三角恒等變換要有目標意識

包旭苗

[摘???要]在求解三角函數問題中，有要目標意識，要緊扣解題目標進行有目的的變形，如降冪轉化、常數代換、合理變角、巧添分母等.

[關鍵詞]三角函數;恒等變換;目標意識

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0034-02

美國著名數學教育家波利亞在《怎樣解題》一書寫道：“看著終點，記住你的目的，勿忘你的目標，想著你希望得到的東西.”這句話告訴我們，在解題時，要有目標意識，要緊扣解題目標進行有目的的變形.對于三角恒等變換來說，樹立目標意識尤為重要.那么，在求解三角函數問題時，要有哪些目標呢？

一、降冪轉化

當題目中出現三角函數的次數比較高時，可利用同角三角函數的平方關系或者倍角公式，實現降冪的轉化.

[例1]已知[cosπ4+θcosπ4-θ=14]，則[sin4θ+cos4θ]的值為???????????.

解析：因為[cosπ4+θcosπ4-θ=]

[22cosθ-22sinθ）]?[22cosθ+22sinθ]

=[12]?[（cos2θ-sin2θ）]=[12]cos2θ=[14]，?所以cos2θ=[12].

故[sin4θ+cos4θ=1-cos2θ22]+?[1+cos2θ22][=116+916=58]?.

點評：降冪是解題的關鍵環節.對于二次或高次的三角函數的化簡或求值問題，解題時一般需恰當應用“[sin2α+cos2α=1]”“[2sinαcosα=sin2α]”“[sin2α=1-cos2α2]”“[cos2α=1+cos2α2]”等公式對已知表達式進行化簡.

二、常數代換

某個常數，可看作某個特殊角的三角函數值或某個三角恒等式，這種常數代換，往往會取得出奇制勝的解題效果.

[例2]計算：[1-tan15°3+tan60°tan15°]?=?????????????.

解析：（1）原式[=tan45°-tan15°3（1+tan45°？tan15°）=]

[13]?tan（45°-15°）=?[13].?故答案為[13].

點評：把某些數值“還原”成特殊角的三角函數，如[3=tanπ3=]?[sinπ3cosπ3]、[1=tanπ4=]?[sinπ2=][2cosπ4]等，能搭建三角恒等變換的溝通橋梁.

三、合理變角

在三角恒等變換中，首先應該想到角的變化.角的變化，有單角與復角之間的轉化，特殊角與非特殊角之間的轉化，所求角與已知角之間的轉化，等等.

[例3]已知[tanα+π5=2]，[tanβ-4π5=-3]，則tan（[α-β]）=（????????）.

A.?1??????????B.?-?[57]????????????C.??[57]?????? D.?-1

解析：∵[tanβ-4π5=-3]，∴[tanβ+π5=-3].

∵[tanα+π5=2]，∴tan（[α-β]）=?[tanα+π5-β+π5]?[=tanα+π5-tanβ+π51+tanα+π5？tanβ+π5=]?[2-（-3）1+2×（-3）=-1]?.

故選D.

點評：解決三角函數求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示.①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;②當“已知角”有一個時，應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差或倍角的關系.主要有以下幾種情形：α=（α+β）-β;α=β-（β-α）;[α=12][（α+β）+（α-β）];[β=12][（α+β）-（α-β）];[π4+]?[α=π2]?[-?π4-α];等等.

四、巧添分母

改變三角函數式的結構，有時可以通過合理添上分母實現，從原問題的實際出發，添加分母，有利于三角公式或已知條件的利用.

[例4]cos?[π9]·cos?[2π9]·cos?[-23π9]?=?????????????.

解析：cos?[π9]·cos?[2π9]·cos?[-23π9]

=?cos?20°·cos?40°·cos100°

=?-?cos?20°·cos?40°·cos?80°

[=-sin20°？cos20°？cos40°？cos80°sin20°]

[=-12sin40°？cos40°？cos80°sin20°]

[=-14sin80°？cos80°sin20°]

[=-18sin160°sin20°]?[=-]?[18sin20°sin20°]?[=-18]?.

點評：在三角恒等變換中，有時候要添上一個恰當的分母，從而利用已知條件求值或通過湊項變角，然后逆用二倍角公式，使問題發生“連鎖反應”，從而快速得到問題的答案.

五、合理換元

三角與代數之間有著天然的聯系，換元可以溝通它們之間的關系.合理換元，可將三角函數問題轉化為代數問題來處理.

[例5]函數y?=?sinx?-?cosx+sinxcosx的值域為??????????????????????????.

解析：設t?=?sinx?-?cosx?[=2sinx-π4]，則

[t2]?=?sin2x?+?cos2x?-?2sinx·cosx，sinxcosx?[=1-t22]，且[-2≤t≤]?[2].

∴y?=?-?[t22]?+?t?+?[12]?=?-?[12]?[（t-1）2]?+1，t?∈?[-[2]，[2]].

當t?=?1時，?ymax=?1;當t?=?[-2]時，ymin=-?[12]?-?[2].

∴函數的值域為[-12-2，1]?.

點評：本例換元后將原問題轉化成二次函數值域問題，但必須注意換元后新元的取值范圍，而新元的取值范圍依然離不開三角恒等變換.

除了上述方法外，還可實現切弦互化，鑒于篇幅問題不再闡述.從以上例題分析可看出，要實現三角恒等變換的目標，應在“變角”“變名”“變結構”上“做文章”，從而達到巧妙應用三角函數變換公式順利解題的目的.

[??參???考???文???獻??]

[1]??張小凱，張宗余.三角恒等變換[J].中學數學教學參考，2019（Z1）：89-94.

[2]??劉馨怡，周龍虎.再看“三角恒等變換”[J].中學數學，2018（1）：16-17.

（特約編輯????安???平）