能解釋阿氏圓的結構、表述，能依據題目對阿氏圓作出估計或預測、推斷，對于阿氏圓的學習達到了深度學習理論中的領會水平，領會是指理解交流內容中所含文字信息的各種指標、行為或反應，領會側重于理解，基本表現方式的有三種：轉化、解釋、推斷.

2.4 抓住核心——要素與分析

深度學習理論認為，分析是一種高階思維能力，分析有三個層次：一是把材料分解成各個組成部分;二是弄清各部分之間的關系;三是識別出把材料組合在一起，使之成為一個整體的組織原理、排列和結構，分析代表了更高的智能水平：既要理解材料的內容，又要理解其結構，

問題3 阿氏圓涉及幾個要素？各要素之間關系如何？

阿氏圓涉及的要素有：定點A，B，定值λ，動點P，從正、逆兩個角度對要素進行分析：

（1）當A，B，λ已知時，先在AB直線上確定點E，F，使得EA/EB=FA/FB=λ，以EF為直徑的圓即為對應的阿氏圓，如圖1.

（2）當已知A及點P所在的阿氏圓時，可確定另一定點B的位置，如圖1，設阿氏圓的圓心為O，半徑為r，則有EA/EB=FA/FB=OA-r/r-OB=λ=AP/BP，整理得λ=OA/r=r/OB，即r是OA，OB的等比中項，且公比為λ，該結論形式優美，易于記憶，方便解決問題.

通過對要素的分析，學生加深了理解，對阿氏圓的記憶不再是淺層學習的機械記憶，而是在真正理解基礎上的聯想記憶，關注的焦點也不再是解決問題所需的公式和外在線索，而是解決問題所需的核心原理.

2.5 運用實踐——內隱轉外顯

深度學習理論認為，運用是以領會為基礎，比領會的要求更高級，領會的標志在于，當說明抽象概念的用途時，能使用該抽象概念;運用則指在沒有說明問題解決模式的情況下，能使用抽象概念于適當情境，領會側重于理解，是內隱行為，運用則是外顯的表現.

運用1 尋找隱圓

運用2 顯露定點

運用3空間問題

運用4綜合運用

深度學習理論認為，分析與綜合是緊密聯系，但綜合同分析相反，它是把各要素組合為一體的帶有創新性的技能，雖然領會、運用、分析也涉及到要素的組合和意義的構建，但它們往往是局部的，不完全的，而綜合則是整體性的，通過綜合與分析，就能掌握其中的核心概念和原理，以不變應萬變.

3 實踐微研究的思考

3.1 用微研究激活教材內容

教材中出現的內容，是在人類長期的實踐中經過千錘百煉的數學精華和基礎，其中數學的概念、定理、公式及部分習題都具有實際背景和深刻含義，蘊含著豐富的數學方法和數學思想，如在人教A版必修1中對第一個具體函數一指數函數的研究順序：

這是高中函數微研究的范例，對于對數函數、三角函數等都遵循這個模式，只要學生掌握了這種方法，研究函數也就有章可循，因此，教師要深刻理解教材的設計意圖，不輕易“放過”教材中的任何一幅圖、一道例題、一道習題，不輕易“放過”教材問題呈現的方式，不輕易“放過”教材研究和解決問題的方法，教材是專家經驗的積累、智慧的結晶，其每一個組成元素都有其存在的價值，教師要學會學生引領學生深度學習，深度挖掘其內在的豐富內涵，通過微研究讓學生體會數學知識的形成過程，讓學生嘗試成功的歡愉，讓學生品味到數學的韻味.

3.2 用微研究實現深度學習

基于深度學習的微研究，是讓學生學習到學科最本質、最有價值的知識，微研究要研究那些數學學科的核心概念與命題，是這些最基本的知識締造了數學學科體系的基石，微研究要關注能判斷成為“數學學科”的最根本的屬性;要注重事物、現象及過程內在的、本質的必然的聯系;要體現出“知識”背后的“知識”，這些是數學家提出的對數學發展和數學學習最具有影響力的觀念、思想和見解，是數學的精髓與靈魂，通過對數學知識的追本溯源的微研究，讓學生掌握數學的產生與來源，對于學生整體把握數學顯得尤為關鍵，數學之所以為“數學”而不是簡單概念與知識要點的堆砌，其中非常重要的原因在于有著自己獨特的結構，數學知識之間存在著不可割裂的內在聯系，微研究要建立在使學生掌握數學學科內部的關系與結構上，學生就能從整體上把握數學學習與研究的精髓.

參考文獻

[1]馮銳，任友群.學習研究的轉向與學習科學的形成[J].電化教育研究，2009（2）：23-26

[2]MartonF，SaljoR.On Qualitative Difference in Learning： Outcome andProcess[J]. BritishjournalofEducationalPsychology， 1976 （46） ： 4-11

[3]賀慧.回歸課堂原點的深度學習論[J].基礎教育課程，2015 （12）：8-13

[4]張浩，吳秀娟，王靜.深度學習的目標與評價體系構建[J].中國電化教育，2014（7）：51-55

[5]陳柏良，課堂教學要注重演繹結構的設計[J].中學數學教學參考，2014（12）：2-4