郵票里的數(shù)學(xué)故事

陳新合

一枚枚郵票包含著一個(gè)個(gè)典故。郵票與數(shù)學(xué)有什么不解之緣呢？讓我們一起走近郵票里那些形形色色的圖形。

如圖1，這張郵票上的圖形是一個(gè)“彭羅斯三角形”，它是現(xiàn)實(shí)世界中不能客觀存在的圖形，也稱(chēng)為不可能圖形。不可能圖形，又稱(chēng)錯(cuò)覺(jué)圖片，是指只能在二維世界存在，而無(wú)法存在于三維的現(xiàn)實(shí)世界中的一種幾何圖形，常以視覺(jué)錯(cuò)位的形式“欺騙”觀看者的眼睛，令觀看者產(chǎn)生眼見(jiàn)不一定為實(shí)的想法。如今，不可能圖形已成為視覺(jué)藝術(shù)的一個(gè)子類(lèi)，在數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、電子游戲等領(lǐng)域均有應(yīng)用?！芭砹_斯三角形”雖然以彭羅斯命名，但它其實(shí)最先是由荷蘭藝術(shù)家埃舍爾設(shè)計(jì)的。數(shù)學(xué)家彭羅斯在看到埃舍爾的繪畫(huà)作品后，產(chǎn)生關(guān)于這種圖形的靈感，然后與其父親一同討論出一篇論文并發(fā)表?！芭砹_斯三角形”便由此得名。

圖1

如圖2，這張郵票給我們展示了“希爾賓斯基三角形”。它由波蘭數(shù)學(xué)家希爾賓斯基在1915年提出。我們可以嘗試制作“希爾賓斯基三角形”：取一個(gè)實(shí)心正三角形，挖去“中心三角形”（以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），在其余的小三角形中再分別挖去“中心三角形”。如圖3，白色三角形代表挖去的面積，黑色三角形代表剩下的面積。如果無(wú)限重復(fù)以上方法，則“希爾賓斯基三角形”的面積趨近于零，周長(zhǎng)趨近于無(wú)限大。

圖2 圖3

“希爾賓斯基三角形”是最簡(jiǎn)單的分形。分形具有自相似性，顧名思義，就是一個(gè)圖形的自身可以看成由許多與自己相似的、大小不一的部分組成。乍看起來(lái)雜亂無(wú)章的分形，其實(shí)是大自然的基本存在形式，隨處可見(jiàn)，例如雷雨過(guò)后的閃電（圖4），冬天漫天飛舞的雪花（圖5），蝸牛外殼上的螺旋圖案（圖6），生活中常見(jiàn)的花菜等。小至植物的結(jié)構(gòu)及形態(tài)、遍布人體全身的縱橫交錯(cuò)的血管，大到天空中聚散不定的白云、連綿起伏的群山，它們都或多或少表現(xiàn)出分形的特征。分形與混沌理論在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)乃至股票指數(shù)波動(dòng)等許多自然與社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用，作為當(dāng)今非線性科學(xué)中活躍風(fēng)靡的前沿學(xué)科，不僅向人們展示了數(shù)學(xué)科學(xué)與藝術(shù)審美的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，也從某個(gè)方面揭示了自然和精神世界的本質(zhì)差異。

圖4 圖5 圖6

如圖7，這張郵票上的圖案是我們非常熟悉的“莫比烏斯帶”。它是由德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯和約翰·李斯丁于1858年發(fā)現(xiàn)的。把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°，將兩頭再粘接起來(lái)，這樣做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。普通紙帶具有雙側(cè)曲面，兩個(gè)面可以涂成不同的顏色，而這樣的紙帶只有單側(cè)曲面。如果我們把“莫比烏斯帶”沿橫中線剪開(kāi)，出乎意料地得到了一條雙側(cè)帶子，而不是兩條。如果把“莫比烏斯帶”沿縱中線剪開(kāi)，你又將獲得新奇之感：剪刀將環(huán)繞紙帶子剪整整兩圈，剪的結(jié)果是兩條卷繞在一起的紙條，其中一條是雙側(cè)紙圈，另一條是新的“莫比烏斯帶”。你看，這真是一條奇妙的帶子。

“莫比烏斯帶”為很多藝術(shù)家提供了靈感，比如荷蘭畫(huà)家埃舍爾利用這個(gè)結(jié)構(gòu)創(chuàng)作了木刻畫(huà)里面的人（圖8）?！澳葹跛箮А边€被應(yīng)用于工業(yè)制造，比如制造磁帶，以承載雙倍的信息量。

圖7 圖8

圖9給我們呈現(xiàn)了一幅美妙的圖案——“向日葵螺旋”?！跋蛉湛菪笔怯上蛉湛墓軤罨ㄅ帕谐龅?，這種螺旋不是同心圓，兼具擴(kuò)散感和吸入感，既美麗誘惑，又神秘莫測(cè)。它還有個(gè)格調(diào)更高的名字——斐波那契螺旋。斐波那契螺旋得名于意大利數(shù)學(xué)家斐波那契。這位數(shù)學(xué)家提出了一個(gè)有趣的數(shù)列——斐波那契數(shù)列，即數(shù)列中從第三項(xiàng)開(kāi)始，前面相鄰兩項(xiàng)之和構(gòu)成后一項(xiàng)，如1，1，2，3，5，8，13，21……斐波那契螺旋基于這個(gè)數(shù)列，作以連續(xù)的斐波那契數(shù)為邊長(zhǎng)的正方形，然后以正方形的對(duì)角線為端點(diǎn)畫(huà)圓弧而形成（如圖10）。神奇的是，在較高的數(shù)字序列中，兩個(gè)連續(xù)的數(shù)的比值越來(lái)越接近黃金比例（1∶0.618）。黃金比例具有高度的藝術(shù)性、和諧感，被全世界公認(rèn)為最能引起美感的比例。蘊(yùn)含著黃金比例的斐波那契螺旋，能給人帶來(lái)美的視覺(jué)愉悅感，也是一種在動(dòng)態(tài)中趨向平衡、和諧的線條，是美的極致。

圖9 圖10

除了向日葵以外，很多植物的花、種子的排列都遵循這個(gè)規(guī)律，比如海螺，甚至宇宙中的星系，都可見(jiàn)斐波那契螺旋。不得不驚嘆，我們身處的這個(gè)世界，真像是按照精確的計(jì)算和藝術(shù)的表達(dá)設(shè)計(jì)出來(lái)的。

（作者單位：江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校）