三角形中長度計算的幾個視角

杜曉娟

[摘? ?要]三角形中邊長和角度的計算是高考數學的常見題型.文章立足高考題研究三角形中長度計算的方法，以提高學生的解題能力.

[關鍵詞]三角形;長度;計算

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）35-0010-02

三角形是數學的最基本的幾何圖形，解三角形是高中數學的基本內容，也是高考數學的必考點之一.三角形中邊長和角度的計算是最常見的題型.

例如，2017年普通高等學校招生全國統一考試（新課標卷Ⅲ）第17題的第一問：[△ABC]的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知[sinA+3cosA=0]，[a=27]，[b=2]，求[c].

一、解三角形視角

方法一：由[sinA+3cosA=0]得[tanA=-3]，[A=2π3];再由[cosA=b2+c2-a22bc]得[-12=4+c2-284c]，化成[c2+2c-24=0]，解得[c=4]或[c=-6]（舍）.

評注：在三角形中已知兩條邊和一個角度的條件下，應用余弦定理建立了邊c的方程，通過解方程得到了邊c的值.角度C的尋求還可以用[sinA+3cosA=2sinA+π3=0]或[sinA+3cosA=2cosA-π6=0]求得.這是當年評分標準中給出的方法.

方法二：由方法一知[A=2π3]，由[asinA=bsinB]得

[sinB=basinA=227×32=2114] .

∵角B是銳角，∴[cosB=5714].

[sinC=sin（A+B）=32×5714+-12×2114=217? ?].

化[asinA=csinC]得[c=asinCsinA=27×21732=4].

評注：應用兩角和的三角公式和正弦定理求出三角形的角度，體現了角度運算公式在求角度過程中的工具性.

方法三：如圖2所示，過A作AF⊥BC于F，[AF=ACsinC=2217]，在Rt△AFB中，[AB=AFsinB=22172114=4].

∴[c=4].

評注：這是所有方法中最簡單的方法，求出角B后可以在直角三角形中直接求出邊c.

方法四：如圖2所示，在Rt△AFC中，[AF=2217]，[CF=4-22172=477]，在Rt△AFB中，[BF=BC-CF=1077]，[AB=AF2-FB2=4].

∴[c=4].

評注：通過幾個三角形元素之間的轉換，用勾股定理解直角三角形求出了邊c.

二、等面積視角

方法五：如圖2所示，△ABC的面積[S△ABC=12BC×AF=12AC×ABsinA]，即

[2c×32=2217×27]，∴[c=4].

評注：三角形的面積是由邊長和角度來表示的，這種方法用三角形面積兩種表達方式建立了邊c的方程，通過解方程求出邊c.

三、坐標視角

方法六：如圖3所示建立直角坐標系，在△ABC中，∠CAB=[2π3]，∠xAB=[π3]，C（-2，0），直線AB所在直線方程為y=[3x].

設B（[x]，[3x]），由[BC=27]得[（x+2）2+（3x）2] [=28] ，解得[x=2]，[x=-3（舍）] ， B （2，[23]），∴[AB=4]，即[c=4] .

方法七：如圖3所示的直角坐標系中，[sinC=217]，∵角C是銳角，[cosC=277]，[tanC=32]，C（-2，0），[∠xAB=π3]，直線AB所在直線方程為y=[3x]，直線BC所在直線方程為y=[32（x+2）]，

由方程組[y=32（x+2） ，y=3x ，]解得[x=2 ，y=23 ，]

∴B（2，[23]），∴[AB=4]，即[c=4].

評注：長度計算是解析幾何的基本問題，利用三角形邊所在直線方程找到端點坐標，很容易得到長度.

四、相似比策略

方法八：如圖4所示，過B作BH⊥CA延長線于H，在Rt△CAD中，[cosC=277]，[CD=AC277=2277=7]，[AD=CD2-AC2=23CD2-AC2=23]，∴D是BC的中點，△BEC∽△DAC，[BE=23]，在Rt△BAE中∠BAE=[π3]，[AB=c]，[AE=c2]，∴[（23）2+c22=c2]，∴[c=4].

評注：受AD⊥AC的啟發，過B作BH垂直于CA延長線于H，把AB放到了Rt△BAE中，在Rt△CAD中通過計算CD長度得到了兩個三角形的相似比，在Rt△BAE中得到c的邊長.

通過這道經典高考題，把三角公式、三角形的面積、正弦定理、余弦定理、勾股定理等連接三角形邊和角的基本工具從記憶中提取出來，賦予了一道普通解三角形問題十分經典的意義，經歷了從不同角度尋求分析問題和解決問題的過程，發揮出了它的最大作用.從不同的角度思考和分析同一道題目，得到不同的解題方法，通過變式融會貫通問題所涉及的知識和方法，有利于培養學生的思維能力，有助于提高課堂教學效率.

（責任編輯 黃桂堅）