一元三次函數的探究及應用

蔡娟

[摘? ?要]一元三次函數問題是近年高考命題的一個熱點.深入研究一元三次函數的特殊性質非常重要，能有利于教師從理論上指導學生解題實踐.

[關鍵詞]一元三次函數;探究;應用

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）35-0011-02

加強對一元三次函數的圖像與性質的研究，可厘清一元三次函數的內在規律，有利于教師從理論上指導學生的解題實踐.

一、借助導數，探究一元三次函數的特性

一元三次函數[f（x）=ax3+bx2+cx+da≠0]的導函數為[f '（x）=3ax2+2bx+c]，方程[f '（x）=0]的判別式[Δ=4b2-12ac].當[Δ>0]時，設二次方程[f '（x）=0]的兩根為[x1，x2]（其中[x1

1.探究一元三次函數的單調性

先研究[a>0]時的情形.①當[Δ<0]時，因為[f '（x）>0x∈R]，所以[f（x）]在[R]上單調遞增;②當[Δ=0]時，因為[f '（x）>0x≠-b3a]，又因為函數[f（x）]在點[x=-b3a]處連續，所以函數[f（x）]在[R]上單調遞增;③當[Δ>0]時，易知隨[x]變化，[f '（x）]及[f（x）]的變化情況如表1.

接下來，再研究[a<0]時的情形.①當[Δ<0]時，因為[f '（x）<0x∈R]，所以[f（x）]在[R]上單調遞減;②當[Δ=0]時，因為[f '（x）<0x≠-b3a]，又因為[f（x）]在點[x=-b3a]處連續，所以[f（x）]在[R]上單調遞減;③當[Δ>0]時，易知隨[x]變化，[f '（x）]及[f（x）]的變化情況如表2 .

綜上，易知一元三次函數[f（x）=ax3+bx2+cx+da≠0]在[R]上遞增[?a>0Δ≤0];在[R]上遞減[?a<0Δ≤0];有極大、極小值[?Δ>0].

2.探究一元三次函數的圖像

在明確單調性的基礎上，我們可迅速作出函數[f（x）]的大致圖像（若運用幾何畫板軟件，則可作出較為準確的圖像）.當[a>0]時，若[Δ>0]，如圖1;若[Δ≤0]，如圖2.當[a<0]時，若[Δ>0]，如圖3;若[Δ≤0]，如圖4.

3.探究一元三次函數的對稱中心（即“拐點”）

先給出函數的“拐點”定義：設[f ′（x）（x）]是[y=f（x）]的導函數，[f ″（x）]是[f ′（x）]的導函數，如果方程[f ″（x）=0]有實數解[x0]，那么點[（x0 ，? f（x0））]就是函數[y=f（x）]的拐點.

進一步探究可知，任何一個一元三次函數[f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）]都有“拐點”，且該“拐點”就是這個一元三次函數的對稱中心.

二、應用一元三次函數的特性解題

1.根據一元三次函數的圖像特征，求解開區間上的最值問題

[例1]已知一元三次函數[f（x）=x3-3x2+1]在[（a2-16，a）]上有最大值，求實數[a]的取值范圍.

解析：因為[f 'x=3x2-6x=3xx-2]，所以令[f 'x>0]，則[x<0]或[x>2];令[f 'x<0]，則[0

2.根據三次函數的零點特征，求解函數零點唯一問題

[例2]已知函數[f（x）=ax3-3x2+1]，若[f（x）]存在唯一的零點[x0]，且[x0>0]，則[a]的取值范圍是（）.

A. [（2，+∞）] ? ? ? ? B. [（1，+∞）]

C. [（-∞，-2）] ? ? ? D. [（-∞，-1）]

解析：易知[a≠0]，所以[f（x）]為一元三次函數.因為[f '（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）]，所以方程[f '（x）=0]的根為[x1=0，x2=2a] .如圖6所示，畫出函數[f（x）]的大致圖像，結合題意可知[a<0 ，f2a>0 ，]即[a<0，8a2-3×4a2+1>0 ，]

解得[a<-2].故選C.

3.根據三次函數的極值特征，求解滿足的條件

[例3]下列條件中，使得一元三次方程[x3+ax+b=0]（a，b均為實數）有且僅有一個實根的是 .

①[a=-3，b=-3];②[a=-3，b=2];③[a=-3，b>2];④[a=0，b=2];⑤[a=1，b=2].

解析：設函數[f（x）=x3+ax+b]，則[f '（x）=3x2+a]，對應[Δ=-12a].當[a=-3]時，由[Δ>0]結合函數[f（x）]的圖像，易知兩個極值點為[x=±1].對于①，由[f（-1）=-1<0， f（1）=-5<0]，可知方程[f（x）=0]有且僅有一個實根;對于②，由[f（-1）=4>0， f（1）=0]，可知方程[f（x）=0]只有兩個實根;對于③，由[f（-1）=2+b>0]，[f（1）=b-2>0]，可知方程[f（x）=0]有且僅有一個實根.

當[a=0]或[a=1]時，由[Δ≤0]可知函數[f（x）]在[R]上單調遞增，顯然方程[f（x）=0]有且僅有一個實根.

綜上，所有正確條件的編號是：①③④⑤.

4.根據三次函數的對稱中心巧解題

[例4]已知函數[f（x）=13x3-12x2+3x-512]，請根據函數[f（x）]的對稱中心，計算[f12019+f22019+f32019+f42019+…+f20182019]的值.

解析：因為[f ′（x）=x2-x+3]，所以[f ″（x）=2x-1]，所以由[f ″（x）=0]，即[2x-1=0]，解得[x=12].又[f12=13×123-12×122+3×12-512=1]，所以函數[f（x）]的對稱中心為[12 ，1] .于是，可得[f12+x+f12-x=2]，即[f（x）+f（1-x）=2].

從而 [f12019+f20182019=2]， [f22019+f20172019=2]， [f32019+f20162019=2]，…， [f10092019+f10102019=2].

故所求式的值為[1009×2=2018].

總之，應用一元三次函數的圖像與性質，有利于學生靈活分析、解決一元三次函數的相關問題，進一步提升學生直觀想象、數學運算的數學核心素養.

（責任編輯 黃桂堅）