基于內阻法修正的蓄電池卡爾曼濾波SOC估算

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(陸軍工程大學石家莊校區 車輛與電氣工程系,石家莊 050000)

0 引言

卡爾曼濾波算法自身能不斷修正蓄電池荷電狀態的偏差，具有較高的估算精度，并且算法構建簡單，在SOC估算中得到廣泛應用，但是初始SOC誤差較大會影響前期收斂性。如果當實際過程噪聲和測量噪聲大于設定噪聲時，較大偏差的SOC初值還能引起濾波發散。針對上述問題，文獻[1]提出Hermit插值函數的方法，通過直接建立開路電壓與SOC模型，使電壓值均勻分布在插值函數附近，用插值電壓估計值的SOC替換相應的卡爾曼濾波關系曲線中SOC，該方法在于融合卡爾曼濾波和開路電壓法，但忽略開路電壓法耗時較長的問題；文獻[2]提出開路電壓與SOC模型的擬合函數預測初始SOC值，預測方法雖能避免開路電壓法的測量時長問題，但是忽略電壓充放電初期參數變化較大導致初始值預期精確度較差的問題。文獻[3]中說明了SOC初始值由開路電壓法估算不準確的原因在于電池具有自恢復效應，需要靜置較長時間才能消除該效應的影響，得到準確度較高的SOC估計值，通過卡爾曼濾波方法能修正不準確帶來的誤差，該方法只說明卡爾曼濾波算法在整個充放電過程對不準確性帶來的誤差的修正，并沒有考慮在短期內這種誤差對卡爾曼濾波算法估算的影響。

基于上述參考文獻分析，本文通過對實驗所得數據分析，對電壓、電流和內阻關鍵參數與SOC關聯度進行比較，實現對關鍵信息重要度篩選，用關聯度最高的內阻法修正的初始SOC作為卡爾曼濾波起始值，并將關聯度較低的電壓法估計的初始SOC也作為卡爾曼濾波估計起始值，通過對比分析驗證不同方法對擴展卡爾曼濾波算法的整體估算精度的影響。

1 基于灰色關聯模型的內阻關聯度驗證

灰色關聯分析是一種多因素統計分析方法，按照因素間強弱和大小確定因素和整體的關系。該方法基于各因素的時間序列，如果各因素時間序列的幾何形狀越接近，其對應的關聯程度越高。目前，該模型廣泛用于工程技術、農業、環境和經濟等領域的各種不同系統中，用于系統分析、評估、建模、預測和設備故障診斷和識別。其中在蓄電池參數分析領域，文獻[4]將灰色關聯分析模型用于內阻、電流和電壓的SOC關聯程度的研究，將研究結果作為一項重要理論依據支撐其后續的內阻隨著電流、溫度等參數變化的性能分析。本文也采用灰色關聯模型用于內阻與電壓對SOC關聯程度的研究。

1.1 灰色關聯模型建立

標準灰色關聯模型構建步驟如下所示。首先選取分析數據，組成個數列。

(1)

其中：n是時間序列取樣點的個數。然后選定參考數據列x0，記作：

x0=(x0,x1,…,xm)

(2)

將選定矩陣與參考矩陣相除，得到：

(3)

(4)

然后依次計算每個被評價對象指標序列與參考序列對應元素的絕對差值：

Δi(k)=|x'0(k)-x'i(k)|,i=0,1,…,m;k=1,2,…,n

(5)

計算出最大絕對差值與最小絕對差值:

(6)

(7)

計算關聯系數：

(8)

最后計算關聯度：

(9)

1.2 基于灰色關聯模型的蓄電池參數分析

蓄電池基本參數有電壓、電流和內阻。本文采用艾德克斯(ITECH)IT-B1004充放電測試系統對6-QW-120b蓄電池進行放電測試，使用BT3563電池測試儀對電壓、內阻參數測量。其中放電電流I=30 A,當電壓低于最低工作電壓時停止放電，部分測試數據如表1所示。

結合表1數據，用灰色關聯模型分析篩選與SOC的穩定性和關聯度最高的參數。其中SOC、電阻、電壓和電流組成4個數列，即m=4。將0～50 min的30組數據作為采樣點數，即n=30。把SOC隨時間變化的序列作為選定參考數據x0，x0=(100，96.72，93.44，90.16，86.89，83.61,81.97,78.69,75.41,72.13,68.85,65.57,62.30,59.02,55.74,52.46,49.18,40.98,32.79,24.59)

表1 電池放電部分數據

再將電阻、電流和電壓隨時間變化序列分別作為x1、x2、x3，分別為：

x1=(3.47,3.46,3.48,3.51,3.52,3.54,3.57,3.59,3.61,3.66,3.68,3.70,3.75,3.77,3.80,3.83,3.90,4.01,4.09,4.20)；x2=(30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30)；

x3=(12.585,11.783,11.778,11.759,11.741,11.727,11.713,11.699,11.686,11.674,11.661,11.638,11.634,11.621,11.607,11.593,11.555,11.514,11.466,11.413)；

其中ρ為分辨系數，由人為設定，通常情況取0.5。最后得到r為灰色關聯計算值，r越大，其對應參數序列與SOC相關度值越高，變化規律更符合SOC變化曲線。

同理，為了驗證放電初期各參數與SOC變化序列，將0-4分鐘的3組數據作為采樣點數，即n=3。

x1=(3.47,3.46,3.48)；

x2=(30,30,30)

x3=(12.585,11.783,11.778)

SOC、電阻、電壓和電流組成4個數列，即m=4，ρ仍取0.5，代入灰色關聯模型得到各參數與SOC初期相關度值。為了直觀表示各參數序列相關度值的變化趨勢，不同計算結果由圖1表示。

圖1 放電初期和完整放電相關度曲線

由圖1可知，完整數據下，電阻序列相關度值0.6734，電壓相關度值0.6550，而電流相關度值0.6508，電流序列參數恒定，為0.68 A。電阻和電壓序列都相關度值都大于恒定參數電流序列，數據說明電壓與內阻可以作為荷電狀態估計的主要參考依據；在前三組數據下，電阻序列相關度值0.5659，電壓相關度值0.5409，而電流相關度值0.5556，電壓參數序列相關度值低于恒定電流參數，說明放電初期電壓相較于電阻存在劇烈變化，且變化趨勢與SOC不一致。綜上所述，內阻更適合作為初期電池荷電狀態的主要參考因數，而電壓作為次要參考因數，為后文的內阻法修正初始SOC估計方法奠定基礎。

2 電池卡爾曼濾波模型及參數確定

2.1 電池模型建立

基于卡爾曼濾波SOC估計需要建立電池等效電路模型，目前常用的電池模型包括Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型以及Randles模型，其中這4種等效電路模型中，Rint模型結構最簡單，復雜度最低，而Randles模型結構復雜，但具有較高精度，而其余兩種等效代電路模型復雜度適中，精度也適中。因此本文采用二階RC的Randles等效電路模型，它具有結構簡單，物理意義清晰和較好的靜動態特性的優點，其中模型的等效電路如圖2所示。

圖2 電池二階等效電路模型

其中:R0為歐姆內阻，R1、R2、C1、C2分別為電池極化內阻和極化電容，Uoc為開路電壓，Ut為端電壓，It為端電流。

基于等效電路模型可以得到如下數學關系式：

(10)

由上述關系式可知R1、R2、C1、C2可以用來模擬電池極化的動態特性，端電壓和電流的關系可以反映電池充放電具體進行過程。

而針對電池SOC的估算，可以通過安時積分法得到：

(11)

其中：Q為電池標定容量，η為庫倫系數，用安時法對t0到t時刻電池電流It積分，然后用庫倫系數η修正，與初始狀態SOC相加即可得到此時的SOC估計值。因為是積分過程，可知初始狀態SOC的準確估計對后續SOC估計具有重要影響。

根據上文電池等效電路模型的數學推導，可以實現電池的狀態空間模型的建立：

(12)

其中：τ1=R1C1；τ2=R2C2；狀態變量xk=[S(k)u1(k)u2(k)]；控制變量uk=It(k)；觀測變量yk=ut(k)；系統噪聲wk=[w1(k)w2(k)w3(k)]；協方差為Q；觀測噪聲vk；協方差為R。

2.2 模型參數確定及初始SOC預測

本文選用風帆公司型號為6-Q-120b的蓄電池進行實驗，實驗溫度22°，先將蓄電池充滿電后靜置1 h,前30 min每隔2 min測量并記錄電池端電壓和內阻，后面每5 min記錄一次。具體數據如表1所示，其中需要辨識的參數包括歐姆內阻R0，極化內阻R1、R2，極化電容C1、C2，電壓-SOC曲線，電阻-SOC曲線。

歐姆內阻R0由BT3563測得，實驗測得值如下，然后取其平均值，值為3.707 mΩ。

圖3 歐姆內阻辨識曲線

由Ut=Uoc-Ite-T/τ1-Ite-T/τ2R0，代入表1數據及R0值，通過origin軟件擬合曲線功能可得：R1為0.616，C1為0.4733，R2為0.3517，C2為0.8308，上述模型擬合值能很好擬合已做實驗數據。又將實驗測得離散數據擬合成電壓-SOC曲線，電阻-SOC曲線如圖4所示。

圖4 電阻-SOC曲線和電壓-SOC擬合曲線

可見電阻-SOC曲線擬合很好，電壓-SOC曲線在部分點有較好擬合，在放電初期，電阻-SOC曲線精度相較于電壓-SOC曲線高，即測量任意點電阻值，都有對應的SOC估計值，而電壓值對應的SOC誤差較大。電壓對應SOC估計誤差較大，這是由于放電初期電池具有自恢復過程，而電阻對應SOC估計誤差較小，因為這個自恢復過程對電阻的影響因數較小，因此電阻參數對應的SOC相關性更好，因此采用內阻法對SOC初始值估算具有較好可行性。

2.3 基于擴展卡爾曼濾波算法SOC估算

擴展卡爾曼濾波采用最小誤差思想，對于非線性系統濾波，將非線性系統轉化為近似的線性濾波。該方法的優點是克服傳感器精度不足的問題和修正SOC初始值。在擴展卡爾曼濾波動態觀測模型中，電池充放電電流為系統輸入量，電池電壓為系統輸出量，電池SOC為狀態變量。通過算法對每一個采樣點的電池性能進行采集，然后分析采集信息得到此時狀態變量，并結合上一時刻狀態變量得到輸出狀態變量和輸出量的更新。可知卡爾曼濾波在動態估算中這種結合上一時刻的方式能很好預估-校正，因此具有很強的修正能力，能較好解決安時積分法帶來的電池測量誤差積累影響SOC估算結果的問題，也對SOC初值結果不精確帶來的估算誤差有一定修正。

擴展卡爾曼濾波狀態方程：

x(k)=Ax(k-1)+Bu(k-1)+w(k-1)

(13)

z(k)=Cx(k)+v(k)

(14)

狀態遞推后協方差矩陣：

P(k)*=AP(k-1)AT+Q(k-1)

(15)

擴展卡爾曼濾波增益：

K(k)=P(k)*C(k)T(C(k)P(k)*C(k)T+R(k))-1

(16)

擴展卡爾曼濾波修正狀態向量和協方差矩陣：

x(k)=x(k)*+K(k)(z(k)-Cx(k)*)

(17)

P(k)=(I-K(k)C(k))P(k)*

(18)

其中:R(k)為觀測噪聲協方差矩陣，I為單位矩陣，P(k)為狀態變量x的上一時刻和這一時刻的協方差。K(k)為權重值，代表電壓測量值在SOC修正過程中的比值，當初始值與狀態變量誤差較大時，K(k)權重較大，它的準確性直接影響收斂精度，這需要一個準確的初始預測值。

3 結果驗證和仿真分析

本文通過單體電池放電靜置一段時間充電，來驗證估計結果正確性。實驗數據通過充放電測試平臺，首先將蓄電池充滿電，然后恒流放電，放電至終止電壓。在靜置一段時間后，又恒流充電。其中初始放電時SOC估計如下表2和表3所示，為了使結果更精確，將初始電壓估計SOC方法中10 min靜置所應的SOC估算值設定為標準值，同理，將初始電阻對應SOC方法中10 min靜置所對應SOC估算值設定為標準值。

表2 初始電壓與SOC估計誤差

表3 初始電阻與SOC估計誤差

由上述關系可知，對于開路電壓法估計SOC需要靜置較長才能獲得較為準確的初始SOC值，不然會產生較大的估計誤差，而電阻在較短的靜置時間內，SOC的估算誤差較少，這不僅與估算過程中靜置手段有關系，還與相應參數對SOC的內部相關性有關，說明相關性較高參數能獲得更為準確的估算結果。

然后將初始估計的SOC代入擴展卡爾曼濾波算法，利用仿真搭建的模型進行驗證，對實測值和仿真值對比分析，如圖5所示。其中參考曲線為默認為充滿電后初始SOC值為100，而將靜置5 min中的初始電壓估計SOC和初始電阻估計SOC分別代入算法，可知初始電阻對應SOC值94更接近滿電狀態的SOC值100。然后進行擴展卡爾曼濾波SOC估計實驗，結果如圖5所示。

圖5 不同修正方式的擴展卡爾曼濾波曲線

從圖5中可知，在估計初始階段，內阻修正的曲線比電壓修正曲線更接近參考SOC曲線，有更好的收斂性，提高了整體估算精度，驗證了灰色關聯法中內阻比電壓有更高的相關性。而隨著仿真的進行，擴展卡爾曼濾波算法對初始誤差的修正作用有很好顯現，能較好估計SOC的變化，修正測量過程中的估算誤差。但是針對短期內，比如初始值估算誤差附近的SOC估算，即圖5中0～500 s范圍內的估算，內阻修正法的SOC估算有更好的精度和收斂性。

4 結論

本文基于灰色關聯度法分析電阻和電壓參數的相關性，通過具體擴展卡爾曼濾波算法驗證電阻和電壓兩種序列參數初始SOC估計值對擴展卡爾曼濾波的影響，通過SOC輸出曲線可知兩種方法都能很好跟蹤SOC的變化，其中內阻修正曲線在初始階段有更高的收斂性，更接近參考SOC變化曲線，不僅加快了估算速度，還能提高整體的估算精度，有助于改善初始值偏差導致SOC估算誤差的問題。具體而言，通過本文可得：

1)結合充放電實驗數據，采用灰色關聯法分析得到數據，可知在本次實驗中，內阻相較于電壓，與SOC有更高的關聯度。

2)在內阻與SOC具有更高關聯度的基礎上，通過初始狀態下靜置不同時間來驗證實驗數據中內阻和電壓兩種參數對初始SOC估算準確度，可知電壓的測量受到電池自恢復過程影響較大，估計的SOC誤差大。但在相同靜置時間基礎上，內阻法估計較電壓法更接近初始SOC值，說明電壓法在充放電初期變化幅度更大，較不穩定。

3)基于內阻法修正和開路電壓法兩種擴展卡爾曼濾波的SOC估計可知，在整個估計過程中，兩種方法具有相似結果，充分說明卡爾曼濾波對測量過程中誤差的修正作用，但在0～500 s的估算過程中，內阻法具有更高的估算精度和收斂性。