復雜約束下的編隊姿態有限時間協同控制方法

周 健，龔春林，粟 華，谷良賢

(1. 西北工業大學航天學院陜西省空天飛行器設計重點實驗室，西安 710072； 2. 中國兵器工業第203研究所，西安 710065)

0 引 言

多智能體系統(Multi-agent system，MAS)編隊協同控制問題是當前控制科學領域中的研究熱點，廣泛應用于無人機[1]、航天器[2]和水下機器人[3]等?，F有文獻中[4-7]，一/二階以及高階線性系統的協同控制問題得到了充分研究，然而針對航天器姿態系統而言，其動力學和運動學模型具有本質非線性特性[8]，使得許多針對線性MAS編隊的分析方法不再適用，特別是考慮復雜約束條件下的該問題變得異常復雜。

航天器編隊由于在軍事偵察、深空探測、環境監測、定位服務等領域的巨大優勢和廣闊前景,引起了專家和學者的高度重視，是航天科技領域中的重要研究方向[9-13]。與結構復雜、功能性強的單一大型航天器相比，中小型航天器編隊具有成本低、擴展性好、功能多樣、可靠性高的特點，且能夠完成復雜的空間任務。然而，在實際工程應用中，有些小型航天器因成本或體積結構限制無法實現對自身姿態的量測，最現實的辦法就是通過設計狀態觀測器或者輸出反饋控制器進行在線估計[14-15]。另一方面，當系統狀態不可量測與參數不確定性[16]、飽和控制[17]、外部擾動、有限時間控制[18]等因素耦合在一起時，就使得航天器編隊姿態協同控制問題變得極富挑戰性。因此，在復雜約束條件下如何設計高精度和強魯棒性的協同控制律[19-20]仍然是當前編隊協同控制研究的重點和難點問題。

本文首先建立了航天器相對姿態協同控制模型；在此基礎上，針對編隊姿態控制系統存在無角速度量測、外部擾動等約束條件，提出了一種有限時間姿態協同控制律；而后將該控制律推廣到更為復雜的約束條件下，通過將飽和輸入影響轉化為復合擾動，提出一種基于有限時間狀態觀測器估計的滑模姿態協同控制律，實現航天器編隊在復雜約束條件下的姿態協同控制。

1 問題描述

假設由n個航天器組成的編隊協同，其中編隊成員的姿態運動學和動力學方程表示如下[21]：

(1)

式中:Ji∈R3×3代表第i個航天器的轉動慣量矩陣，ui∈R3×3為控制力矩，di∈R3×3為外部擾動力矩，ωi∈R3×3為剛體本體坐標系下第i個航天器的角速度，qi∈R3×3表示描述航天器姿態的修正羅德里格斯參數，其定義為：

式中:ρi和φi分別代表第i個航天器的歐拉軸和歐拉角。符號×表示斜對稱矩陣運算，其定義為：

(2)

式中:Ei∈R3×3為雅克比矩陣[22]。

根據上面定義，式(1)可以轉換為：

(3)

且滿足以下假設：

其中，c0是給定的正數。

2 有限時間滑模姿態控制協議

2.1 姿態誤差追蹤系統

為了便于后續分析，這里引入兩類中間變量：絕對姿態誤差和相對姿態誤差。其中絕對姿態誤差指第i個航天器與期望狀態的差值，定義如下：

將上述方程代入到姿態動力學系統(3)，得到姿態追蹤誤差系統：

(4)

將式(4)寫成向量形式：

(5)

式中:

另一方面，姿態相對誤差定義為：

(6)

此外，令αi1,αi2,αi3∈R3為第i個航天器的耦合追蹤誤差，定義如下：

式中:aij為編隊權重連接矩陣A的元素。

注意到：

式中:lij為Laplacian矩陣L的元素。

耦合追蹤誤差αi1,αi2和αi3可寫成如下形式：

(7)

式(7)可寫成向量形式：

(8)

式中:

M=(L+B)?I3∈R3n×3n,B=diag(b1,…,bn)

(9)

引入滑模變量si=δαi1+αi2，其中δ為正值。對變量si兩側求導：

(10)

將式(10)寫成向量形式：

(11)

2.2 控制協議設計及穩定性分析

基于上述滑模變量，提出如下分布式滑模姿態控制協議：

(12)

由上述定義很容易得出，魯棒控制項ψi滿足如下不等式：

(13)

在給出穩定性條件之前，引入一滑模觀測器來估計未知量。

(14)

上述滑模觀測器的有限時間估計性質可由下面的性質給出。

這里，Δ為任意給定的正數。

以下定理給出了滑模姿態控制律(12)的穩定性。

定理1.考慮非線性觀測器(14)和滑模姿態控制律(12)，當系統滿足假設1時，滑模變量s在有限時間內收斂到有界域內。

證.考慮如下Lyapunov函數：

(15)

沿著式(11)對Lyapunov函數兩側求導可得：

(16)

另一方面，系統非線性項fi滿足：

(17)

式中：

上述不等式可寫成下面兩種形式：

(18)

(19)

對于方程(18)，當條件c1-c2/V>0成立時，系統可在有限時間T2a內實現穩定，即Lyapunov函數在有限時間內滿足V≤c3/c1。那么，滑模變量s也將收斂到有界域內：

(20)

對于方程(19)，當條件滿足c2-c3/V(1+α)/2>0成立時，系統可在有限時間T2b實現穩定，即Lyapunov函數滿足V≤(c3/c2)2/(1+α)。那么，滑模變量s將在有限時間內收斂到有界域內：

(21)

結論得證。

3 飽和輸入條件下的控制協議

本文針對編隊追蹤姿態控制系統(1)提出了考慮飽和輸入的有限時間姿態協同控制協議。系統飽和輸入控制器如下所示：

(22)

式中:vrik為控制輸入量；umax,i和umin,i分別為未知的飽和控制器上下界參數，且有umin,i≠umax,i。

考慮未知非對稱飽和控制器的影響，姿態控制方程(1)可寫成如下形式：

(23)

(24)

考慮方程(24)和(5)，得到：

(25)

為了有效估計復合擾動Di，將文獻[25]中的有限時間觀測器修正為：

(26)

(27)

這里，0<α<1,ki1,ki2>0。

基于上述設計分析，飽和輸入條件下編隊姿態追蹤控制系統的收斂性能可由以下定理給出。

定理2.對于編隊追蹤姿態控制系統(1)，考慮受到外部擾動、飽和輸入以及角速度不可量測等約束條件的影響，有限時間狀態觀測器形如式(26)，則在滑?？刂茀f議(27)的作用下，編隊姿態追蹤誤差將在有限時間內收斂到有界域內。

證.參考文獻[25]的定理1。

對于式(1)，飽和輸入的影響被轉化成復合擾動的一部分，并通過有限時間狀態觀測器(26)估計。至此，將問題轉化為受到外部擾動條件下的姿態追蹤系統的穩定性問題。

4 仿真校驗

選取六個航天器和一個虛擬領航者組成的編隊姿控系統，其通信拓撲如圖1所示。

編隊的權重連接矩陣A和B定義如下：

參考文獻[26],假如航天器慣性矩陣取值為：

航天器初始狀態(角度和角速度)取值如下：

假設編隊領航者期望姿態為：

假定各航天器控制器控制參數均相同：

umin,i=5,umax,i=10,ki=2
α1=0.8,α2=0.6,α3=0.4
β1=1.25,β2=1.05,β3=0.65

仿真結果如圖2、圖8所示。圖2為控制輸入曲線隨時間的變化情況。圖3、圖4為角速度和滑模變量隨時間的變化曲線。圖5、圖6為角速度和姿態的觀測誤差隨時間的變化曲線。圖7、圖8為角速度和姿態的跟蹤誤差隨時間的變化曲線。由圖2～8可知，各航天器姿態在有限時間內趨近于期望姿態附近，因此可實現復雜約束條件下的編隊姿態協同控制。

5 結 論

本文研究了復雜約束條件下的航天器編隊姿態有限時間協同控制問題，提出了一種有限時間狀態觀測器；基于觀測器輸出設計了滑模姿態協同控制律，并通過Lyapunov函數證明了控制器的有限時間穩定性；針對存在飽和輸入條件下的姿態協同控制問題進一步研究，將飽和輸入影響轉化為復合擾動，以利用前述方法進行姿態協同控制；最后通過數值仿真校驗了控制器的有效性。結果表明，本文所設計的控制器能夠滿足姿態有限時間協同要求，且支持更為復雜的約束條件，有效地拓展了其應用范圍。