低比轉數離心泵葉輪內流場重構與模態分析

張人會 陳學炳 郭廣強 李仁年

(1.蘭州理工大學能源與動力工程學院， 蘭州 730050； 2.甘肅省流體機械及系統重點實驗室， 蘭州 730050)

0 引言

離心泵水力性能的優化實質是對其內流動的優化控制，由于離心泵內部流動的復雜性及內部流動與其水力性能之間的復雜隱式關系，離心泵水力性能的優化設計研究進展緩慢[1-5]。目前葉輪機械優化設計方法主要有響應面法、遺傳算法、伴隨方法、不完全敏感性法等[6-9]。響應面法與遺傳算法屬于非梯度方法，全局最優，但隨設計參數的增多，計算量劇增；伴隨方法求解精度高、計算量小，但是伴隨方程的推導及求解較為復雜。采用代理模型能夠快速確定設計參數對流場的擾動響應，精確地進行流場的預估，有效避免大規模的流場計算，便于實現流場的快速優化。

本征正交分解(Proper orthogonal decomposition, POD)法是一種功能強大的數據分析方法[10]，其通過對數據系統的奇異值分解確定系統的POD基，在給定系統空間內具有最佳的表達能力。段焰輝等[11]在無粘跨音速情況下，使用本征正交分解法對機翼翼型流場進行了分析。文獻[12-15]在Gappy POD翼型反設計方法的基礎上提出校正迭代法，以此提高反設計精度，并將其與代理模型應用于流場的預測，得出基模態數與預測精度的關系。羅佳奇等[16]基于POD方法對跨音速葉片的流場進行分析，提出POD-RBF(本征正交分解-徑向基函數)混合代理模型，并成功應用于跨音速流場的分析。文獻[17-18]將本征正交分解法應用于離心泵的反設計研究，同時將其應用于液環泵單流道流場重構研究。

本文提出基于POD-RBF混合代理模型方法的離心泵葉輪內流場重構研究，并對離心泵葉輪內流場結構及模態特征進行流場基模態分析。

1 POD內流場重構及模態分析理論

1.1 Gappy POD本征正交分解法

SIROVICH[19]最早提出了Snapshot POD方法，該方法將自相關矩陣的階數降低至與快照個數相等，大大改善了求解特征值的效率和穩定性問題，為POD方法在流體力學中的應用提供了便利。Gappy POD 是Snapshot POD方法的一種變形，常被用于缺失數據的填補。

樣本快照集表示為

U=[U1u2]T

(1)

在矢量集U1中，所有元素都是已知的，矢量u2的表達式為

u2=[u21u22]

(2)

u21為已知數據，u22為缺失數據，需要完成對缺失元素的填補。

矢量集U1可表示為

(3)

其中

Φ=[Φ1Φ2]

(4)

式中Φ——POD基n——樣本數

aj——基系數

其可通過快照集U的奇異值分解計算得到

(5)

式中，Φ1、Φ2是對應于u21、u22兩部分的POD基，bij與βj為POD基系數，下角標m為葉型參數的個數，下角標z為重構截面網格節點個數。對矢量u22可進行填補，即

(6)

系數βj可通過最小二乘法得到，即

Mβ=f

(7)

1.2 POD-RBF混合代理模型

在早期的Gappy POD的應用中，經常采用最小二乘法來確定POD基系數，這是一種線性回歸方法，在非線性系統響應問題中精度較低。為了提高POD基系數的響應精度，采用非線性且響應精度高的徑向基函數(Radial basis function, RBF)[20]來預測目標樣本的正交基系數。

由樣本快照集的奇異值分解可得

U=QΣVT=QΦ

(8)

式中Q——各樣本對應的基系數

Σ——對角矩陣

V——右奇異矩陣

不同的樣本葉型參數分別對應不同的正交基系數，可建立樣本矢量與其基系數的徑向基神經網絡模型(Radial basis function neural network, RBFNN)

(9)

其中qkj為第k個POD基系數向量的第j個分量，Wij為RBFNN模型系數，xi為各樣本葉型控制參數。φ(xi,xj)為徑向基函數，采用高斯型徑向基函數，其表達式為

φ(xi,xj)=e-σ‖xi-xj‖2

(10)

式中σ為正實數，0≤σ≤1。

由式(8)可得樣本集的正交基矢量，由徑向基網絡的輸入參數xi及其輸出qkj可反解其RBFNN模型系數Wij，然后依據該RBFNN模型可預測目標葉型xo所對應的POD基系數qo，并由式(8)重構目標葉型所對應的葉輪內流場。

1.3 葉輪內流場的基模態分析

采用POD方法進行樣本流場模態的提取，每個快照均由葉輪中間截面網格節點坐標和相應的流場信息構成，第i個樣本矢量可表示為(xi,1,xi,2,…,xi,M×N|yi,1,yi,2,…,yi,M×N|vi,1,vi,2,…,vi,M×N)。其中(x，y)為網格節點坐標，v為流場參數，M×N為網格節點數。

(11)

2 離心泵葉輪內流場重構及其模態分析

圖1 葉片型線參數化控制Fig.1 Parametric control of blade shape

2.1 內流場重構及其誤差分析

依據初始葉片型線基礎上擾動所得各樣本葉輪內流場的CFD計算結果，對初始葉型的葉輪內流場進行POD重構分析，并將流場的POD重構結果與其CFD結果進行誤差分析。樣本矢量由葉片型線的控制參數和葉輪內流場參數構成，第i個樣本矢量可以表示為(αi,1,αi,2,…,αi,m|vi,1,vi,2,…,vi,53×41)，其中α是葉型參數，單個流道取53×41的網格節點數，由此可得樣本集為

(12)

其中vo,i是目標葉型αo,i所對應的流場參數。

8個葉輪葉片型線各不相同，無法實現同一網格下的流場重構，由于各葉輪內流道幾何相似，進行流場的重構時需要根據對應的相似節點進行流場樣本集的構建，并進行流場預測。采用網格變形技術重構其結構化網格，將其單個流道網格統一為53×41的結構化網格，按照相似的網格節點進行流場的插值，得到各相似坐標點的樣本矢量集。

定義沿著圓周角γ及半徑r方向的無量綱坐標δi,j和ηi,j，其中δi,j滿足公式

γi,j=γi,1+δi,j(γi,41-γi,1)

(13)

式中，γi,j為節點(i，j)所對應的圓周角坐標，類似地可定義r方向的無量綱坐標ηi,j。由均勻分布的無量綱坐標及葉片邊界上的節點分布即可求解葉輪內任意相似節點的坐標。

通過POD-RBF混合代理模型對目標葉型對應的內流場進行重構，并將預測流場與CFD計算結果進行對比，如圖2～6所示。

圖2 CFD計算全流道壓力分布Fig.2 Pressure distributions of whole channel of CFD

圖3 CFD與POD重構的壓力分布Fig.3 Pressure distributions of CFD and POD

(14)

其中fi,POD、fi,CFD分別為各網格節點的POD及CFD流場參數，K為葉輪中間截面網格節點總數。

圖4 壓力誤差分布Fig.4 Distributions of pressure errors

圖5 CFD與POD重構的速度分布Fig.5 Velocity distributions of CFD and POD

圖2是CFD計算全流道中間截面壓力分布情況，可以看出由于隔舌動靜干涉的影響，隔舌附近葉輪內壓力較高。圖3是葉輪中間截面壓力場的POD預測結果與CFD計算情況的對比，由圖可以看出POD預測結果與CFD計算基本一致，從葉輪進口到葉輪出口壓力逐漸增大。圖4是壓力預測誤差分布情況，是由POD預測壓力場減去CFD計算流場得到。從圖中可以看出，葉輪靠近蝸殼隔舌部位有較高的局部誤差，約10 000 Pa，整體來看葉輪內流場壓力預測誤差基本在1 000～3 000 Pa，誤差較小。根據式(14)計算可得均方根誤差為0.84%。

圖6 速度誤差分布Fig.6 Distributions of velocity errors

圖5為葉輪中間截面相對速度的POD預測與CFD計算結果的對比，由圖可以看出，POD-RBF混合代理模型法可以精確預測目標葉輪相對速度場的分布情況。圖6為預測速度場與CFD計算速度場間的對比誤差分布，可以看出預測誤差基本在0.5 m/s以內。同樣在DELL T620、24核、64 GB內存的工作站上進行運算， CFD計算泵內流場需要2 h才能完成，而由POD-RBF方法重構葉輪內流場所需要的預測時間大約為30 s，僅為 CFD計算所需時間的1/240，可以實現離心泵內流場的快速精確預估。

2.2 內流場模態分析

依據1.3節流場基模態分析方法，將由網格節點坐標及流場參數構成的快照集減去平均快照集，并進行奇異值分解，最后疊加平均快照集，得到基模態流場，如圖7～10所示。

圖7 各階POD模態對應的壓力特征值Fig.7 Pressure eigenvalue of POD modal

圖8 基模態壓力流場Fig.8 Pressure field of base modal

圖9 各階POD基模態對應的速度特征值Fig.9 Velocity eigenvalue of POD modal

圖10 基模態速度流場Fig.10 Velocity field of base modal

圖7、9分別為壓力場與速度場的各個基模態特征值分布，由圖可以看出隨著基模態階數的增多，其所包含的特征越少，前6階壓力與速度的基模態分別包含了其97.7%、94.9%的流場能量。圖8及圖10分別是基模態壓力場與基模態速度場，從中可以看出，第1階POD基模態流場與樣本平均流場的差異最顯著，說明其包含的流場變化特征最多，第5階基模態流場與平均流場基本一致。由圖8可以看出，壓力第1階基模態反映其進口到出口壓力遞增以及葉片壓力面出口高壓區的流場特征，壓力第2階基模態能夠反映葉輪出口與隔舌的干擾引起的高壓區特征。由圖10可以看出，速度的第1階基模態能夠反映葉片壓力面的低速區、葉片進口背面的低速區、葉片壓力面出口低速區及葉輪出口與隔舌的干擾作用引起的高速區流場特征，第2階基模態反映出葉片出口壓力面附近的高速區特征，其余的速度場特征相比于第1階基模態明顯減弱。

3 結論

(1)提出了采用POD-RBF混合代理模型方法對離心泵葉輪內流場進行重構分析。從對離心泵葉輪內流場的重構分析結果來看，POD-RBF方法能夠精確重構出其壓力場與速度場分布的結構特征，壓力預測均方根誤差為0.84%，速度預測誤差基本在0.5 m/s以內。

(2)對樣本集進行POD基模態分析，前6階基模態基本包含所有流場能量，1階基模態流場與樣本平均流場差異最顯著，說明其包含的流場變化特征最多，5階基模態流場與平均流場基本一致。采用POD基模態分析可以精確地預測葉輪內流場的流動特征。

(3)提出的POD-RBF方法能夠快速精確地對低比轉數離心泵葉輪內流場進行重構，流場預估所需時間約為CFD計算的1/240，并可精確捕捉到內流場的分布特征，其預測精度高、計算量小，可以作為代理模型用于流體機械優化設計中流場的預估。