利用“全等變換

饒建華

《義務教育數學課程標準》指出，幾何變換或者圖形的運動是幾何也是整個數學中很重要的內容，它既是學習的對象，也是認識數學的思想和方法。在解題中通過將圖形平移、旋轉、對稱等活動，使圖形動起來，有助于發現圖形的幾何性質，探究出解題思路，可能使很多幾何問題一下子就豁然開朗，使題目能夠順利求解。下面我們就來看看利用“全等變換——旋轉”探究解題思路幾個例子：

例1.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE延長線于F，連接CF。

（1）求證：AD⊥CF

（2）連接AF，試判斷△ACF形狀，并說明理由

分析：本題的圖形較為復雜，存在的三角形較多，主要考查了等腰三角形的性質的綜合應用，三角形全等的判定等知識。要能夠迅速找到解題思路關鍵是能從這個復雜的背景圖形中運用“全等變換——旋轉”的思想觀察出△ACD經過旋轉可得到△CBF，從而證明△ACD≌△CBF，其余的問題即可迎刃而解。（1）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG=90°，需證明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易證。（2）要判斷△ACF的形狀，看其邊有無關系。根據（1）的推導，易證CF=AF，從而判斷其形狀。具體解答如下（1）：

（2）△ACF是等腰三角形；理由略。

近幾年來，動點問題常常成為期末考試的壓軸題之一。問題常常集幾何、代數知識于一體，有較強的綜合性。要求學生要有扎實的基礎知識，較好的閱讀理解能力以及較強的數學建模能力。

例2.（2014-2015佛山市禪城區八年級數學第二學期期末教學質量調查問卷第25題）

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，O為BC的中點，

（1）寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關系（不要求證明）；并計算OA的長度；

（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動過程中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結論；

（3）在（2）的情況，設AN=BM=，請求出△OMN面積。

分析：本題以等腰三角的動點問題為背景，主要考查了等腰三角形的性質的綜合應用，直角三角形的性質，三角形全等的判定等知識。本題的難點主要是第（2）問，能夠迅速找到解題思路關鍵是運用“全等變換——旋轉”的思想觀察出△BMO繞點O經過旋轉可得到△ANO，想到要證明△BMO≌△ANO，從而以靜制動，順利解決此題。

具體解答如下：（1）OA=OB=OC，

（2）△OMN為等腰直角三角形，理由如下：

∵AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點，OA=

∴OA=OB=OC，∠AOB=90°∴∠CAO=∠BAO=∠B=∠C=45°

在△BMO與△ANO中

∵BM=AN∠MBO=∠NAOBO=AO∴△BMO≌△ANO∴ON=OM，∠NOA=∠MOB

∴∠MON=∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM=∠AOB=90°

∴△OMN為等腰直角三角形

（3）根據題意求出，即可求解出△OMN的面積。

例3.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），△AOB為等邊三角形，P是x軸上一個動點（不與原點O重合），以線段AP為一邊在其右側作等邊三角形△APQ。

（1）求動點B的坐標；

（2）在點P的運動過程中，∠ABQ的大小是否發生改變？如不改變，求出其大小；如改變，請說明理由。

（3）求P點的坐標。是否存在點P，使得△OBQ是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件P點坐標；若不存在，請說明理由。

（2015-2016佛山市禪城區八年級數學第二學期期末教學質量調查問卷第25題）

本題的解題思路關鍵同樣是運用“全等變換——旋轉”的思想觀察出△ABQ繞點A經過旋轉可得到△APO即可順利解決此題。

總之，在探索幾何解題的思路時，熟練掌握旋轉變換思想有助于學生增強解題能力，開拓思路。從變換的角度來思考問題，可能使很多幾何問題一下子就豁然開朗，因此，教師在教學中應給予足夠的重視。

編輯 高 瓊