為數(shù)學點贊
——名師例析數(shù)學文化(10)解析幾何

■北京市第十二中學高中部

■北京市教育學院豐臺分院 張 琦

本刊特邀欄目專家簡介:

高慧明首屆全國十佳班主任,全國著名數(shù)學特級教師,國家教育部課程改革“全國先進工作者”,全國著名高考數(shù)學命題與考試研究專家,國家教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓、班主任培訓、校長培訓特邀主講專家,受邀在全國各地做有關高考科學備考、班級管理等多場專題報告。現(xiàn)任教于北京市第十二中學高中部。

數(shù)學是一種文化的觀點,早已為人們所接受。從歷史上看,古希臘和文藝復興時期的文化名人,往往本身就是數(shù)學家。著名的代表人物如畢達哥拉斯、柏拉圖、泰勒斯和達·芬奇等。近代的愛因斯坦、希爾伯特、羅素等文化名人也都是20世紀數(shù)學文明的締造者。

中國科學院院士、北京師范大學數(shù)學學院王梓坤教授曾指出:“數(shù)學文化具有比數(shù)學知識體系更為豐富和深邃的文化內涵,數(shù)學文化是對數(shù)學知識、技能、能力和素養(yǎng)等概念的高度概括。”在2003年頒布的《高中數(shù)學課程標準(實驗)》中,更是把“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”作為高中數(shù)學課程的十項基本理念之一,給予了特別的重視。而在新修訂的《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中,也在基本理念里“強調數(shù)學與生活以及其他學科的聯(lián)系……注重數(shù)學文化的滲透”,要“不斷引導學生感悟數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值”。

為什么要這樣做呢?一個重要的原因是,20世紀初期的數(shù)學曾經存在著脫離社會文化的孤立主義傾向,并一直影響到今天的數(shù)學教育。孤立主義的數(shù)學,一方面拒人于千里之外,使人望數(shù)學而生畏;另一方面,又孤芳自賞,自言自語,令人把數(shù)學家當成“怪人”。在孤立主義盛行的年代,人們普遍認為數(shù)學只是少數(shù)天才腦子里想象出來的“自由創(chuàng)造物”,數(shù)學是數(shù)學家的游戲。如此這般,對數(shù)學教育產生的一個嚴重后果就是“數(shù)學教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴重的危機。數(shù)學教學有時變成了一種空洞的解題訓練”。于是,西方的數(shù)學界就有了“經驗主義的復興”。懷特的數(shù)學文化論力圖把數(shù)學回歸到文化層面。克萊因的《古今數(shù)學思想》、《西方文化中的數(shù)學》、《數(shù)學:確定性的喪失》相繼問世,力圖營造數(shù)學文化的人文色彩。

在我國,2002年北京國際數(shù)學家大會期間,“中國少年數(shù)學論壇”會場的大幅標語中,就使用了“數(shù)學文化”一詞。2003年“數(shù)學文化”一詞在官方文件(《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》)中被正式使用,之后被越來越廣泛地使用到大學生活動、數(shù)學教學與研究等領域。各種版本的高中數(shù)學教材基本都安排了蘊含豐富數(shù)學文化價值的“閱讀材料”。更進一步,無論各省市自主命題的高考數(shù)學試卷,還是新課標全國高考數(shù)學試卷,均出現(xiàn)了以數(shù)學文化為背景的試題,成為新課改理念下高考改革和發(fā)展的一道靚麗風景。

在這個欄目里,我們通過系列文章對近些年高考數(shù)學文化試題或自編試題進行了剖析,為廣大中學生更好地理解數(shù)學概念本真提升數(shù)學核心素養(yǎng)提供參考。本期我們主要談談解析幾何試題中的數(shù)學文化。

一、阿波羅尼斯圓

阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠,他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,描述如下:

到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓。

圖1

如圖1,點A,B為兩定點,動點P滿足PA=λPB,當λ=1時,動點P的軌跡為直線;當λ≠1時,動點P的軌跡為圓,后世稱之為阿波羅尼斯圓。

證明:設AB=2m(m＞0),PA=λPB。以AB中點為原點,以直線AB為x軸建立平面直角坐標系,則A(-m,0),B(m,0)。

又設P(x,y),則由PA=λPB 得

兩邊平方并化簡整理得(λ2-1)x2-2m(λ2+1)x+(λ2-1)y2=m2(1-λ2)。

當λ=1時,x=0,軌跡為線段AB的垂直平分線。

與阿波羅尼斯圓有關的試題在高考中也屢見不鮮,請看下面試題:

例1(2008年江蘇13)若AB=2,AC=BC,則S△ABC的最大值為 。

解析:本題可以用邊長為自變量,也可以用角為自變量,再利用二次函數(shù)或者三角函數(shù)的有界性求解,運算量比較大。如果應用“阿波羅尼斯圓”,將問題解析化,運算過程要簡單許多。解法如下:

以AB中點為原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系,則A(-1,0),B(1,0),設C(x,y),由AC=BC 得平方化簡整理得y2=-x2+6x-1=-(x-3)2+8≤8,所以 y ≤2×2·y≤2,所以S△ABC的最大值是2。

練習:(2014年湖北文17)已知圓O:x2+y2=1和點A(-2,0),若定點B(b,0)(b≠-2)和常數(shù)λ滿足:對圓O上任意一點M,都有|MB|=λ|MA|,則:

③若點P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于a2。

其中正確命題的序號為 。

二、卡西尼卵形線

喬凡尼·多美尼科·卡西尼是一位意大利出生的天文學家和水利工程師,他是第一個發(fā)現(xiàn)土星的四個衛(wèi)星的人。1675年,他發(fā)現(xiàn)土星光環(huán)中間有條暗縫,這就是后來以他的名字命名的卡西尼環(huán)縫。他猜測,光環(huán)是由無數(shù)個小顆粒構成,兩個多世紀后的分光觀測證實了他的猜測。為了紀念卡西尼對土星研究的貢獻,當代人類探測土星的探測器“卡西尼號”即以他的名字命名。卡西尼卵形線是1675年他在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的。

例2(2011年北京理14)曲線C是平面內與兩個定點F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點的軌跡。給出下列三個結論:

①曲線C過坐標原點;

②曲線C關于坐標原點對稱;

解析:設P(x,y)為曲線C上任意一點。

把(0,0)代入方程可得1=a,與a＞1矛盾,故①不正確。

當M(x,y)在曲線C上時,點M關于原點的對稱點M′(-x,-y)也滿足方程,故曲線C關于原點對稱,故②正確。

事實上,關于卡西尼卵形線我們可以展開進一步的思考:

思考1:若將“兩定點”之一變?yōu)椤岸ㄖ本€”,那么距離之比為定值的動點軌跡是什么?

思考2:若將“兩定點”之一變?yōu)椤岸ㄖ本€”,那么距離之和為定值的動點軌跡是什么?

思考3:到定點的距離與到定直線的距離的k倍之和為定值的定點軌跡是什么?

思考4:到定點的距離與到定直線的距離之差(的絕對值)為定值的定點軌跡是什么?

思考5:到定點的距離與到定直線的距離之積為定值的定點軌跡是什么?

三、橢圓規(guī)

在解析幾何教學過程中,為了突出橢圓、雙曲線的生成過程,老師基本都采用機械方法作圖以加深同學們印象。這時往往就需要用圖釘、細繩、拉鏈等實物輔助教學。老師和同學們其實這時候難免會有疑問,究竟有沒有如同圓規(guī)、直尺一樣的工具,讓我們輕松地畫出橢圓、雙曲線呢?答案是肯定的。荷蘭數(shù)學家舒騰就曾經設計了三種機械橢圓規(guī),而其中的一種橢圓規(guī)剛好是2015年湖北高考數(shù)學試題的原型,所以我們不妨來看看這道高考試題。

例3(2015年湖北文22)一種畫橢圓的工具如圖2所示。O是滑槽AB的中點,短桿ON可繞O轉動,長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動,且DN=ON=1,MN=3。當栓子D在滑槽AB內做往復運動時,帶動N繞O轉動,M處的筆尖畫出的橢圓記為C。以O為原點,AB所在的直線為x軸建立如圖3所示的平面直角坐標系。

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)略。

圖2

圖3

分析:(Ⅰ)因為|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,當M,N在x軸上時,等號成立;同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,當D,O重合,即MN⊥x軸時,等號成立。所以橢圓C的中心為原點O,長半軸長為4,短半軸長為2,其方程為=1。

(Ⅱ)略。

從軌跡的角度看,本題中,D,N帶動點M運動,由于點N的軌跡已經知道是單位圓,所以點M的軌跡其實是單位圓的“伴生曲線”,所以我們可以采取相關點法解決該題。本題中如果設M(x,y),并記N(x0,y0),則 D(2x0,0),根 據(jù)也可得結果。

本題解題思路非常清晰、簡單。這也是舒騰橢圓規(guī)的制作原理。舒騰制作了三種橢圓規(guī),還制作了雙曲線規(guī)、拋物線規(guī)。感興趣的同學可查閱相關資料了解學習,并請思考其作圖原理。

事實上,在解析幾何中存在著大量的數(shù)學文化的案例,圓錐曲線在生活中也是隨處可見,如橢圓形鏡子、雙曲線形通風塔、拋物線拱橋等。再比如在圓錐曲線發(fā)展歷史過程中具有重要歷史地位的dandelion球、圓錐曲線的光學性質、圓錐曲線與三角函數(shù)的奇妙聯(lián)系(如圖4,圓柱的截面為一橢圓時,將圓柱側面沿橢圓的最高點所在母線展開后,橢圓則成了正弦曲線)等。

圖4

另外,關于數(shù)學文化的學習,有一個誤區(qū):許多同學直覺上認為,數(shù)學文化就等價于數(shù)學史。確實,宏觀地觀察數(shù)學,從歷史上考察數(shù)學的發(fā)展,是揭示數(shù)學文化層面的重要途徑。但是,除這種宏觀的歷史考察之外,還應該有微觀的一面,即從具體的數(shù)學概念、數(shù)學方法、數(shù)學思想中揭示數(shù)學的文化底蘊。同學們在學習過程中,既要多多關注教材內容的編排和編寫意圖,也要設法多途徑、多側面地理解和體會數(shù)學文化。