3T1R并聯機構降耦設計與分析

朱小蓉 胡 旸 沈惠平 楊廷力 朱 偉

(常州大學機械工程學院， 常州 213164)

0 引言

3T1R并聯機構由于能實現沿x、y、z軸的平動和繞固定軸(通常為z軸)的轉動，可用于分揀、包裝、碼垛、裝配等操作，在工業中得到大量應用。最初的3T1R并聯機構是在3-DOF Delta機器人[1]的基礎上加裝中間UPU支鏈以實現繞z軸的獨立轉動。在此之后，提出了一系列由4支鏈和鉸接雙動平臺組成的3T1R并聯機構[2-8]，如H4、I4、Par4、Heli4、CrossIV等；文獻[9-14]提出了一類結構對稱、具有4支鏈和剛性單動平臺的3T1R并聯機構。上述能實現3T1R運動的并聯機構中，含鉸接雙動平臺的機構，通過2個子動平臺的相對運動和特定設計的傳動裝置能實現較大旋轉角，最大轉動范圍可達[-90°,90°]，但該類機構的結構和運動學都較為復雜；而剛性單動平臺3T1R機構，由于支鏈耦合、機構奇異性的影響，這些機構的工作空間特別是轉動范圍受限，且這些機構的耦合度較大(κ=2)，其運動學正解、動力學分析求解復雜。因此，為滿足工程實際應用需要，還需要對解耦及大轉動能力的3T1R并聯機構進行更多的研究。

根據基于方位特征(Position and orientation characteristic, POC)方程的并聯機構拓撲結構設計理論，文獻[15]提出了3種拓撲結構降耦設計原理和方法,其中，基于運動副復合的設計方法，在降低機構耦合度的同時，使機構的結構設計、制造變得更簡單，已成為并聯機構拓撲結構降耦設計的一種主要方法[16-18]。

文獻[19-21]提出了一種具有較好應用前景的四自由度Quadrupteron并聯機構，能實現三平移和繞動平臺法線的一個轉動輸出，但機構的耦合度較高(κ=2)，且機構的轉動能力受限。本文采用基于運動副復合的設計方法，對其進行結構降耦，以得到一種自由度和末端件輸出運動類型保持不變，但機構耦合度降低，且具有運動解耦的新機型。

1 降耦并聯機構

1.1 機構降耦設計

1.1.1Quadrupteron并聯機構

圖1 Quadrupteron并聯機構Fig.1 Kinematic diagram of Quadrupteron

Quadrupteron并聯機構如圖1所示[22]，由1條CRR支鏈(Leg 1)和3條CRRR支鏈(Leg 2、Leg 3、Leg 4)連接定平臺和動平臺；與動平臺相連的4個R副的軸線與動平臺的法線相互平行；每條支鏈上其余的C副和R副軸線互相平行。

易知，當定平臺上4個C副的移動作為驅動時，動平臺可實現三平移和繞動平臺法線的轉動輸出；同時，該機構由1個基本運動鏈(BKC)組成，且耦合度κ=2，其運動學正解及動力學正反解求解復雜。

1.1.2降耦設計

文獻[15]提出的基于運動副復合的結構降耦設計方法，已對多種耦合度較高的并聯機構進行了拓撲降耦優化設計[15-18]。由于Quadrupteron機構動平臺上的4個R副軸線平行，可以通過合并的方法達到機構結構降耦的目的。

保持CRR支鏈(Leg 1)不變，首先將圖1所示Quadrupteron并聯機構的2條CRRR支鏈(Leg 2和Leg 3)上與動平臺連接的2個轉動副重合，合并成RD副，移至動平臺的中心；再拆開另1條CRRR支鏈(Leg 4)與動平臺相連的R副，并通過末端執行件與RD副相連，則構成圖2所示的新型降耦機構，記為(3CRR/R)&CRRR并聯機構。

圖2 (3CRR/R)&CRRR降耦并聯機構Fig.2 (3CRR/R)&CRRR decoupled PM

這樣，降耦機構由靜平臺0、中間平臺1和末端執行件2組成。其中，靜平臺0和中間平臺1之間由轉動副R12、R13、R22、R23、R32、R33和圓柱副C11、C21、C31及相應構件組成，且滿足C11‖R12‖R13、C21‖R22‖R23、C31‖R32‖R33，裝配時C11、C21、C31互相正交；另一支鏈由C41、R42、R43和R44(正交的兩轉動副R43、R44可采用萬向節代替，記為U43)組成；旋轉軸RD固定在中間平臺1上，且垂直于中間平臺1；主動輸入為C11、C21、C31、C41的移動。

1.2 拓撲結構特征分析

1.2.1機構的POC計算

并聯機構的POC方程[22]為

(1)

(2)

式中MJi——第i個運動副的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

MPa——機構動平臺的POC集

m——運動副數

v——獨立回路數

靜平臺0與中間平臺1及3條Ci1Ri2Ri3(i=1,2,3)支鏈可看成一子并聯機構。

確定中間平臺1的POC集為

即子并聯機構可看成是1條三平移輸出的等效支鏈SOC{-P-P-P-}。

末端執行件的POC集為

因此，機構自由度為4，具有空間任意方向的移動和繞垂直于中間平臺1法線方向的轉動，與Quadrupteron機構輸出特性相同。

1.2.2機構的自由度計算

并聯機構DOF公式[22]為

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副的自由度

n——構件數

ξLj——第j個獨立回路的獨立位移方程數

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構件POC集

機構所含的獨立回路數為

v=m-n+1=14-12+1=3

機構的拓撲結構路線可以分解為

SOC1{-C11‖R12‖R13-R23‖R22‖C21-}

SOC2{-C31‖R32‖R33-}

SOC3{-RD‖R44⊥R43‖R42‖C41-}

由式(4)得

其構成子并聯機構PM(1-2)的自由度和POC集為

由式(2)得

其子并聯機構PM(1-3)的自由度和POC集為

由式(2)得

由式(3)得

因此，該降耦機構的自由度仍為4，當取靜平臺0上C副的移動作為驅動副時，末端輸出件2可實現3個平移及1個轉動的運動輸出。

1.2.3機構耦合度κ計算

由基于序單開鏈(Single open chain, SOC)的機構組成原理[22]可知，任一機構可分解為約束度為正、零、負的3種有序單開鏈(SOC)，第j個SOCj的約束度定義為

(5)

式中mj——第j個SOCj的運動副數

Ij——第j個SOCj的驅動副數

進一步，一組有序的v個SOC可組成一個零自由度的獨立回路數為v的基本運動鏈(Basic kinematics chain, BKC)，對一個BKC而言，須滿足

(6)

因此，BKC的耦合度為

(7)

已計算出機構3個回路的獨立位移方程數，分別為ξL1=5,ξL2=4,ξL3=5，因此，由式(5)可得：

SOC1的約束度為

SOC2的約束度為

SOC3的約束度為

則SOC3構成另一基本運動鏈BKC2，耦合度κ2=0。

1.2.4降耦機構運動解耦性分析

對圖2所示的降耦機構進行解耦性分析如下：

(1)降耦機構可分解為2個BKC，如圖3所示。其中，BKC1由SOC1和SOC2構成，即由靜平臺0、中間平臺1及其間的3條Ci1Ri2Ri3(i=1,2,3)支鏈組成；另一個BKC2由C41、R42、U43、RD組成。

圖3 降耦機構的拓撲結構組成Fig.3 Topological structure of decoupled PM

(2)由于機構的4個驅動位于不同的BKC，滿足文獻[22]的并聯機構解耦性準則條件，則降耦機構具有部分自由度，即機構輸出具有運動解耦。

(3)末端輸出件2的位姿取決于所有主驅動輸入，與其相鄰的中間平臺1(包括轉動副RD)的位姿取決于部分輸入；末端輸出件2與中間平臺1的平移運動重合，同時，末端件2繞轉動副RD相對于中間平臺1以角φ旋轉。

用同樣的方法，對Quadrupteron機構進行了上述的拓撲結構特征分析，分析結果如表1所示。

結果表明，降耦機構的自由度、POC集與Quadrupteron相同，均為3T1R；但運動副數和構件數均有所減小，故降耦機構的結構設計、制造更為簡單；從拓撲結構組成來看，Quadrupteron由一個BKC組成，耦合度κ=2；而降耦機構由兩個BKC組成，耦合度分別為1和0，且降耦機構的輸出具有部分解耦性，表明降耦機構的運動學正解及動力學分析的難度將會大大降低。

表1 兩種并聯機構的拓撲結構特征Tab.1 Topological structure characteristics of two PM

2 運動學分析

靜平臺采用框架形式，建立如圖4所示定坐標系Oxyz，z軸與C11軸線平行，x軸平行于C31軸線；θi1(i=1,2,3)分別為構件A1B1與x軸、構件A2B2與x軸、構件A3B3與z軸的夾角；4個移動驅動滑塊分別安裝在間距為L的4個軌道上；驅動副行程為ρ，安裝中心分別記為Gi(i=1,2,3,4)；每個分支的定長桿AiBi及BiCi長度設為lij(i=1,2,3;j=1,2)。

圖4 并聯機構運動示意圖Fig.4 Kinematic diagram

在中間平臺1的N點建立動坐標系Nuvw，v軸平行于轉動副R23軸線方向，w軸平行于中間平臺1的法線；點Ci(i=1,2,3)是轉動副Ri3(i=1,2,3)在中間平臺1上的安裝基點，其特征參數是r，且有|NCi|=r(i=1,2,3)，并設Ci在Nuvw坐標系下的位置矢量為ri，βi(i=1,2,3)為NCi與u軸的夾角，如圖5所示。

圖5 中間平臺1上運動副的分布Fig.5 Distribution of pairs on moving platform-1

圖6 基本運動鏈BKC2示意圖Fig.6 Sketch of BKC2

基本運動鏈BKC2的結構如圖6所示，θ41為構件A4B4與x軸的夾角；定長桿A4B4及B4C4桿長分別為l41、l42；末端輸出件C4D長度為l。

設驅動副的輸入變量為ρ=(ρ1,ρ2,ρ3,ρ4)，末端輸出件基點D位姿為x=(xD,yD,zD,φ)，則4條支鏈存在以下關系：

支鏈1

(8)

支鏈2

(9)

支鏈3

(10)

C4坐標滿足如下關系

(11)

式中h——轉動副安裝基點D與點N距離，見圖6

則由式(8)～(11)，可得

ρ2-rsinβ2=ρ4-lsinφ

(12)

2.1 機構位置正解

已知機構的輸入位移(ρ1,ρ2,ρ3,ρ4)，求末端輸出點D的位姿(xD,yD,zD,φ)，即為位置正解。

由式(8)～(12)，有

(13)

sinφ=(ρ4-ρ2+rsinβ2)/l

(14)

解式(14)，可得：

(1)當|ρ4-ρ2+rsinβ2|/l<1時，φ有兩組解

φ1=arcsin(|ρ4-ρ2+rsinβ2|/l)

(15)

φ2=arcsin(|ρ4-ρ2+rsinβ2|/l)+π

(16)

(2)當|ρ4-ρ2+rsinβ2|/l=1時，φ有一組解。

(3)當|ρ4-ρ2+rsinβ2|/l>1時，φ無解。

分析表明，對于給定的、非奇異輸入，末端執行件有兩組姿態；而當初始裝配情形確定后，機構的運動學正解具有唯一性。

2.2 機構位置反解

已知末端輸出基點D的位姿(xD,yD,zD,φ),求機構的輸入位移(ρ1,ρ2,ρ3,ρ4)，即為位置反解。

由式(13)、(14)可直接得出機構反解方程為

(17)

對式(13)、(14)整理，可得末端基點的輸出矩陣形式為

(18)

式中 ·——輸出常數

fi(·)——結構參數構成的函數

由式(18)可知，該機構的解耦性具有兩層含義：①末端輸出件的位置與姿態具有拓撲解耦特性。②末端輸出的移動本身具有解耦特性，且具有各向同性，這為控制帶來了方便。

3 機構雅可比矩陣及奇異性分析

3.1 機構雅可比矩陣

將式(17)對時間t求導，整理得

(19)

用矩陣A和B來分析機構奇異特性，并記J=A-1B為機構的雅可比矩陣。

3.2 奇異性分析

并聯機構接近或到達奇異位形時，動平臺將變得不可控?；跈C構的雅可比矩陣，GOSSELIN等[23]將并聯機構的奇異位形分為3類：正解奇異、反解奇異及混合奇異。發生正解奇異的條件是：|B|=0、|A|≠0，此時即使驅動副固定，機構末端仍能運動；當|A|=0、|B|≠0時，機構出現反解奇異，在發生反解奇異時，末端執行元件會失去一個或多個自由度；當正解奇異和反解奇異同時發生時，發生混合奇異。

對于(3CRR/R)&CRRR降耦并聯機構來說，奇異分析包括兩部分：①BKC1奇異，即靜平臺0、中間平臺1及3條Ci1Ri2Ri3(i=1,2,3)支鏈組成子并聯機構部分的奇異。②BKC1和BKC2組成的3回路(記為：BKC1+BKC2)機構的奇異。

3.2.1BKC1奇異分析

由式(19)前3項可知，三平移輸出子并聯機構的雅可比矩陣為正交單位矩陣，不存在正解奇異；對反解奇異，當每條Ci1Ri2Ri3(i=1,2,3)支鏈的3個運動副軸線共面時發生，屬于工作空間的邊界奇異。因此，解耦3CRR子并聯機構在全工作空間內部不存在奇異位形。

3.2.2BKC1+BKC2奇異分析

(1)反解奇異

由式(19)可知，A是單常數陣，|A|恒不等于0，故不存在反解奇異。

(2)正解奇異

由|B|=0可得

cosφ=0

(20)

式(20)有兩組解，即φ=π/2、φ=-π/2。這2個奇異姿態將降耦機構的工作空間分為2個無奇異工作空間區域：① 無奇異區域Ⅰ(-π/2<φ<π/2)，此時cosφ>0。② 無奇異區域Ⅱ (π/2<φ<3π/2)，此時cosφ<0。

只要機構遠離這2個姿態(φ=π/2和φ=-π/2)，則機構不會發生反解奇異。

(3)混合奇異

由于|A|=0及|B|=0不可能同時成立，故機構不存在混合奇異位形。

3.2.3無奇異工作空間內運動學正解的分布

以上分析可知，機構無奇異工作空間包括：無奇異區域Ⅰ和無奇異區域Ⅱ；而運動學正解分析表明，機構存在兩組運動學正解。根據式(15)、(16)、(20)可知，機構運動學正解的2個公式分別對應機構的無奇異工作空間區域Ⅰ和Ⅱ，如表2所示。

表2 機構無奇異工作空間區域內運動學正解Tab.2 Forward kinematics among singularity-free workspace

一旦機構裝配形式給定，則確定了機構的無奇異工作區域，根據表2的計算公式可直接計算出機構的唯一運動學正解。

圖4所示構型處于無奇異工作區域Ⅰ，則可采用式(13)、(15)進行運動學正解求解，這進一步簡化了機構的運動學正解分析過程。

4 工作空間分析

對于3T1R并聯機構，通常研究定姿態工作空間和可達工作空間。定姿態工作空間為機構動平臺姿態保持一定時，動平臺上參考點所能到達的區域；可達工作空間，是動平臺上參考點以至少任一姿態能夠到達的點的集合。

對大多數3T1R并聯機構而言，動平臺不同的姿態對應的工作空間大小不同，且相差較大。

由式(13)可知，本文提出的降耦并聯機構，末端執行件3個方向的平移運動只與機構3個方向的驅動輸入參數分別相關，與姿態角φ無關，故下文直接討論機構的可達工作空間。

4.1 可達工作空間

式(13)表明，機構可達工作空間是3個方向圓柱體相貫形成的一個空間幾何體[20]，每個圓柱體的外徑等于對應支鏈的兩定長桿桿長之和|li1+li2|，而內徑等于兩桿桿長之差|li1-li2|。假設，保持支鏈定長桿長度不變，且li1=li2=1(無量綱)，驅動副行程范圍為ρ，令λ=ρ/|li1+li2|；并合理定位基座上移動副的驅動位置，以保證空間3個圓柱體相交體積最大化，則工作空間形狀及大小隨驅動副行程的變化情況如表3所示。

由表3可知，工作空間隨λ的增大先增加后保持不變，整個工作空間形狀規則，且無內部空洞；當λ≤1時，工作空間是邊長為ρ的立方體；當λ>1時，工作空間形狀為一多面體；當λ>1.675時，工作空間形狀和體積均保持不變。因此，為使機構結構緊湊、且獲得規則形狀的較大工作空間，驅動副行程不超過支鏈兩定長桿長度之和。

表3驅動副行程對工作空間體積的影響
Tab.3Influenceofdrivingstrokeonworkspace

4.2 轉動能力分析

由式(14)可知，末端機構的轉動姿態僅僅決定于2個輸入參數ρ2和ρ4，如保持ρ2、ρ4的驅動關系不變，可達工作空間內每一位置轉動能力均相同；且每一位置的無奇異轉動范圍均為：φ∈(-π/2,π/2)或φ∈(π/2,3π/2)。

目前研究的文獻中，除采用特殊的放大機構外，大多數3T1R并聯機構的轉動范圍均在[-90°,90°]之內，且工作空間內點的轉動能力差異較大。

5 算例

為便于性能比較，參照Quadrupteron樣機結構參數，機構主要尺寸參數如表4所示[20]。增加的末端執行件C4D的長度為40 mm，移動副驅動行程為220 mm，機構三維虛擬裝配如圖7所示。

5.1 運動學正反解算例

由圖7可知，該裝配形式使得機構總工作在無奇異區域Ⅰ，給定兩組主動輸入參數：①ρ1=0，ρ2=0，ρ3=0，ρ4=0；②ρ1=10，ρ2=40，ρ3=30，ρ4=20。運用式(15)、(13)，求得對應的實數正解，如表5中序號①和②所示。

表4 機構的幾何參數Tab.4 Geometric parameters of mechanism mm

圖7 降耦并聯機構的CAD模型Fig.7 CAD model of decoupled parallel mechanism

將表5中①、②正解數據，代入反解式(17)中，可得實數反解(序號③和④)。它與上述給定的輸入參數一致，故認為正反解求解正確。

表5 (3CRR/R)&CRRR機構位姿正反解算例Tab.5 Positive and inverse solution example of(3CRR/R)&CRRR

5.2 工作空間及轉動能力分析

由4.1節和4.2節分析可知，不考慮機構約束時，機構可達工作空間是一規則立方體，邊長為驅動副行程，即機構工作空間是邊長為220 mm的立方體，且工作空間內每一位置的轉動能力均一致，為(-90°,90°)，且無內部奇異。

由于各被動關節轉角限制以及桿件可能發生干涉，實際工作空間小很多。本文基于位置反解式(17)，采用搜索法求解出滿足約束條件的所有點，再利用所有滿足約束條件的“點集”近似求解出工作空間體積。求解步驟如下：

(1)根據經驗初步估算出工作空間的搜索范圍為：35 mm≤XD≤315 mm，31 mm≤YD≤365 mm，0≤ZD≤270 mm。

(2)基于位置反解式(17)求解并聯機構的輸入參數(ρ1,ρ2,ρ3,ρ4)，同時滿足如下約束條件：①支鏈各被動關節的轉角必須限制一定范圍：-75°≤θi1≤75°，15°≤θi2≤165° (i=1,2,3)。②驅動副行程為220 mm。③根據奇異條件，末端輸出件2的轉動姿態必須滿足(-90°,90°)。

(3)給定末端輸出件姿態角φ，并將步驟(1)中的初始化輸出參數代入反解式(17)中。

(4)選取搜索步長因子Δx=Δy=Δz=10 mm，若通過步驟(1)～(3)計算的結果滿足所有約束條件，則為工作空間內有效點，否則返回步驟(1)，并按步長依次改變末端件的輸出位置參數。

根據表4給定的機構參數，在Matlab中編程計算，求解給定姿態φ下的“點數”nφ，而每個點可視為邊長為Δx的小正方體。因此，可求得定姿態下工作空間體積為(單位：mm3)

Vφ=nφ(Δx)3=103nφ

(21)

采用同樣的步驟，對Quadrupteron機構的定姿態工作空間體積進行計算。圖8是不考慮轉動關節角度限制時，(3CRR/R)&CRRR降耦機構和Quadrupteron[20]的Vφ與φ的關系曲線。

圖8 定姿態工作空間體積隨φ的變化(不考慮約束)Fig.8 Changes of Vφ with φ (without constraints)

由圖8可知：①對(3CRR/R)&CRRR降耦機構，全工作空間轉動能力保持不變，即工作空間內所有位置點的轉動能力一致，工作空間體積達1.11×107mm3。②對于Quadrupteron機構，在姿態角為0°時，定姿態工作空間體積達最大，Vφmax=8.33×106mm3；當姿態角接近±90°時，定姿態工作空間體積最小，Vφmin=4.95×106mm3；其最小、最大工作空間體積降幅達40%以上，與文獻[21]的結論一致。因此，降耦機構的定姿態工作空間體積及轉動能力較Quadrupteron并聯機構都有顯著提升。

5.3 降耦機構的實際定姿態工作空間

圖9是考慮轉動副角度范圍限制時，降耦機構(3CRR/R)&CRRR定姿態工作空間體積隨末端輸出姿態φ的變化情況。由圖9可知：①考慮運動副轉角范圍限制后，降耦機構實際定姿態工作空間體積有所減小，可見，合理設計被動關節的安裝角，可提高并聯機構的工作空間。②降耦機構在初始姿態，即φ=0時，定姿態工作空間體積達最大，約為9.398×106mm3；隨著姿態角的增加，定姿態工作空間體積減小；當轉角接近±90°時，定姿態工作空間體積最小，為6.519×106mm3。故在考慮轉動約束的情況下，降耦機構定姿態工作空間體積的最大降幅達30%，小于Quadrupteron在理想狀態下最小、最大工作空間的降幅(大于40%)。這進一步表明，考慮轉動副角度范圍限制時，降耦機構的實際定姿態工作空間比Quadrupteron機構有較大改善。

圖9 (3CRR/R)&CRRR機構的Vφ與φ關系曲線(考慮約束)Fig.9 Relationship curve between Vφ with φ(with constraints)

6 結論

(1)通過運動副復合的方法，對Quadrupteron并聯機構進行降耦設計，提出了一種耦合度較低的3T1R新機型。

(2)該降耦機構具有輸出運動解耦特性，機構3個方向的移動輸出與3個輸入參數一一對應，而轉動姿態與其中2個輸入參數相關。

(3)機構結構簡單、運動學正反解方程更簡單，方便制造、控制。

(4)在(-90°,90°)輸出轉角范圍內，機構無內部奇異存在；且機構具有較大體積的規則工作空間，全工作空間內所有位置的轉動能力一致。

(5)該降耦機構克服了一般并聯機構耦合性強、控制復雜的弱點，轉動能力大幅度提高，具有較好的工業應用前景。