數(shù)列模型的實際應(yīng)用分類解析

黃寧

[摘???要]從四個方面分析數(shù)列模型在解決實際應(yīng)用題中的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)列模型解決實際生活問題的能力.

[關(guān)鍵詞]數(shù)列;模型;分類;應(yīng)用

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0030-02

在我們的日常生活中，數(shù)列問題隨處可見.比如，銀行計息問題、人口增長問題、植樹造林問題、養(yǎng)老金問題等.學(xué)習(xí)的目的是什么？就是為了解決實際問題.那么，在數(shù)列知識的實際應(yīng)用中，主要涉及哪些基本模型呢？

一、等差模型

當(dāng)實際問題滿足在變化過程中增加或減少的是一個固定量時，可把它視為等差模型，這類實際問題可利用等差數(shù)列的有關(guān)知識加以解決.

[例1]小朋友王偉和賈亮相約世紀(jì)廣場玩機器人游戲，他們讓自己的機器人分別從相距70?m的兩處同時相向運動.王偉的機器人第1分鐘走2?m，以后每分鐘比前一分鐘多走1?m，而賈亮的機器人每分鐘都走5?m.請問：（1）倆機器人開始運動后幾分鐘相遇？（2）如果倆機器人到達(dá)對方起點后立即折返，王偉的機器人繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多走1?m，賈亮的機器人繼續(xù)每分鐘走5?m，那么開始運動幾分鐘后它們再次相遇？

分析：從數(shù)列角度看，王偉的機器人每分鐘行走的路程可看成首項為2，公差為1的等差數(shù)列，而王偉的機器人每分鐘行走的路程不變，可看作是常數(shù)數(shù)列，故本題可用等差模型來解.

解：（1）設(shè)[n]分鐘后倆機器人第1次相遇，依題意，有[2n+n（n-1）2+5n=70]，整理得[n2+13n-140=0]，解得[n=7]，[n=-20]（舍）.

故倆機器人第1次相遇是在開始行走后7分鐘.

（2）設(shè)[n]分鐘后倆機器人第2次相遇，依題意，有[2n+n（n-1）2+5n=3×70]，整理得[n2+13n-420=0]，解得[n=15]，[n=-28]（舍）.

故倆機器人第2次相遇是在開始行走后15分鐘.

二、等比模型

如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比.等比數(shù)列模型往往也涉及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用.

[例2]在德國的一個小鎮(zhèn)上曾經(jīng)發(fā)生過一個令人動容的故事——九歲孤兒尋母.這位孤兒名叫彼得.他以助人為樂的形式表達(dá)對母親的思念之情，他在幫助他人之后，懇請被幫助者也去幫助10位需要幫助的人，依次接力下去，被幫助的每個人都這樣把愛心繼續(xù)傳遞給不同的人.彼得相信，母親總有一天也會成為被幫助者.假如德國有8220萬人口，請你用數(shù)列的觀點回答下列問題：?（1）當(dāng)n天過去后，用[Sn]表示被幫助者的總?cè)藬?shù)，請求出[Sn];（2）試問最多第幾天，彼得的母親也會成為被幫助者？

分析：據(jù)題意，第1天被幫助的人數(shù)為[a1=1]，第2天被幫助的人數(shù)為[a2=1+10]，第3天被幫助的人數(shù)為[a3=1+10+100]……第[n]天被幫助的人數(shù)為[an=1+10+100+？+10n-1]，顯然，數(shù)列[{an}]成等比數(shù)列，故本例是個等比模型.

解：（1）?據(jù)題意，第[n]天被幫助的人數(shù)為[an=1+10+100+？+10n-1]?[=10n-19]?.

設(shè)到第[n]天為止，得到幫助的總?cè)藬?shù)為[Sn]，則

[Sn=10-19+102-19+？+10n-19=19（10+102+？+10n-n）]?[=1910n+1-109-n]?.

（2）由[Sn=1910n+1-109-n≤8220×104=8.22×107].

可以這樣估算：當(dāng)[n=8]時，[S8]?[=12345678<8220×]?[104];當(dāng)[n=9]時，[S9]?[=123456789>8220×]?[104].?因此最多第9天，彼得可以如愿以償.

三、等差與等比綜合模型

有些應(yīng)用問題，既含有等差模型，又含有等比模型，需通過兩種模型的綜合，才能解決有關(guān)問題.

[例3]我們只有一個地球，保護(hù)地球就是保護(hù)我們?nèi)祟愖约?自黨的十八大以來，“環(huán)保”意識越來越深入人心.保護(hù)環(huán)境，人人有責(zé).為了凈化空氣，濱河市準(zhǔn)備用幾年的時間把正在使用的一萬輛燃油車更換為電力型和混合動力型機動車.先在年初投入128輛電力型公交車和400輛混合動力型公交車.并擬以后每年電力型公交車點的投入是上一年的1.5倍，而混合動力車的投入每年比上一年多投入a輛.試問：（1）經(jīng)過[n]年后，濱河市會出現(xiàn)多少輛新公交車？（2）濱河市準(zhǔn)備在7年內(nèi)讓燃油車全部“下崗”，那么[a]的最小值是多少？

解：（1）設(shè)第[n]年投入的電力型公交車為[an]輛，第[n]年投入的混合動力型公交車為[bn]輛，數(shù)列[{an}]是等比數(shù)列，且[a1=128]，公比為[q=1+0.5=32]?.數(shù)列[{bn}]是首項為400，公差為[a]的等差數(shù)列.

數(shù)列[{an}]的前[n]項和[Sn=128×1-32n1-32=25632n-1]?.數(shù)列[{bn}]的前[n]項和[Tn=400n+n（n-1）2a]，所以經(jīng)過[n]年，該市更換的公交車總數(shù)為：

[S（n）=Sn+Tn=][25632n-1][+400n+n（n-1）2a].

（2）若計劃7年內(nèi)完成全部更換，所以[S（7）≥1000]，

所以?[256327-1+400×7+7×62a≥1000]，即[21a≥2082]，所以[a≥1461621].又[a∈N？]，所以[a]的最小值為147.

四、遞推數(shù)列模型

有些應(yīng)用問題，既不是等差模型，又不是等比模型，它給出的是一種遞推關(guān)系.如何將這種遞推關(guān)系通過變形變成等差模型或等比模型，需要解題者自行探索.一是從特殊到一般，即先計算出該數(shù)列的前幾項，由此歸納出通項公式，再加以檢驗.對遞推關(guān)系式進(jìn)行合理配湊，直接配成等差數(shù)列或等比數(shù)列.

[例4]一位幼兒園老師給班上[k（k≥3）]個小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為[a0]，就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的[12]分給第一個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的[13]分給第二個小朋友，以后她總是在分給一個小朋友后，就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的[1n+1]分給第[n（n=1，2，3，？，k）]個小朋友.設(shè)分給第[n]個小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為[an].

（1）當(dāng)[k=3]，[a0=12]時，分別求[a1，a2，a3];

（2）請用[an-1]表示[an];令[bn=（n+1）an]，求數(shù)列[{bn}]的通項公式.

分析：欲求數(shù)列[{bn}]的通項公式，關(guān)鍵是找到數(shù)列[{an}]的遞推關(guān)系，為此可以通過[a1]與[a0]的關(guān)系，[a2]與[a1]的關(guān)系，[a3]與[a2]的關(guān)系，歸納出[an]與[an-1]之間的遞推關(guān)系.

解：（1）當(dāng)[k=3]，[a0=12]時，[a1=a0+2-12a0+2=7]，[a2=a1+2-13a1+2=6]，[a3=a2+2-14a2+2=6]?.

（2）由題意知[an=an-1+2-1n+1an-1+2=nn+1an-1+2]，[∵][bn=（n+1）an]，[∴bn-bn-1=2n]，

[∴bn-bn-1=2n??，??bn-1-bn-2=2n-2??，？?，?b1-b0=2]?.

累加得[bn-b0=2+2n2n=nn+1]，又[b0=a0]，[∴]故?[bn=nn+1+a0]?.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）