智慧校園，讓數學課堂成為思維對話的場所

摘要：數學學習的目的在于培養學生的邏輯推理能力，讓學生學會思考。數學課堂是師生交流數學思維的主陣地，教師要利用好數字化學習資源，提高課堂教學效率，讓數學課堂成為思維對話的場所。

關鍵詞：智慧校園;數學課堂;思維對話

波利亞曾經說過：教會思考意味著數學教師不僅僅應該傳授知識，而且也應當去發展學生運用所傳授的知識的能力。

數學學習的目的在于培養學生的思維能力。在實際教學過程中，受應試教育的影響，迫使師生陷入大規模的題海訓練之中，因為這樣做可以“拔苗助長”，在短暫的時間內明顯提高學生的學習成績。如果我們要立足長遠，真正提升學生的思維能力，應該讓學生在看似平凡，但是孕育奇跡的題目中學會從不同的角度思考問題，分析問題的本質，追溯其原型，探究其流向，激發學生的數學思維火花。課堂是師生互動的主陣地，教師應該做好引導，讓課堂成為學生探究的樂園。下面，筆者以一道調研試題的探究課為例，以饗讀者。

題目如圖1，在C城周邊已有兩條公路l1，l2在點O處交會。已知OC=（√2+√6）km，∠AOB =75°，∠AOC= 45°。現規劃在公路l1.l2上分別選擇A，B兩處為交會點（異于點O）直接修建一條公路通過C城，設OA=akm. OB=bkm。

（1）求b關于a的函數關系式，并指出它的定義域;

（2）試確定點A，B的位置，使△OAB的面積最小。

一、課前準備

1.調查與診斷

通過統計分析測試結果發現，班級共46名學生，有24名學生完整做對題目，22名學生幾乎一分沒得。錯誤原因主要分為兩種，其中有13名學生運用余弦定理，但是計算不下去或者計算錯誤，另外還有9名學生建立直角坐標系，但是因為運算煩瑣導致最后結果錯誤。

2.歸因與反思

（1）思維定勢。學生看到此題條件為兩邊夾一角便，慣性思維使用余弦定理解答，思維沒能拓展開來，導致解題錯誤。

（2）運算不過關。從方法上說，以上兩種做法都是正確的，但是在有限的時間內要得出正確的結果，需要學生有很強的運算能力，因此在后面的教學中要注意對學生運算能力的培養。

（3）缺乏聯系，缺乏從不同的角度認識問題的能力。數學各部分之間的知識都是相通的，由于學生日常做題中缺乏對問題的深層次反思，只是滿足于做題，因此需要教師多培養學生的發散思維能力。

3.方法與措施

試卷批改后第一時間發給學生，安排學生訂正此題，嘗試給出多種解法，并充分利用電子閱覽室等數字化校園資源探究此題的源與流，并進行整理。通過對此題的探究，讓學生跳出固有的思維模式，感受到數學學習的樂趣。

二、課堂教學片斷實錄及意圖

1.試題還原與追溯

師：為了尋找此題的解題方法，我們能否找出此題的源頭？

生1：把△AOB改成直角，就和我們以前做過的一道題目類似了。

師：恩，有道理，我們現在來把那道題找出來。

此時，筆者打開教室電腦，進入學校資源庫，輸入關鍵字“過定點，求三角形面積最小值”進行搜索，電腦上立即顯示一道題目：過點P（2，3）的直線與x軸、y軸的正半軸分別相交于點A，B，求△ABO的面積最小值，以及此時所對應的直線方程。

師：太好了，這道題還有哪些做法？

師：生3關注到面積變化是由直線變化引起的，因此先用直線過定點的特征設出此條直線，再通過坐標運算方式建立面積S關于k的函數關系式，最后求出其最值。

此時，生4坐不住了，立刻舉手示意。

生4：剛才動直線是繞著定點在轉動的過程中引起面積的變化，所以我引入角度，設∠BAO=θ，然后將面積表示成關于θ的函數，再求解。

生，：我覺得也可以用直線的截距式來設直線，因為所求面積正好與縱、橫截距有關。

筆者運用電腦通過學校數字學習港平臺進入資源庫，展示各種解法，并簡要點評。

【設計意圖】轉化與化歸思想貫穿數學學習的始終。當學生遇到新的、不熟悉的問題時，教師應該培養學生形成轉化意識，將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，再通過類比、歸納，嘗試解決新問題。

師：能否用這些方法解決此節課開始時提出的問題？結合之前的思考展示你的認識。

此時，筆者幫助學生做好投影準備。

2.解法探究與展示

生6：考試時我是運用建立坐標系這種方法，但是沒有做到底，我現在終于做出正確的結果了。

師：在考試時間緊迫的情況下，也許只想到一種方法，此時就需要學生堅定必勝的信念，看似笨拙的方法中會有更深刻的感悟和體會，因此“最笨”的方法恰是“最好”的方法。

【設計意圖】以上解答過程看似煩瑣，但卻是學生最容易想到，又最容易放棄的方法，此時更需要教師引導學生不畏艱難，敢做敢算。在平時的學習中，如果放棄鍛煉與感悟計算的機會實在可惜，在解題過程中可以培養學生堅持不懈的學習精神。

生7提出了另外一個種解法。

師：這是一種非常好的做法，兼顧到問題的特征，將原分式函數問題轉化成整式函數問題來處理。能否給出具有什么特征的函數可以這樣轉化呢？

生8：只要分式函數，分子、分母都是關于變量的二次式，其中分子、分母有一個是關于變元的完全平方的，都可以這樣做。

【設計意圖】培養學生的化歸意識，對學生發現的新方法進行適當的歸納與總結，并且嘗試把探究發現的機會留給學生，讓課堂成為學生研究的主陣地。

生9又提出了一種解法。

解法4：（利用平面幾何知識）如圖3，過點C作CE∥OB交OA于點E，過點C作CD∥OA交OB于點D。在△OCD中，∠COD=30°， ∠OCD=45°， ∠ODC=105°。

以下求解面積的方法與上述方法一樣，具體證明過程略。

師：你是怎么想到這種方法的呢？

生9：題目本身已知的角度與邊是分散的，我想把這些量都向某一個三角形中轉化，再結合正、余弦定理建立等量關系。

【設計意圖】教師是課堂教學的引導者，多引導學生如何分析問題，多引導學生從解決問題方法的來源、本質進行總結與歸納，可以有效提升學生的思維能力。教師應該從學生已有的知識和方法中逐步引導，讓學生發現新的知識和新的方法。通過對此問題的認識，激發學生的求知欲望，讓學生產生“我要學”的沖動。

師：向量是數與形溝通的橋梁，能否從向量的角度來思考此題。

生10。的解法如下。

解法5：（向量法）記向量OA方向上的單位向量為i，向量OB方向上的單位向量為j，則OA= ai，OB= bj。

由OC=（√2+√6），∠AOB =75°，∠AOC =45°，

以下解題步驟略。

師：生10通過聯想構造向量，將問題轉化成向量中的問題，給出了解答，實屬不易，生10實質上說出了坐標的本質是向量的分解。

生11的解法如下。

解法6：如圖4，不妨設CB= CA，假設A'Br是過點C的異于AB的線段，若CB’

師：太好了，生n拋開題目形式化的內容，從形的特征人手，先猜后證，揭示了此問題的本質，給人以“原來如此”之感。

【設計意圖】數學不僅是形式的演繹，更需要學生能夠從本質上認識問題，這就需要教師在日常教學中引導學生形成這樣的思維意識，引導學生發現數學的本質。

3.我來編題

生12：變換條件，將試題中的線段AB過“定點”改成“定長”。

師：具體說說？

生12：如圖5，已知∠A為定角，點P，Q在∠A的兩邊上，且PQ為定長，當點P，Q處于什么位置時，△APQ的面積最大？

師：真是仁者見仁，智者見智，大家在日常的學習中要善于從不同的角度認識問題。

生13：變換結論，也可以嘗試求原試題中△APQ的周長。

師：太聰明了！

【設計意圖】教師讓學生編題可以使學生跳出現有的角度認識題目，更容易激發學生對問題本質的把握和認知，從數學研究者的角度來學習數學。這種在課堂上讓學生獨立嘗試編題的方式，可以調動學生在學習過程中的積極性，使整個課堂洋溢著蓬勃生機和無限活力。

下課鈴聲響了，學生的思維卻并沒有下課。此時，筆者趁勢而上，將剛才學生提出的問題稍作調整，留給學生思考的空間。

思考題：過點P（m，n）（mgt;n）的直線l分別交x軸，y軸的正半軸于A，B兩點，求|OA|+|OB|-|AB|的取值范圍。

三、對案例的一些思考

1.真正實現學生自主的課堂

教師要創造性地教，學生要創造性地學。其中教師創造性地教是主要的，只有教師創造性地教，學生才能創造性地學。教師創造性地教，就不僅要研究學生的學，更要研究數學，把握教材。

2.恰當留白，讓學生的思維“拖堂”

在素質教育的大背景下，部分教師仍然霸占學生的時間，下課的時候拖幾分鐘再下課，但是殊不知學生的心早就下課了。筆者認為，這種耗時低效的做法磨滅了學生的學習興趣，并不可取。一位成功教師在課堂上一定是高效的，學生樂意參與他的課堂活動，學生的思維會在教師的引導下掀起一個又一個高潮，即使下課學生的思維仍然在高速運轉。優秀的教師絕不拖堂，智慧的教師會對自己上課的內容恰當留白，留給學生思考的機會。雖然下課了，但是樂于學習、樂于鉆研的學生根本就沒有下課，有的學生在靜靜的思考，有的學生湊到一起為一個問題爭論得面紅耳赤。

3.培養學生堅持不懈的科學探究精神

數學學習更重要的是基本方法和通性、通法，并不是刻意追求巧思妙解，教師在日常教學中應該滲透更多的基本技能和基本方法。另外，在教學過程中，要特別關注學生想到思路而沒有進行下去的一些解題方法。當學生在引導下獲得來之不易的成功時，其會收獲的更多，更重要的是培養了學生不畏艱難、堅持不懈的鉆研精神。

4.樹立并堅持正確的數學教育觀

數學學習的關鍵不是知識的本身，而是通過數學學習鍛煉了學生的思維，具體體現為發展人的認識力，即思維力、判斷力、洞察力、鑒別力、鑒賞力、辨析力、預見力，等等。每節課上完，教師都需要反問自己，在上述這些方面對學生的發展有無貢獻，有無推動？認識力需要以知識作為載體，離開知識發展不了認識力。實際上，學生在長大以后，學過的東西很多都忘掉了，但是那些知識卻最終都發展成為了學生的認識力。

5.運用數字化學習資源促進發展

恰當運用現代信息技術，利用好數字化校園的學習平臺，提高教學質量，是當今數學教育改革的一種趨勢。先進的教育技術可以幫助學生學習，促進學生的思維發展。因此，教師應該重視信息技術與數學課程內容的有機整合，在教師的引導下，讓學生自主利用好網絡等信息化資源。整合的原則應該是有利于學生對數學本質的認識。在教學過程中，教師應該恰當選擇和運用數字化學習資源，不斷改善學生的學習方式，并引導學生自主地借助數字化學習資源探索和學習有關的數學內容，以更好地揭示知識的發生、發展過程及其本質，幫助學生正確理解數學知識，發展數學思維，甚至引導學生研究一些有意義、有價值的數學問題，讓學生真正感受到數學學習的樂趣。

6.注重學生運算能力的培養

運算能力作為四大數學能力之一，如何提升學生的運算能力，是擺在教師面前的一大難題。教師常常把學生運算能力差歸結于學生害怕運算、題目做的少等原因，實際上并非如此，教師更應該在日常課堂教學中留給學生運算的時間和空間，敢于放手讓學生計算。運算能力不僅局限于一些復雜數字的計算，更重要的是讓學生體會算理。筆者認為，運算能力實質上也是思維能力，關鍵是學會分析、預測和估計運算的過程，進而選擇合適的運算路徑，并在運算過程中實時調控，注意轉化與化歸思想的應用，在潛移默化中培養學生的運算能力、思維能力，以及科學研究、數學學習的好習慣。

7.讓學生變要我學為我要學

學生是學的主體，教師是教的主體，但是教師的主體作用體現為另一個主體——學生的“向導”。如今的課堂里有許多教學向導，教師是向導，教材是向導，網路資源是向導，同學之間也可以互為向導，但是所有教學向導中的主角是教師，教師要充分發動學生，讓學生積極、主動地參與課堂活動。對話、交流、討論、爭辯，每個人都必須參與其中，數學學習更要如此。而且要強調獨立思考，不是所謂的熱熱鬧鬧的課堂就是我們追求的課堂效果，相反，需要學生靜心思考。數學學習與其他學科不同，時刻離不開獨立思考。數學是抽象的，它需要獨立思考，別人的思考代替不了你的思考，別人的探究也不能代替你的探究。學數學要做探究，要發動學生積極參與，只有大腦內部有激烈的思想活動才有意義。

基金項目：淮安市教育科學“十二五”規劃立項課題——課程整合視閾下高中數學實驗教學的實踐研究（2015-168）。

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