幾何畫板（GSP）輔助高中數學圓錐曲線教學的實踐研究
——以吉林省前郭縣第五中學為例

（前郭縣第五中學，吉林前郭131100）

一、研究意義

教育部發(fā)布的《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出“數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分，是自然科學的重要基礎。”由此可見，數學不僅是一門科學，更是一種普遍運用的技術。從古至今，數學產生的作用都是不可估量的，它的地位也是不可代替的。

而作為高中數學選修（文）1-1，（理）2-1第二章重要模塊的圓錐曲線，不管是在高考中還是在生活中，從不缺乏壓軸的分量。圓錐曲線模塊是各省、直轄市高考考察的重點內容，從高考數學學科占比來說，其中存在著考點較多的情況，這些考試所涉及的知識點覆蓋了離心率、準線方程等諸多方面。筆者專門就2018年我國各地數學高考試卷中圓錐曲線問題考察情況進行統(tǒng)計分析（如表1）。

表1 2018年各省、直轄市高考試卷中圓錐曲線問題考察情況匯總表

考卷全國Ⅲ卷（理數）分值22分總分150分所占比例14.67%全國Ⅲ卷（文數）17分150分11.33%北京卷（理數）北京卷（文數）天津卷（理數）天津卷（文數）19分19分19分19分150分150分150分150分12.67%12.67%12.67%12.67%江蘇卷21分13.13%150分浙江卷15.33%上海卷題目及分值選擇題（11）5分填空題（16）5分解答題（20）12分選擇題（10）5分解答題（20）12分填空題（14）5分解答題（19）14分填空題（12）5分解答題（20）14分選擇題（7）5分解答題（19）14分選擇題（7）5分解答題（19）14分填空題（8）5分解答題（18）16分選擇題（2）4分填空題（17）4分解答題（21）15分填空題（2）4分選擇題（13）5分解答題（20）16分平均值25分20.54分23分160分150分150.77分16.67%13.63%

圖1 2018年各省、直轄市高考數學試卷中圓錐曲線問題考察所占分值雷達圖

從表1中可以清楚地看到，數學高考試卷中必定有一部分涉及圓錐曲線的考點，通常情況下都是以解答題形式出現。也有不少地區(qū)高考數學試卷中除解答題之外，還會附帶一道選擇題或是填空題，甚至還會出現該考點覆蓋三種題型的情況。從圖1中可以發(fā)現，在滿分為150分的高考卷中（江蘇為160分），涉及圓錐曲線的考點所占分值占較大比重，基本上在11%-16%區(qū)間，這也就意味著，一張150分的卷子中，圓錐曲線大概占17-25分。全國各省、直轄市的高考試卷中圓錐曲線考察平均分數達到了20.54分，所占比例為13.63%。

2017年，我國教育部在發(fā)布的《普通高中數學課程標準（2017年版）》中首次提出了數學區(qū)別于其它學科的核心素養(yǎng)具體為：一是數學抽象；二是邏輯推理；三是數學建模；四是直觀想象；五是數學運算；六是數據分析。本次課標修訂堅持結合時代要求并著力發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。其中，“直觀想象”作為高中課標修訂組精心提煉的六大核心素養(yǎng)之一，主要表現為學生的數形結合能力，幾何直觀和空間想象能力。

有直觀，可想象，正是幾何畫板軟件自身的特點。幾何畫板軟件的使用既可以達到為學生形象地展示動態(tài)幾何問題的形成過程，也可以令學生體會到數與形相結合的數學美，最重要的是可以輔助學生系統(tǒng)地學習知識。

可見，研究此課題是教師教學、學生學習迫切需要的，同時，也推動了信息技術與數學學科融合的力度和進度，對數學教育改革中充分運用多媒體教學，及更有效地利用幾何畫板也有著重要的實際意義。

二、幾何畫板輔助圓錐曲線教學實踐研究設計

（一）研究對象

研究對象選擇吉林省松原市前郭縣第五中學高二年級的任意四個平行班級。將其分為兩個對照班和兩個實驗班，下文中我們分別標記為D班和S班。D班在接觸圓錐曲線的新知識以及課堂練習中采用傳統(tǒng)的教學模式，即數學教師使用靜態(tài)的圖片或板書引入課堂教學當中；S班授課時采用幾何畫板繪圖軟件，能夠將圓錐曲線的構造過程動態(tài)的顯示出來。我們通過考試測驗以及問卷調查的方法對比對照班、實驗班的學習效果。

（二）研究內容設計

吉林省松原市前郭縣第五中學作為省級示范高中，該校引入幾何畫板的時間較早，在每個班級中均配備多媒體教學設備，學生對什么是幾何畫板已經具有一定的認識，且會簡單操作及繪圖。四個班級的授課教師均相同，時間跨度方面為兩周，共計為70課時。其中選定D班作為對照班，并在該班級采用的是傳統(tǒng)教學模式來進行教學，而S班則為實驗班，在該班的教學則采用幾何畫板教學方式。

三、基于案例研究的教學效果對比分析

（一）利用定義解題的案例教學效果對比分析

在使用不同教學方法講解利用圓錐曲線定義解題的方法后，給出了關于圓錐曲線用定義解題方面的考試試題，同時對D班和S班進行了分班級、排考場、拉單桌的專門模擬考試。結果顯示，D班的很多學生圓錐曲線的測試卷成績明顯要低于S班學生的成績。考試成績在95分以下，D班人數明顯多于S班，而95-115分、115-135分、135分以上的三個區(qū)間當中，D班人數明顯分別少于S班人數（如圖2）。

圖2 D班與S班圓錐曲線定義解題成績對比圖

（二）求標準方程問題的案例教學效果對比分析

同理，在實施不同教學方法講解求圓錐曲線標準方程問題后，給出了關于求圓錐曲線標準方程方面的考試試題，同時對D班和S班進行了分班級、排考場、拉單桌的專門模擬考試。結果顯示，D班的很多學生圓錐曲線的測試卷成績明顯要低于S班學生的成績。在95分以下，D班人數明顯多于S班，而95-115分、115-135分、135分以上的三個區(qū)間當中，D班人數明顯分別少于S班人數（如圖3）。

圖3 D班與S班求圓錐曲線標準方程解題成績對比圖

（三）問卷調查數據結果分析

本次問卷調查共發(fā)放問卷248份，回收240份，其中，有效問卷240份，有效率達97.56%，其中，兩個對照班級的學生共發(fā)放各124份調查問卷，兩個實驗班的學生共發(fā)放124份調查問卷。其中，收回D班有效問卷119份，S班有效問卷121份，兩份調查問卷的有效度各為：95.97%、97.58%，均符合問卷調查的效度要求，所以，調查結果成立，以此為基礎展開分析研究。

在研究對象的248人中挑選出有效問卷的240人，對其圓錐曲線相關測試進行學業(yè)成績的排名，前27%即總排名前65人作為高分組，后27%即總排名后65人作為低分組。

1.不同學業(yè)成績學生在兩種教學模式上的差異分析

對于高中生在幾何畫板輔助教學模式和傳統(tǒng)教學模式的使用上進行差異性檢驗。結果發(fā)現，在方差齊性的條件下，不同學業(yè)成績的學生在幾何畫板輔助教學和傳統(tǒng)教學的得分上存在顯著性差異，進行事后檢驗，發(fā)現在選擇幾何畫板輔助教學模式上，優(yōu)等生高于困難生，在選擇傳統(tǒng)教學模式上困難生高于優(yōu)等生（如表2）。

表2 不同學業(yè)成績學生在幾何畫板教學和傳統(tǒng)教學模式上的差異結果（M+SD）

2.兩種教學模式與學業(yè)成績之間的相關分析

本研究對幾何畫板輔助圓錐曲線教學和傳統(tǒng)圓錐曲線教學模式對學業(yè)成績的影響進行了相關分析。由表3可知，幾何畫板輔助圓錐曲線教學與學業(yè)成績的高低之間存在顯著的正相關。說明，幾何畫板的使用越多越主動，學習成績就會越高；反之，不主動使用幾何畫板，也就不會取得好的學業(yè)成績（如表3）。

表3 幾何畫板輔助教學和傳統(tǒng)教學模式與學業(yè)成績的相關結果（n=240）

四、結論與建議

將幾何畫板（GSP）引入高中數學圓錐曲線的教學對提高學生學習效果是有一定作用的。

（一）運用GSP可以提高圓錐曲線課堂教學效率

幾何畫板作為備受認可的重要教學工具，在數學教學中引入該工具之后能把過去較難解釋清楚的圓錐曲線等數學概念直觀地展示出來，能使得學生對該知識更加容易理解，進而促使課堂教學效果實現有效提升。

在S班進行課堂教學時，學生均非常積極，學習興趣也極為濃厚，非常樂于和教師等進行互動。在D班開展教學活動時，盡管學生也都非常認真，不過整個課堂較為沉悶，基本上教師問什么，學生就答什么，在主動性方面較為薄弱，學習興趣也無法和S班相比擬。綜合來說，在實驗班S班開展的課堂教學效果更為理想，相比之下對照班D班的課題教學效果則要差一些。

（二）利用GSP創(chuàng)設情境更能激發(fā)學生的求知欲

在D班開展課堂教學活動時，涉及新知導入這部分的教學采用了PPT圖片靜態(tài)展示方式，未能有效吸引學生注意力，使得學生對相應知識點的掌握并沒有明確，甚至不了解這些內容知識。學生在思考時有的也直接提出測量方法，但由于PPT未有互動性，加上授課時間本身就有限，這就很難激發(fā)學生的學習積極性。

教師在S班開展課堂教學活動時，涉及新知導入這部分內容就可借助幾何畫板的動態(tài)演示功能進行展示，能抓住學生關注點，這在奧蘇貝爾提出的學習動機理論也有相應闡述，能有效激活學生學習積極性。之后教師就可以把構成圓錐曲線的圖形進行分離，并引導學生進行思考，學生據此就能初步發(fā)現圓錐曲線中有關焦點、定點、焦距等的相關規(guī)律。三種圓錐曲線橢圓、雙曲線、拋物線因為其構成的不同其圖像規(guī)律等也有很大的差別。

綜合以上分析可以得知，幾何畫板在激發(fā)學生學習興趣與激活其學習欲望方面的效果非常明顯，進而促使教學質量也獲得相應提升。

（三）GSP可提高學生獨立思考和動手實踐能力

在D班教師也給學生進行獨立思考的機會，且還安排其進行自主探究，然而在作圖過程中很難避免不出現偏差，這與數學這門學科具有嚴謹性特點不符合，即在對相應問題進行說明時，需要借助精準的圖形來進行說明。從學生這個層面上而言，其存在這種誤差猜想自然無法獲得有效驗證，這對提升其學習質量非常不利，這種情況下進行的獨立思考自然無法獲得相應效果。

而在S班則不同，教師先是結合學生實際并給其進行自主探究以及獨立思考的機會，學生在這個過程中則借助幾何畫板來進行精確作圖，當存在疑惑時，可在教師的引導下解決這些問題，使得其獨立思考能力獲得提升。由此能說明的是，在數學課堂中利用幾何畫板這個工具，能有助于培養(yǎng)學生獨立思考以及動手實踐的能力。

（四）GSP輔助教學有助于學生數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

幾何畫板給學習困難的學生帶來極大幫助，能為其提供進行反復學習的重要機會。而借助幾何畫板制作出來的文件非常小，便于學習者攜帶。當學生需要反復認識相應的概念時，就可以把文件復制回家，之后在家里進行反復學習，據此來達到掌握這些知識的目的。此外，這還能促進學生“數學抽象”以及“邏輯推理”能力的培養(yǎng)。

而且新課標中提到的“直觀想象”作為高中課標修訂組精心提煉的六大核心素養(yǎng)之一，主要表現為學生的數形結合能力，幾何直觀和空間想象能力。有直觀、可想象正是幾何畫板軟件自身的特點。幾何畫板軟件的使用既可以達到為學生形象地展示動態(tài)幾何問題的形成過程，而且可以令學生體會到數與形相結合的數學美，最重要的是可以輔助學生系統(tǒng)地學習知識。