基于S型成本消耗曲線的合同履行進度分析及偏差處理?

（海軍工程大學管理工程與裝備經濟系 武漢 430033）

1 引言

隨著我國的裝備建設速度加快，每年簽訂的裝備采購合同逐年增加。而作為約束性文件，合同的簽訂有利于規范雙方行為［1］，確保裝備采購效益。而在采購合同生效后如何根據條款更加合理地監督合同履行，預防可能出現的各種進度風險，確保合同按質如期交付［2］，已經成為當前軍民融合深度發展背景下急需解決的難題之一。

起源于美國國防部“C/SCSC”［3］的掙值管理方法，因為其能夠有效地集成控制項目進展的成本、進度要素被廣泛研究并運用于航天項目研制、裝備采購等合同履行監督控制中。Fernando［4］等提出了一種可視化框圖結構，在可接受偏差范圍之內對項目進度情況進行反饋并加以控制。張帥等［5］在引入關鍵路徑的基礎上建立掙值模型，提高進度預測的準確性。而大多現有研究的進度預判都是基于成本消耗線性增長的前提上，與實際中S型增長的情況存在差異；另外對項目成本、進度之間關系的研究也不是很充分，在面對進度落后時如何更好地調整成本投入來促進進度等問題一直沒有很好的解決辦法。本文在傳統掙值分析的基礎上，提出成本消耗曲線模型，更好地模擬成本消耗速度隨著合同進展的變化，建立新的項目完成時間預判指標，分析成本與進度之間的緊密關系，探究對合同履行進度進行有效控制的科學手段。

2 傳統掙值方法的進度預判

傳統的掙值分析通過實際完成工作任務的計劃成本［6］——掙值（Earned Value，EV）與計劃價值（Plan Value，PV）的比值得到進度績效指數［7］（Schedule Performance Index，SPI）。并利用總的計劃完成時間與SPI做比值，可以進一步估算在當前的進度趨勢下，合同履行的最后完工時間。

假設某一型號裝備采購合同履行的計劃完成時間為T0，而時間點t0是對合同履行情況進行監督控制的一個節點。

圖1 傳統掙值進度預判分析圖

而根據傳統掙值分析方法，PV以及EV隨著時間的增長呈線性增長，可以在時間-成本（T-C）曲線中加以描述，具體如圖1所示。

結合項目的相關績效基線標準［8］可知在t0時刻下項目計劃完成的工作任務的計劃成本PV0。而根據圖中的計劃價值線和掙值線可知在t0時刻完成的工作任務量在計劃安排上應該在t1時刻就已經完成，得到當前項目延緩（提前）的趨勢，即實際項目進展與項目計劃進展速度的之間的比值［9］。進而利用該比值可以對項目最終的實際可能完成時間T1進行預判：

實際上根據圖中相似三角形之間的比例關系，又可以得到：

根據以上兩個式子可以得到實際完成時間估算的值：

由此可以得到成本消耗線性增長條件下的完工時間估計。但是這種方法在成本消耗是曲線增長的時候就不太適用了。特別是前期成本消耗較少，延遲較大的情況。如果簡單地用前期趨勢加以估計以后的項目進展，忽略了大部分成本支出特性的影響，會得出錯誤的進度預判。

3 基于S型成本消耗曲線的掙值進度分析

依靠前期（成本消耗累積速度較慢）的趨勢就預測整個項目的完成時間估算，忽視了中期以及后期成本支出的特性（中期的成本支出迅速增大，前期成本支出與中期相比較少），容易造成以偏概全的錯誤，出現決策誤判。

通常在裝備采購合同履行過程中，處于前期階段時，特別是立項論證，資料收集等階段，投入的成本相對較低。但隨著項目的進展，到了控制項目進程的時候，投入的成本會慢慢加大。以維修合同為例，當合同履行到項目中期的時候，此階段主要是對關鍵部位進行修復工作，成本消耗速度達到一個頂峰［10］。之后隨著項目各個部分的逐漸收尾，開始驗收前期所做的各項工作，成本消耗也漸漸變緩。

具體的消耗過程可以通過在函數圖中繪制出PV和EV兩條曲線，加以對比，分析二者存在的聯系。如圖2所示，圖中BAC表示整個項目完工的預算成本，C軸和T軸分別表示成本支出和時間。

圖2 各時刻成本消耗曲線圖

根據成本消耗隨時間變化的情況，對比計劃價值與掙值累積增長速度，進一步把握項目的進度。基于成本消耗累積隨時間變化的增長率C′（t），對成本支出進行描述。在圖3中，繪制出計劃價值和掙值的累積增長率變化情況。

圖3 成本支出增長速度變化圖

S型成本-時間曲線對時間求導后得到三角折線圖，折線經過0點與T軸包圍在一起。圖中p0為按照原計劃進行時，成本消耗累積增長最快時的速率，而p1為實際進展過程中計劃成本消耗累積增長的最快速度。

速度的最高點分別出現在計劃、實際進程時間的α與β比例處。由于裝備研制、維修等工作的特性，峰值點在整個裝備項目出現的時間段基本固定，可以通過以往的相似裝備項目進行仿真求解確定α與β。在相同的裝備項目中，計劃與實際進程中成本消耗累積速率最高點一般出現在整個完成時間的同一部分，即比例相差無幾。本文中考慮兩個比例的時候，假定兩個比例相同。

項目一般會在費用支出增長高峰點來臨前，即函數圖中峰值點的左側，對項目進行監控調整。假設時間t在峰值點的左側，根據圖3可得：

而本文中假定α與β一致，則此時的進度績效指數的計算公式為

由于掙值實際上是已經完成任務工作量的計劃成本，待到最后完成整個項目的時候，它的累積成本支出就是項目的總計劃成本。因此在圖2中計劃價值曲線和掙值曲線的最終成本支出是一致的，計劃價值和掙值累積到最后所得到的總計劃價值以及總掙值的數值是相等的。由此通過微積分可知兩條曲線所包圍的面積，即項目的費用支出相等。簡化后可用下面公式來替代：

根據式（2）、（3）可知：

進而根據算式可以知道預計完成時間估算T1的求解公式如下：

當監控時間點設立在峰值點右側的時候，也可以根據函數圖中的幾何關系對當前的掙值以及計劃值的累積情況進行求解，先對累積的計劃價值和掙值進行計算：

進而根據在峰值點右側的計劃價值以及掙值公式，求解得到：

基于當前峰值比例α點已知的前提下，可以有效地在峰值點右側合理估算項目的完成時間。

以上的公式就是在項目成本開支呈S型增長情況下得到的進度預判方法。在現實的成本支出過程中，利用上式能夠達到較好地評估項目進展的效果。結合傳統掙值的估算方法可以發現，當項目延遲的時候，利用式（1）所得到項目最終完成時間估算要大于改進后的完成時間估算，說明原有的方法存在過于悲觀的估計。這會導致項目管理者采取不必要的調整措施，造成資源上的浪費。

4 合同履行進度控制與優化

對于裝備采購合同履行監督來說，合同履行進度決定著裝備戰斗力生成的時間，是決策者考慮的重要因素［11］。利用掙值分析方法結合當前的項目進展情況可以較好地對項目接下來的發展進行預判，發現存在的問題。而針對發現的問題，如何較好地進行控制和處理是一個較大的難題。

在項目管理中，成本投入以及技術發展等因素對于進度的影響是巨大的，先進的技術以及大量的成本投入都能夠在短時間內加速項目的進展［12］。相反，收到限制的成本投入以及技術難關會極大地制約項目的進程。

作為客觀因素的技術原因在短時間內很難得到突破，因此在選擇提升項目進度上，項目決策可以通過合理安排成本的投入進而影響項目的進程。通過對成本——進度之間的關系進行把握，針對出現的進度延遲（提前），調整在各部分的成本投入，一方面使得項目按照正常進度進行，另外一方面控制過多的成本投入。

一般的裝備采購項目都是由復雜的工序組成，在研制、維修等合同履行項目中，部分工序因為客觀原因在進展中實際消耗時間可能大于計劃消耗時間，為了扭轉這一趨勢，可以采取投入趕工成本的方法。這樣一來可以較快地在工序的后續完成上回到預定的進度軌道上。

成本投入與進度在短期階段內屬于線性關系［13～14］，可以通過在進度落后的不同工序上加大投入借以提高進度。在此過程中需要考慮工序的趕工費率，相關函數可以表示如下：

針對當前落后的n道工序，對比計劃安排可以得到各個工序上的落后時間，匯總可以得到總的延遲時間，再結合式（6）對當前投入的用于趕工的成本進行計算，得到成本關于時間的函數：

C趕表示為了保證項目的正常進度而投入的趕工成本，為監控時間點下第i道工序的實際消耗時間，為監控時間點下第i道工序計劃消耗時間。

在原有基礎上追加成本投入可以有效地加快項目的進度。不過過多的成本投入在有限的經費限制下，勢必影響其他項目的開展以及項目后期的資源投入，因此在進度監控的同時，也要對項目的成本開支進行約束，嚴格按照公式求得成本加以投入，防止因投入過多的趕工成本而導致成本超支嚴重。防止后期各部分的任務工作無法正常開展，進而影響整體項目的進程。

在項目的監控時間點利用式（4）、（5）對項目按照當前趨勢可能造成的延遲進行預判，得到完成時間估算。發現存在的問題之后，利用當前的經費資源對落后的項目部分進行調整，利用式（7）計算并投入合理的成本對當前的進度進行控制。同時對調整后的項目進展進行跟蹤監控，再次預估項目的實際可能完成時間。通過對成本和進度的跟蹤監控可在出現延遲的時候及時采取措施，確保裝備的及時交付，盡早地形成戰斗力。

5 案例分析

結合一個裝備采購合同履行案例對新的進度預判方法以及偏差控制手段進行運用。該合同履行項目計劃完成時間為80天。首先選定某個合同履行的監控時間點，對在該時間點下各個合同履行任務活動的計劃成本、計劃以及實際完成程度進行數據匯集。具體如表1，各個任務活動均在項目關鍵路徑上。

根據實地測量及計劃安排，項目各個工序的完成狀況如表1所示。由表1可知合同履行當前整體的計劃價值為11.36萬元，掙值為9.5萬元，進度指數的值為0.84。結合式（1）可以知道在傳統的掙值管理方法中的合同完成時間估算為

表1 合同履行各個任務活動完成情況

合同履行尚處于成本消耗速度高峰來臨之前。利用新的掙值分析方法，結合式（4）對合同履行預計完成時間進行估算可知：

實際上項目的延期大概只有7.3天，但是傳統的掙值分析方法對當前的進度延遲的預判達到15.2天，夸大了可能存在的進度風險，進而導致決策者采取激進的調整措施，犧牲質量控制或者加大本不需要的成本投入來換取進度的恢復。

利用式（6）計算可知當前的裝備采購合同履行中各個工序的趕工成本費率基本一致，為0.8萬元/天，具體的計算過程在此不加以詳述。而當前各個工序匯總的時間進度延遲達到7.3天。利用式（7）可知：

由計算結果可知，在當前的進度趨勢下，為了保持計劃的合同履行進展，共需要投入大約5.84萬元到各個工序中。雖然在成本上加大了投入，但是由于趕工的效用，將促使整體合同的履行達到計劃的進度績效。同時對今后的合同履行績效進展進行跟蹤監控，將能夠防止再次出現進度大幅度落后的情況。

6 結語

分析軍民融合環境下軍方利用傳統掙值法對合同履行進度進行績效評估時遇到的難點問題，結合實際裝備采購合同履行監督成本支出情況構建出成本-時間曲線圖，進一步得到成本增長率函數圖，然后建立了新的時間估算公式，提高了在進度預測上的準確性。并針對合同履行過程中可能出現的進度延遲提出了相應的控制手段，增加成本投入，以糾正出現的偏差。由于實際合同履行監督過程中裝備種類繁多，不同類型裝備不同采購階段有著不同的特性，故其成本支出曲線可能比S型更為復雜，而且合同履行監督中成本、質量、進度三大目標相互制約，相互影響。因此，本文僅討論了成本-時間的關系，后續需要進一步研究確定質量與成本、進度之間的關系，用系統的方法對合同履行的質量、進度及費用進行綜合控制。