三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)姿態(tài)變化下指向誤差建模與分析

（中國洛陽電子裝備試驗中心，洛陽 471003）

0 引言

三軸轉(zhuǎn)臺是雷達對抗半實物仿真系統(tǒng)中的重要環(huán)境模擬設(shè)備之一，用于承載主/被動雷達導(dǎo)引頭、反輻射無人機等負載設(shè)備，并模擬其在實際飛行過程中的姿態(tài)變化，具有仿真精度高、穩(wěn)定性好、通用性強等特點[1]。但受制造、裝配、變形等因素影響，轉(zhuǎn)臺不可避免的存在垂直度誤差、傾角回轉(zhuǎn)誤差等誤差分量，由此產(chǎn)生的綜合性指向誤差將直接影響仿真試驗中負載設(shè)備的測角、定位和攻擊精度。因此，建立三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)指向誤差模型，研究各誤差分量對指向誤差的影響規(guī)律，對提高三軸轉(zhuǎn)臺精度具有十分重要的意義。

近年來國內(nèi)外學(xué)者對轉(zhuǎn)臺指向誤差進行了廣泛的研究。其中幾何法、矢量法、機構(gòu)運動學(xué)等[2,3]被運用進行轉(zhuǎn)臺誤差建模，但這些方法存在適用范圍小、建模困難、通用性差等問題。李凡[4]等人利用多體系統(tǒng)理論約束條件少、易解決復(fù)雜系統(tǒng)運動問題、準(zhǔn)確性高等優(yōu)點，建立了三軸標(biāo)定轉(zhuǎn)臺指向誤差模型；趙玉華[5]等人研究了三軸轉(zhuǎn)臺有誤差情況下的運動規(guī)律，并詳細分析了不同幾何誤差對轉(zhuǎn)臺精度的影響；孫致月[6]等人則是基于臥式五軸轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)及運動原理，建立了五軸轉(zhuǎn)臺誤差分析模型，并進一步提出了相關(guān)的誤差評價參數(shù)。

上述文獻的研究對象往往只是三軸轉(zhuǎn)臺本身，并沒有從包括負載設(shè)備的整個轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)的角度考慮，導(dǎo)致所建指向誤差模型中缺乏負載設(shè)備安裝角度誤差分量，有失嚴(yán)謹(jǐn)；此外，實際仿真試驗中轉(zhuǎn)臺姿態(tài)的變化使指向誤差也是動態(tài)變化的，而目前的研究主要是針對轉(zhuǎn)臺在特定姿態(tài)角下的指向誤差，并沒有考慮在轉(zhuǎn)臺姿態(tài)變化下研究各誤差分量對指向誤差的影響規(guī)律。針對上述問題，本文建立了從轉(zhuǎn)臺基座到負載設(shè)備的三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)多體拓撲結(jié)構(gòu)，將負載設(shè)備安裝角度誤差分量引入特征矩陣，完善了指向誤差模型。基于建立的模型，在轉(zhuǎn)臺姿態(tài)變化情況下，研究了不同誤差分量對系統(tǒng)指向誤差的影響規(guī)律，從而為三軸轉(zhuǎn)臺的設(shè)計裝調(diào)、誤差分配及補償提供了理論依據(jù)。

1 三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)原理模型

1.1 三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及運動原理

本文以某三軸立式仿真轉(zhuǎn)臺為研究對象，其結(jié)構(gòu)為U-O-O型，由外框、中框及內(nèi)框組成，如圖1所示。其中外框作繞z軸的偏航運動（轉(zhuǎn)動角度α）；中框作繞y軸的俯仰運動（轉(zhuǎn)動角度β），內(nèi)框作繞x軸的橫滾運動（轉(zhuǎn)動角度γ）。負載設(shè)備沿內(nèi)框回轉(zhuǎn)軸安裝在轉(zhuǎn)臺上，即負載設(shè)備電軸與內(nèi)框回轉(zhuǎn)軸線重合。

圖1 三軸轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)誤差描述

三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)指向誤差是一種空間角度誤差，定義為負載設(shè)備電軸上的單位矢量經(jīng)過轉(zhuǎn)臺姿態(tài)變化后，預(yù)期指向與實際指向之間的角度偏差[7]。三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)中影響最終指向誤差的誤差分量包括：垂直度誤差、傾角回轉(zhuǎn)誤差、回轉(zhuǎn)位置誤差以及負載設(shè)備安裝角度誤差。其中，垂直度誤差定義為實際回轉(zhuǎn)軸線與理想軸線間的角度偏差[8]；傾角回轉(zhuǎn)誤差為回轉(zhuǎn)軸的角度位置變動量；回轉(zhuǎn)位置誤差是指轉(zhuǎn)臺各運動軸受運動控制誤差、電機誤差、編碼器分辨率等因素引起的轉(zhuǎn)角誤差；負載設(shè)備安裝角度誤差為設(shè)備電軸與內(nèi)框回轉(zhuǎn)軸線之間的角度偏差。

2 三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)指向誤差模型的建立

2.1 多體系統(tǒng)運動學(xué)理論

多體系統(tǒng)運動學(xué)理論是進行誤差建模的重要方法，其原理為：首先將研究對象抽象為一個多運動體系統(tǒng)并用拓撲結(jié)構(gòu)概括和提煉，然后采用低序體陣列進行數(shù)字化描述，最后通過建立理想無誤差和實際有誤差條件下的特征矩陣，獲得系統(tǒng)中任意運動體間的位姿變換關(guān)系及誤差傳遞關(guān)系[9]。

在多體系統(tǒng)中，通常設(shè)定大地慣性坐標(biāo)系為B0體，然后沿遠離其方向，按自然數(shù)增長序列對各運動體編號，并定義任意體Bk的n階低序體算子為：

式中：L為低序體算子，k為運動體序號，i為其n階低序體序號。設(shè)定存在運動體Bk和其相鄰低序體Bj，則兩者的低序體算子表達式為：

運動體Bk和Bj間相對運動關(guān)系如圖2所示，其中和Os分別為Bk在Bj體坐標(biāo)系（Ojxjyjzj）內(nèi)的理想運動參考點和實際運動參考點，相應(yīng)的理想位置矢量為實際位置矢量為位置誤差矢量為分別表示Bk體坐標(biāo)系原點在其實際運動坐標(biāo)系（Osxsyszs）中的理想運動位置和實際運動位置，相應(yīng)的理想位置矢量、實際位置矢量和位置誤差矢量分別為

圖2 相鄰運動體間相對運動關(guān)系示意圖

根據(jù)圖2中描述的運動關(guān)系，可獲得Bk內(nèi)任意一點P在Bj體參考坐標(biāo)系內(nèi)的位置矢量

式中：Tjk,p和Tjk,s分別為理想無誤差情況下的靜止特征矩陣和運動特征矩陣；Tjk,pe和Tjk,se分別為實際有誤差情況下的靜止誤差特征矩陣和運動誤差特征矩陣。則兩相鄰運動體之間理想特征矩陣Tjk,ideal和實際特征矩陣Tjk,actual的表達式為：

當(dāng)多體系統(tǒng)存在n組相鄰體時，可獲得整個多體系統(tǒng)的理想特征矩陣Tideal和實際特征矩陣Tactual的表達式[11]：

2.2 三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)多體拓撲結(jié)構(gòu)

基于多體系統(tǒng)運動學(xué)理論可將三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)抽象為多個各運動體，并依照它們間的固連關(guān)系構(gòu)建如圖3所示的開環(huán)鏈路結(jié)構(gòu)。以往的研究并沒有考慮負載設(shè)備，因此轉(zhuǎn)臺拓撲結(jié)構(gòu)只建立到內(nèi)框，本文基于負載設(shè)備和轉(zhuǎn)臺內(nèi)框之間的固連關(guān)系，在原有鏈路結(jié)構(gòu)中增加了負載設(shè)備環(huán)節(jié)。進一步設(shè)定基座為慣性參考坐標(biāo)系編號B0，沿著框→中框→內(nèi)框→負載設(shè)備的方向，對各運動體進行編號并建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，可獲得三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)多體拓撲結(jié)構(gòu)。

圖3 三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)多體拓撲結(jié)構(gòu)圖

依據(jù)上文中轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)誤差描述和圖3中各運動體坐標(biāo)系，對影響系統(tǒng)指向誤差的各誤差分量進行標(biāo)號，如表1所示。

表1 三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)誤差分量

表中垂直度誤差分量以S(z1x0)為例，它表示圖3中外框z1軸與基座x0軸間的垂直度誤差；其余誤差分量中以εx(z1)為例，表示外框z1軸轉(zhuǎn)動過程產(chǎn)生的在x方向上角度誤差分量。建立三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)后，依據(jù)公式定義的低序體陣列對其進行數(shù)字化描述，如表2所示。

表2 三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)低序體陣列

2.3 相鄰運動體間特征矩陣

結(jié)合三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)中相鄰運動體間的相對運動關(guān)系，并將各誤差分量引入其中，可推導(dǎo)出相應(yīng)的特征矩陣。以中框和內(nèi)框為例，其特征矩陣為：

以往的研究中常常簡單地以轉(zhuǎn)臺內(nèi)框回轉(zhuǎn)軸線表征負載設(shè)備電軸，忽視了兩者之間存在的負載設(shè)備安裝角度誤差分量，有失嚴(yán)謹(jǐn)。因此，本文在完善轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，進一步將負載設(shè)備安裝角度誤差分量引入內(nèi)框和負載設(shè)備間的特征矩陣，表征二者之間的位姿變化關(guān)系和誤差傳遞作用關(guān)系：

2.4 指向誤差模型

三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)及各運動體間特征矩陣建立后，進一步根據(jù)公式和可獲得整個系統(tǒng)理想特征矩陣Tideal和實際特征矩陣Tactual：

實際研究中為了便于分析，通常將負載設(shè)備坐標(biāo)系x軸上的單位矢量表示為負載設(shè)備電軸指向。基于已建立的三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)理想和實際特征矩陣，可獲得負載設(shè)備電軸的實際指向向量和預(yù)期指向向量

根據(jù)三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)指向誤差的定義，其表達式為：

3 仿真結(jié)果分析

基于上文所建三軸轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)指向誤差模型，仿真計算轉(zhuǎn)臺姿態(tài)變化時不同誤差分量對指向誤差的影響規(guī)律。仿真時，三軸轉(zhuǎn)臺模擬某負載設(shè)備實際姿態(tài)變化軌跡如圖4所示。其中轉(zhuǎn)臺外框偏航軸做周期性的正負向偏擺；中框俯仰軸作同外框同周期的規(guī)律運動，且兩軸在同時刻達到極限位置；內(nèi)框橫滾軸做周期轉(zhuǎn)動，但變化規(guī)律與另外兩軸不同。

圖4 三軸轉(zhuǎn)臺姿態(tài)變化軌跡

為了便于分析，在仿真計算時將目標(biāo)誤差分量大小設(shè)定為10″，其余誤差分量置0。不同誤差分量對指向誤差影響的結(jié)果如圖5～圖8所示。

圖5 垂直度誤差對指向誤差影響

圖6 傾角回轉(zhuǎn)誤差對指向誤差影響

圖7 回轉(zhuǎn)位置誤差對指向誤差影響

圖8 負載設(shè)備安裝角度誤差對指向誤差影響

由圖中結(jié)果可知，在誤差分量S(z1y0)、S(y2z1)、S(y2x1)、εx(z1)及εz(z1)作用下，指向誤差呈與轉(zhuǎn)臺外框α、中框β角姿態(tài)軌跡相對應(yīng)的周期變化，與內(nèi)框γ角無關(guān)，且指向誤差在特定姿態(tài)角下達到極值，如表3所示：在S(z1y0)、S(y2z1)和εx(z1)作用下，當(dāng)轉(zhuǎn)臺α、β角最大時，系統(tǒng)指向誤差最大為8.7″，當(dāng)α、β角最小時，指向誤差最小為5.2″；而當(dāng)S(y2x1)和εz(z1)作用時，指向誤差在α、β角最小時達到最大為8.6″，在α、β角最大時指向誤差最小為5.1″。

表3 不同誤差分量引起的指向誤差極值

相較于其他誤差分量，指向誤差受S(z1x0)、S(x3y2)、S(x3z2)、εy(z1)、εz(y2)、εy(y2)、εy(x3)、εz(x3)、εy(x4)和εz(x4)影響作用較大，當(dāng)誤差分量大小為10″時指向誤差也達到10″，即在上述誤差分量作用下產(chǎn)生的指向誤差大小與誤差分量本身大小相同。此外，由圖中結(jié)果可知隨著轉(zhuǎn)臺姿態(tài)的變化，指向誤差不發(fā)生改變。

由仿真結(jié)果可知當(dāng)誤差分量εx(y2)、εx(x3)及εx(x4)作用時，系統(tǒng)指向誤差為0，即εx(y2)、εx(x3)及εx(x4)對指向誤差無影響，這主要是由于將負載設(shè)備坐標(biāo)系x軸方向上的單位矢量表示為電軸指向造成的。在進行轉(zhuǎn)臺設(shè)計和誤差補償時，上述誤差分量可不用考慮。

4 結(jié)論

基于多體系統(tǒng)運動學(xué)理論，建立了完善的三軸轉(zhuǎn)臺指向誤差模型。在轉(zhuǎn)臺姿態(tài)變化下，仿真獲得了不同誤差分量對系統(tǒng)指向誤差的影響規(guī)律：

1）在外框與地基y向垂直度誤差、中框與外框垂直度誤差、外框x向傾角回轉(zhuǎn)誤差及回轉(zhuǎn)位置誤差作用下，指向誤差呈與轉(zhuǎn)臺外框和中框姿態(tài)軌跡相對應(yīng)的周期變化，且在特定姿態(tài)角下達到極值。

2）指向誤差受中框回轉(zhuǎn)位置誤差、負載設(shè)備y向安裝角度誤差等誤差分量影響作用較大，其大小與誤差分量相同，且不隨轉(zhuǎn)臺姿態(tài)變化。

3）中框x向傾角回轉(zhuǎn)誤差、內(nèi)框回轉(zhuǎn)位置誤差及負載設(shè)備x向安裝角度誤差對系統(tǒng)指向誤差無影響。