解決函數客觀壓軸題的良策

杜言言

[摘???要]探討函數客觀壓軸題的解題策略，以幫助學生領會函數壓軸題的背景、解法、立意等內涵，掌握函數壓軸題的思想方法與技巧，從而有效突破難點.

[關鍵詞]函數;壓軸題;性質;結論

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0023-02

在高考數學命題中，函數壓軸題往往以客觀題的形式出現，正因為是壓軸題，其難度不言而喻.數學解題，必須講究方法.方法得當，事半功倍.?那么解決函數客觀壓軸題有何良策呢？

一、善用性質，合理轉化

善于利用函數性質合理轉化是解決函數問題的關鍵，例如可將函數的單調性轉化為不等關系，函數的奇偶性轉化為恒等式，而對于函數的對稱性，可從函數f?（x）滿足f?（a+x）=?f?（b-x），得到其圖像的對稱軸x=?[a+b2];而從函數f?（x）滿足f?（a+x）+f?（b-x）=c，可得到其圖像的對稱中心是[a+b2，c2].

[例1]若函數y=f?（x）的定義域為R，并且滿足條件[fx+32=-f（x）]，又知函數[y=fx-34]是奇函數，則給出下面四個命題，其中是真命題的序號為___________.

①函數f?（x）是以3為周期的周期函數;?②函數f?（x）的圖像的對稱中心是[-34，0];③函數f?（x）在定義域R上是偶函數;④函數f?（x）在定義域R上單調.

解析：因為f?（x+3）=f?[x+32+32]?=-[fx+32]?=f?（x），所以函數f?（x）是周期函數，且它的周期為3，故①正確;因為函數[fx-34]是奇函數，它的圖像的對稱中心為[0，0]，所以f?（x）圖像的對稱中心是[-34?，0]，故②正確;由于f?（x）圖像的對稱中心是[-34，0]，-[34=-x+-32+x2]，故f?[-x=]-f?[-32+x]?，又[f-32+x]=[-f-32+x+32=-fx]，所以f?[-x]=f?[x]，故③正確;因為f?（x）在R上是偶函數，所以它不可能單調，故④錯誤.于是可得真命題的序號為①②③.

二、妙用結論，如虎添翼

給出最值函數的定義：若a，b?[∈R]，則min[a，b]=[a，a≤bb，ba].對于某些最值問題，巧妙運用性質“（1）?min[a，b≤a+b2≤maxa，b]?”和“（2）[mina，b≤]?[ab≤maxa，b]（a>0，b>0）”，可讓解題如虎添翼，快速獲解.

[例2]設max?[a，b]?=?[a，a≥bb，b>a]，若向量a，[b]，[c]滿足?|[a]|=1，|[b]|=2，[a]·[b]=0，[c]=λ[a]+μ[b]?（λ，μ都是非負數，且[λ]+[μ=1]），則當max?[c·a，c·b]取最小值時，|[c]|=（）.

A.?[255]??????????????B.??[223]???????????C.?1 ? D.?[52]

解析：如圖1，設[OA=a]，[OB=b]，?則a=?[1，0?，b=0，2]，[∴λ≥0，μ≥]0，[λ+μ=1，∴0≤λ≤1].又[c=λa+μb]，[∴c·a=（λa+b-λb）·a=λ];[c·b=（λa+b-λb）·b=4-4λ].由[λ=4-4λ]，得[λ=45]?.

[∴maxc·a，c·b]=[λ，45≤λ≤1，4-4λ，0≤λ<45.]令[fλ]?=[λ，45≤λ≤1，4-4λ，0≤λ<45?，]則?[fλ]?[∈?][45，4?].?∴[fλ][min]=?[45]，此時?[λ=45]，[μ]=?[15]，?[∴]c?=[45]a+[15]b=[45，25]，∴|?c?|=[452+252]=[255].??選A.

三、合理拆分，參變分離

若一個方程或不等式由幾個基本初等函數組成，當整體處理有困難或難度較大時，可嘗試采用拆分函數的方法去解決.實際上，參變分離是拆分函數的一種特殊情況，參變分離較多運用在帶參數的二次方程或不等式中，而拆分函數則有更大的運用范圍.

[例3]已知函數f?[x]=xlnx?-?ae[x]?（e為自然對數的底數）有兩個極值點，則實數a的取值范圍是?????????????.

解析：由題易知?f?[′][x]=1+lnx?-?ae[x]，令f?[′][x]?=0，得a=[1+lnxex]，函數f?（x）有兩個極值點，則需f′（x）=0有兩個實數根，等價于a=[1+lnxex]有兩個實數根，等價于直線y=a與y=[1+lnxex]的圖像有兩個交點.令g（x）=[1+lnxex]，則g′（x）=[1x-1-lnxex]，令h（x）=[1x]-1-ln?x（x>0），得h（x）在（0，+∞）上為減函數，且h（1）=0，所以當x∈（0，1）時，h（x）>0，故g′（x）>0，g（x）為增函數;當x∈（1，+∞）時，h（x）<0，故g′（x）<0，g（x）為減函數，所以????g（x）max=g（1）=?[1e]，又當x?→?+∞時，???g（x）→0，所以g（x）的圖像如圖2所示，故0?

評注：將原函數拆分為兩個函數，一靜一動，在動態變化中，可找到參數的取值范圍，這種解法離不開函數圖像.

四、構造函數，修橋筑路

構造函數是數學的一種重要思想方法，它體現了數學的發現、類比、化歸、猜想、實驗和歸納等思想.構造函數的主要步驟：

（1）分析：分析已知條件，聯想函數模型;（2）構造：構造輔助函數，轉化問題本質;（3）回歸：解析所構函數，回歸所求問題.在客觀題中，主要用于比較兩式大小和解不等式.

[例4]已知定義在R上的可導函數f?[x]的導函數為[f???′x]，滿足[f???′x]?

解析：∵f?（x+2）為偶函數，∴f?（x+2）的圖像關于x=0對稱，∴[fx]的圖像關于x=2對稱，∴f?（4）=?f?（0）=1.

設g?[x]?=?[fxex]（x∈R），則[g′x]?=?[f?′xex-fxexex2=f?′x-fxex]，又∵[f?′x<][fx]，∴[g′x]?

∵[fx<][ex][？]?g?[x]?=?[fxex]?<1，而g[0]?=?[f0e0]?=1，

∴[fx<][ex][？]g?[x]0.

所以原不等式的解集是[x|x>0].

評注：在解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，可設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，用函數的觀點加以分析，從而找到科學的解題途徑.

[??參???考???文???獻??]

[1]??顧德成，徐小琴.一道高考函數壓軸題的多角度分析[J].數學教學通訊，2019（9）：80-82.

[2]??石禮標.一類高考壓軸題的本質探源：高觀點探究函數不等式問題[J].高中數學教與學，2018（9）：36-38.

（特約編輯???安???平）