隨位移均勻變化的磁場中電磁感應規律的初探

甘恒一 胡 安 湯辰旭 姜付錦

(黃陂區第一中學 湖北 武漢 430030)

1 題目

如圖1所示，在第一象限內存在垂直紙面向外的磁場，磁感應強度B=B0+kx,(B0>0,k>0且都是常數)，x為某點到y軸的距離，有一個邊長為L的正方形導體線框ABCD沿x軸從原點以速度v0勻速運動，求導體線框中產生的感應電動勢E.

圖1 題目題圖

設AD所在位置坐標為xD，BC邊所在位置為

xC，由法拉第電磁感應定律，則

EAD=BDLv0EBC=BCLv0xC-xD=L

導體線框中的總電動勢為

E=BCLv0-BDLv0=L2kv0

2 若導體線框是正三角形會怎樣

總電動勢微元

把上式求定積分得

圖2 導體線框邊長為L的正三角形

3 若導體線框是一個半徑為R的圓形，則結果又如何

如圖3所示，在夾角為θ兩邊對稱位置取微元Rdθ，則電動勢微元為

dE=dE2-dE1=[B0+k(x0+Rsinθ)]Rv0·

sinθdθ-[B0+k(x0-Rsinθ)]Rv0sinθdθ

整理后得

dE=2RsinθkRv0sinθdθ=2R2kv0sin2θdθ

對以上式子求定積分得

圖3 導體線框為半徑R的圓形

4 一點猜想

當導體線框是正方形時，導體線框中的總電動勢為

E=BCLv0-BDLv0=L2kv0

當導體線框是正三角形時，導體線框中的總電動勢為

當導體線框是圓形時，導體線框中的總電動勢為

通過以上分析可以發現，感應電動勢與導體線框的面積成正比，比例系數為kv0，為什么是這樣的呢？

5 數學證明

如圖4所示，假設導體線框是任意形狀的封閉曲線，把曲線在縱向平均分割成無數個條狀面元，每個面元的高度為Δy，在其上任意選擇一個矩形ABCD，則這個矩形中產生的感應電動勢為

dE=(B0+kxD)v0Δy-(B0+kxA)v0Δy=

v0k(xD-xA)Δy=v0kΔxΔy

上式中的ΔyΔx正好是面元的面積，所以對它求定積分后就是導體線框的面積.

綜上所述，在隨位移均勻變化的磁場中，導體線框在勻速運動時產生的 感應電動勢與導體線框的面積成正比，比例系數為kv0.

圖4 導體線框為任意形狀的封閉曲線