面向控制的固沖發動機建模技術研究

宋少倩，陳新民，盧 鑫，劉 娟，韓英宏

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

0 引 言

固體火箭沖壓發動機（以下簡稱固沖發動機）與固體火箭發動機相比具有比沖高且推力連續可調的優點，采用固沖發動機的導彈通常以推力控制為手段實現導彈速度的主動控制，從而獲得更遠射程等更優性能。固沖發動機作為導彈速度控制的控制對象，其模型的準確性是掌握固沖發動機特性、設計高效合理的控制方法及提高控制品質的基礎，從而發揮固沖發動機的最佳性能，實現導彈總體最優性能。

針對流量可調的發動機，國內外開展了不同精度和復雜程度的發動機模型研究。文獻[1]針對某航空渦軸發動機的調節器需求，分別開展了調節器的靜態特性和動態特性模型研究，并利用試驗數據進行驗證；文獻[2]和文獻[3]對固沖發動機的負調特性進行了機理分析，給出了發生原因和影響因素，但其對模型的假設約束過強；文獻[4]給出了一種噴氣發動機的離線模型和在線模型的建模方法，對于固沖發動機建模有一定借鑒意義。目前，用于導彈速度控制的固沖發動機建模方法相對較少，本文主要針對該問題進行研究。

本文立足固沖發動機工作原理，從控制系統設計與仿真需求角度出發開展面向控制的固沖發動機建模技術研究，包括固沖發動機穩態性能模型和動態特性模型的建立。本文所提出的穩態性能模型設計方法，可使固沖發動機性能與總體、環境參數有效解耦，提高各系統研制效率。本文采用Jacobian線性化法[5]所建立的線性變參數（Linear Parameter Varying，LPV）模型可以較好地反映固沖發動機的動態特性，同時便于工程上采用經典控制理論對控制對象進行綜合與分析。

1 穩態性能建模

固沖發動機的穩態性能是指發動機在不同空氣來流和燃氣流量組合下的推力特性 F和喘振裕度δ，其中喘振裕度用來表征進氣道是否處于穩定工作狀態，計算公式為

式中 m˙5為噴管出口截面的燃氣質量流量； V5為噴管出口燃氣流速； m˙K為來流空氣質量流量； VH為來流在發動機推力矢量方向的分量速度；p5為噴管出口壓強；pH為環境壓強；A5為出口面積；p0為進氣道來流靜壓；p2為進氣道出口靜壓； pin為進氣道最大反壓比。

由式（1）、式（2）可知，固沖發動機的穩態性能計算較為復雜，除與發動機自身參數有關外，還與來流參數密切相關，如不同飛行狀態下的空氣密度、壓強等。通常將固沖發動機穩態性能直接表示為高度、馬赫數、攻角、側滑角和燃氣流量的函數，即F =f(H,M a ,α ,β, m ˙f0)，將大氣模型包含在穩態性能中。這種傳統建模方式使固沖發動機性能與大氣環境緊密耦合，不利于固沖發動機性能偏差組成的識別，在大氣環境模型復雜的情況下，該方式使得固沖發動機性能建模更為繁瑣，增大了控制系統對固沖發動機穩態性能、導彈性能分析及評估的難度。

本文從控制系統設計與仿真角度提出一種新的穩態性能接口方法，將大氣模型和飛行狀態從固沖發動機推力性能中剝離，即表示為F= q S·Cp(P,T,M a,α,β,m ˙f0) ，其中：q為來流動壓，S為參考面積，pC為推力系數，如圖1所示。該穩態性能建模方法可使動力系統與總體參數、環境解耦，使得固沖發動機性能物理概念更加清晰，且不損失性能模型的精度，有利于控制系統的分析、設計與仿真，有利于導彈系統的工程研制。

圖1 穩態性能接口示意Fig.1 Schematic Diagram of Steady Characteristics Interface

2 動態特性建模

固沖發動機動態特性是指發動機從接收燃氣流量指令到產生推力的響應特性，其組成如圖2所示。

圖2 固沖發動機模型框圖Fig.2 Block Diagram of Solid Ducted Rocket Model

固沖發動機的工作原理是首先根據離線經驗公式將燃氣流量指令換算成壓強指令，然后比較燃氣發生器內實際壓強與目標壓強，驅動燃氣發生器調節閥的開度，改變噴管喉部面積，調節燃氣流量大小，從而達到調節推力的目的。

根據組成結構將固沖發動機分為流量調節裝置和補燃室兩大部分。補燃室的燃燒特性相對緩慢，一般根據試驗數據用一階慣性環節FG描述。流量調節裝置是反映了燃氣流量的響應特性，其組成環節多且動態過程復雜，需重點研究。

2.1 非線性微分方程

流量調節裝置由燃氣流量控制器、調節閥、燃氣發生器和燃氣流量輸出4部分組成。

燃氣流量控制器的功能是將燃氣流量指令轉換為壓強指令，同時根據壓強指令和反饋壓強的差值輸出執行機構的角度指令，數學公式如下：

式中rcP為壓強指令；rP為燃氣發生器內壓強；fcm˙為燃氣流量指令；Pρ為推進劑密度；bA為藥柱截面積；a為燃速系數；0T為推進劑初溫；τ為推進劑燃速溫度敏感系數；cθ為伺服閥轉角；n為燃速壓強指數。

調節閥的功能是響應控制器給出的角度指令，實現調節閥開度調節，用二階傳遞函數sfG 表示其動態特性。

燃氣發生器是流量調節裝置的核心部件，該系統是一個充滿高溫高壓燃氣、可積累工質質量和熱量的容器。在建模過程中假設：a）燃氣發生器內的氣體參數處處相等；b）燃氣服從理想氣體狀態方程；c）燃氣發生器內溫度保持不變。流量調節裝置的非線性微分方程為[6]

式中rV為自由容積；*rC為特征速度；rAt為喉部面積；X為藥柱消耗肉厚；R為特征速度。

燃氣流量計算模塊的功能是根據燃氣發生器當前壓強計算燃氣流量響應值，具體如下：

2.2 線性變參數模型的建立

對于較復雜的非線性微分方程，很難得到其解析解。LPV模型通過描述非線性系統的一系列局部特性，利用狀態或輸入的小擾動，使其能夠解析求解而又具有必要的工程精度。同時，相對于傳統線性模型，LPV模型的優點在于可以運用線性系統理論的方法進行變增益控制器的設計，其增益隨著調度參數的變化而變化，而調度參數的變化能夠體現出系統的非線性和時變性，能夠保證參數在較大范圍內劇烈變化時系統的全局穩定性[7]。

建立LPV模型的方法有：Jacobian線性化法、狀態變化法和函數替代法，其中Jacobian線性化法是應用最普遍的一種方法[5]。本文采用Jacobian線性化法建立固沖發動機的LPV模型。設某非線性微分方程組為

式中 x為系統狀態；u為系統輸入信號；z為所控制的誤差信號；y為輸入到控制系統的測量輸出信號；w為外部調參信號或者外來信號如參考信號；v通常指干擾和噪聲輸入信號。

根據非線性系統的時變特性，選擇調參變量θ，在一 個 多 胞 集 合 Θ 內 ， 即 θ∈ C o (Θ)，為事先未知但可測量和估計的矢量參數。

柵格化參數空間，可得式（6）的一系列平衡點xe(θ)， ve(θ)， ue(θ)和 we(θ)滿足：

則，式（6）可寫成如下的LPV模型：

式（7）中系統狀態矩陣為方程偏導數在平衡點處的值，例如：

燃氣流量發生器的動態特性是指其在控制作用下的運動特性。在導彈飛行過程中，固沖發動機并非僅在一個狀態點工作，而是在飛行包線下狀態量變化范圍內工作的。在整個飛行包線內建立燃氣流量的LPV模型可以提高其與非線性模型的匹配度，為LPV魯棒控制器的設計奠定基礎。

根據 LPV理論和固沖發動機的非線性微分方程知，燃氣流量調節裝置是一個三階三元微分方程，控制器為前置的輸入方程，燃氣流量計算模塊為輸出方程，狀態量為燃氣發生器內壓強、自由容積和藥柱長度，輸入量為伺服閥角度，輸出量為燃氣流量。

選取微分方程的狀態變量[PrVrX]為調參變量，并求解式（8），可得燃氣發生器穩態時飛行包線內不同狀態量組合下的伺服閥角度值θtrim。

當燃氣發生器藥柱為端面燃燒藥柱，藥柱燃燒面積保持不變時，即(X)為定值，則配平角度θtrim僅與壓強有關，如圖3所示。

圖3 配平角度隨燃氣發生器壓強的變化曲線Fig.3 Relationship between Trim Angle and the Pressure of Gas Generator

由圖3可知，燃氣室內壓強越大時所需的角度越大，對應的伺服閥開度越小。

在平衡點處對式（3）～（5）進行泰勒展開，去掉高次項，可得流量調節裝置的LPV模型為

則，在每一個固定點trimθ，式（9）描述了式（3）～（5）在該點的局部特性。

2.3 傳遞函數的綜合與分析

燃氣流量裝置在產生燃氣流量的過程中，其狀態參數均是隨時間變化的，因此，LPV模型總是變系數線性微分方程組。采用系數“凍結”法[8]，將某時刻的LPV模型變為常系數線性系統進行分析和綜合，從而可運用線性系統理論了解燃氣流量的動態特性。

將某一時刻的燃氣發生器 LPV模型進行拉氏變換，其輸入方程為

圖4 固沖發動機控制框示意Fig.4 Control Diagram of Solid Ducted Rocket

推導可得燃氣流量調節裝置的傳遞函數如下式：

式中 K為增益； z1， z2為零點； p1， p2為兩個實數極點； p3， p4為兩個復數極點組成的二階振蕩環節系數。其中僅為負值，因此存在一個位于右半平面的零點，燃氣流量調節特性具有非最小相位的特點，如不穩定特性及負調特性等。

給定幅值為0.5°的伺服閥角度階躍信號，不同自由容積和壓強下的燃氣流量響應如圖5和圖6所示。

圖5 不同自由容積下的燃氣流量曲線Fig.5 Gas Flow Rate for Different Free Volume

圖6 不同壓強下的燃氣流量響應曲線Fig.6 Gas Flow Rate for Different Pressure

由圖5、圖6可知，燃氣流量隨著自由容積的增大燃氣流量的響應越慢，負調量越大；隨著壓強的升高，燃氣流量的響應越快，負調量越大。因此，在導彈飛行末段，燃氣發生器內自由容積大，燃氣流量的調節特性較差，不利于速度控制的精確控制。

燃氣流量負調特性的物理機理為：燃氣流量的調節是通過燃氣發生器內壓強變化調節推進劑的燃速來實現的，推進劑的燃燒是一個化學過程，變化較慢，而隨壓強指令變化的伺服調節閥響應較快，兩者響應速度的不匹配導致其負調特性現象的存在。即當燃氣流量指令增大時，調節閥角度增大（開度變小），此時燃氣發生器內壓強增大，以促進推進劑的燃燒，從而緩慢地增大燃氣流量，但調節閥的響應很快，角度增大的瞬間燃氣流量先是減小的。因此，增大燃氣流量的響應過程是先減小后增大的負調特性。

3 仿真驗證

選取燃氣發生器壓強和自由容積為某典型工況，即將燃氣流量的LPV模型固定在某一時刻，給定幅值為0.05 kg/s的燃氣流量階躍信號，對應的LPV模型與非線性模型響應曲線如圖7和圖8所示。

圖7 燃氣流量響應曲線Fig.7 Pesponse of Gas Flow Rate

圖8 壓強響應曲線Fig.8 Response of Pressure

由圖7、圖8可知，采用本文所示的建模方法可以較好地逼近非線性模型，可用于動態特性分析與速度控制器設計。

4 結 論

本文開展了面向控制的固沖發動機建模技術研究，結論如下：

a）提出的固沖發動機穩態性能建模方法，可以使動力系統與總體參數、環境有效解耦，利于各系統的快速研制；

b）所建立的固沖發動機動態特性模型較好地逼近非線性模型，可用于動態特性的分析與導彈速度控制器的設計；

c）固沖發動機的燃氣流量響應是一個非最小相位環節，有一個位于 s平面右半部的零點。本文從數學推導和物理機理兩方面給出了負調特性產生的原因，同時指出燃氣流量隨著自由容積的增大其響應特性變差，給速度精確控制帶來一定難度。