借助繞定點旋轉分析巧解題

周桂群

[摘? ?要]將靜態問題放置到旋轉運動中加以分析，有利于從運動的角度對問題進行全方位的探究.靈活運用這種將靜態問題動態化的分析思想，有助于迅速解決問題.

[關鍵詞]定點;旋轉;解題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）35-0013-02

求解某些數學問題時，可靈活運用“繞定點旋轉分析”的技巧.該技巧是指將靜態問題放置到涉及動直線繞定點旋轉的動態中進行分析.這樣處理的優點是有利于從運動變換的角度對問題進行全方位的認識、探究.借助這種將靜態問題動態化的分析思想，可幫助我們迅速分析、解決問題.

類型一：求參數的取值范圍問題

處理簡單線性規劃中“根據含有參數的線性目標函數的最優解唯一，求參數的取值范圍”這類問題時，可靈活借助動直線繞定點旋轉分析技巧，構建不等式，迅速求解.

[例1]已知實數[x，y]滿足不等式組[x-y-2≤0 ，x+2y-5≥0 ，y-2≤0 ，]若目標函數[x=mx+y]當且僅當[x=3]，[y=1]時取得最小值，則實數[m]的取值范圍是 .

分析：將[z]看作“常量”，則由于動直線[y=-mx+z]的斜率是一個變量，所以需要結合圖形，根據動直線的斜率與可行域邊界直線的斜率的大小關系，構建關于實數[m]的不等式，從而順利求解目標問題.

解：如圖1所示，先畫出不等式組表示的可行域，由于可求得圖中點[A]的坐標為[（3，1）]，所以根據題意需要讓動直線[y=-mx+z]（將[z]看作常量）繞著定點[A]旋轉，易知實數[m]應滿足不等式[kAC<-m

又可求得[kAC=-12，kAB=1]，所以有[-12<-m<1]，化簡得[-1

評注：求解此類問題的關鍵是畫可行區域，旋轉動直線，準確構建不等式.構建不等式時，一定要注意不等式的表示形式（是二者之間，還是兩旁）以及不等式中有無等號.

類型二：求“斜率型”最值問題

根據[x，y]滿足的二元一次不等式組，求“斜率型”目標函數[z=y-bx-a]的最值的關鍵點是：①畫可行域——根據題設二元一次不等式組，可畫出兩個變量[x，y]滿足的可行域;②明確意義——[z=y-bx-a]表示定點[（a，b）]與可行域內的動點[（x，y）]所在直線的斜率.

[例2]若[x，y]滿足約束條件[y≤2x+1 ，x≤2 ，y≥-3x+2 ，]則[z=x+2y+11x+1]的最大值是____________.

分析：本題需要先對目標式做分離常數變形，轉化為具體的“斜率型”最值問題;然后畫可行域，根據相關解析幾何知識加以求解.

解：因為[z=x+2y+11x+1=1+2×y+5x+1]，所以令[z'=y+5x+1]，則有[z=1+2z'].

根據約束條件，可行域為如圖2所示的陰影部分的[△ABC]， 由[y=2x+1 ，y=-3x+2 ，]解得[x=15 ，y=75 ，]所以點B的坐標為[15 ，75] .因為[z'=y+5x+1]表示可行域內的動點[（x，y）]與定點[P（-1，-5）]所在直線的斜率，所以讓動直線繞著定點[P]旋轉，易知點[B]與定點[P（-1，-5）]連線的斜率最大.

于是，[z']的最大值為[75+515+1=163] .故所求[zmax=1+2×163=353].

評注：求解本題需要關注三點.一是對目標式[z=x+2y+11x+1]實施分離常數變形;二是充分利用代數式[y+5x+1]的幾何意義;三是靈活運用動直線繞定點旋轉分析技巧.

類型三：求直線與圓的綜合問題

處理直線與圓的綜合問題時，如果直線經過一個定點，那么可以讓該直線繞著定點進行旋轉，有利于結合圖形的動態變化去把握變化規律，以便順利求解目標問題.

[例3]已知邊長為2的正方形[ABCD]的對角線[AC，BD]相交于點[O]，動點[P]滿足[OP=1]，且[AP=mAB+nAD]，其中[m，n∈R]，則[2n+22m+1]的最小值為? ? ? ? ?.

分析：本題需要先畫出圖形，并建立平面直角坐標系，以便根據題設條件明確代數式[2n+22m+1]的幾何意義.運用數形結合思想，具體分析最小值情境，利用相關解析幾何知識進行適當計算，即可獲解.

解：由于本題涉及特殊圖形（正方形），所以可建立如圖3所示的平面直角坐標系[xAy]，則可知點[B（2，0）]，[D（0，2）]，從而根據[AP=mAB+nAD]，可求得點[P]的坐標為[（2m，2n）]，設點[M（-1，-2）]，則[2n+22m+1=kPM].又根據[OP=1]，可知點[P]的軌跡是以點[O（1，1）]為圓心且以1為半徑的圓.

于是，讓經過點[M]的且與圓[O]有公共點的直線繞著定點[M]進行旋轉，當該直線與圓[O]的右下方相切時（此時[P]為切點），直線[PM]的斜率取得最小值.

利用直線方程的點斜式，可設經過點[M（-1，-2）]的直線方程為[y+2=k（x+1）]，則由直線與圓相切可得[2k-3k2+1=1]，解得[k=6-233]或[k=6+233]（舍去），所以[kPM]的最小值為[6-233].故所求[2n+22m+1]的最小值為[6-233]，即[2-233].

評注：本題具有一定的綜合性，解題切入點是目標式的幾何意義，求解關鍵在于數形結合思想和“繞定點旋轉分析”技巧在處理相關最值問題中的靈活運用.

靈活運用繞定點旋轉分析技巧，可順利求解兩大類數學問題.一類是給定含參線性目標函數的最優解唯一問題;另一類是以圖形為載體，涉及直線斜率的最值問題.靜態問題“旋轉分析”，有利于結合動態變化，充分利用數形結合思想，巧思妙解.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 王紅娟，鄒生書.含有參數的線性規劃問題及其解法[J].中學數學研究（華南師范大學版），2019（5）：12-14.

[2]? 華文娜.2018年上海數學高考試題淺析[J].中學數學，2019（1）：35-36.

[3]? 魯和平.對高中數學“一題多解”教學的辯證思考[J].中學教研（數學），2019（5）：29-31.

（責任編輯 黃桂堅）