函數思想方法在非函數型不等式中的運用

黃如炎

有些難度較大的不等式（最值）問題，表面看似與函數無關但背后往往蘊藏著某個函數，如能揭示所隱含的函數，通過研究函數的性質與圖象可化難為易，此類不等式（最值）問題在近年高考壓軸題、競賽題和數學問題中時有出現，學生不知所措，束手無策，應引起教師教學上的重視，運用函數思想方法解決非函數型不等式（最值）問題的關鍵在于根據不等式結構特征或將不等式變形轉化后構建以某個量為自變量的函數，利用導數研究函數的單調性、最值、極值、切線和圖象后使問題獲解，探尋與構建不等式中蘊藏函數的方法機智靈活多樣，主要有以下幾種情境與對策.

方法提煉 對某些多元對稱不等式，可利用不等式等號成立時函數取得極值探尋不等式g（a）≥h（a），即構建函數f（x）=g（x）一h（x）解決問題，此方法比利用切線尋找函數的一次估計式更具有一般性.

例8[2] （《數學通報》數學問題2080）正數a，b，c滿足a+ 2b+ 3c≤abc，求5a+ 22b+c最小值.

本問題難度較大，引起了許多中數研究者的關注和探究，問題提供人是在賦予a ，b，c具體值的情況下設置本問題，可根據已知a，b，c值和均值不等式取等號的條件對式子進行變形配湊后用均值不等式求出最值[3]，但在外人看來這種變形分拆神秘莫測，文獻[4～6]通過待定系數法、算術平均不等式、加權冪平均不等式等方法進行探究，雖然揭開了命題者解題的神秘面紗，但都涉及到多元高次方程，求解過程十分艱難，下面通過構建函數既輕松解決問題……