四邊形中位線的研究與開發

錢志祥

[摘???要]以一道典例為載體對四邊形中位線進行探究與變式，培養學生的探索精神，提高學生舉一反三的能力.

[關鍵詞]四邊形;中位線;變式

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0036-02

三角形的中位線定理在解決幾何問題中有著十分廣泛的應用，如果題中出現多個中點，可考慮使用三角形的中位線定理來解答.與三角形中位線類似，把連接四邊形一組對邊中點的線段稱為“四邊形中位線”，四邊形中位線沒有什么性質，但當四邊形另一組對邊相等或對角線相等時，會產生一些有趣的結論.下面就一道典例進行探究.

原始模型：另一組對邊相等的四邊形中位線.

[例1]如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，試判斷△PMN的形狀.

解析：∵在四邊形ABCD中，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線，∴PM=?[12]?AB，PN=?[12]?DC，∵AB?=?CD，∴PM?=?PN，∴△PMN是等腰三角形.

點評：對于另一組對邊相等的“四邊形中位線”有：對角線中點與不相等對邊兩中點構成的三角形是等腰三角形.這個結論是由三角形中位線推得的結論.在四邊形中要利用三角形中位線，需要把四邊形分割成三角形，其基本方法就是連接對線角.

變式1.將四邊形中位線及相等兩邊延長相交.

[例2]如圖2，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點，延長BA、NM、CD分別交于點E、F.求證：∠BEN=∠NFC.

證明：如圖3，連接AC，取AC的中點G，連接NG，MG，∵點M，G，N分別是邊AD，AC，BC的中點，∴MG、NG分別是△ADC與△ABC的中位線，∴NG∥AB，MG∥CF，∴∠BEN?=?∠FNG，∠CFN?=?∠NMG，∵NG?=?[12]?AB，MG?=?[12]?CD，?AB?=?CD，∴NG?=MG，∴∠MNG?=∠GMN，∵∠MNG=∠BEN，∠GMN=∠CFN，∴∠BEN=∠NFC.

點評：對于另一組對邊相等的四邊形中位線有：將四邊形中位線及相等對邊延長相交而成的銳角相等.

變式2：對角線相等的四邊形中位線.

[例3]如圖4，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF，分別交CD、AB于點M、N，試判斷△OMN的形狀.

解析：如圖5，取AC的中點P，連接PF，PE，∵點F、P?是AD、AC的中點，∴PF是△ADC的中位線，∴PF=[12CD]，PF∥CD，同理：PE=[12AB]，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，∠PFE=∠CME，∵AB=CD，∴PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN為等腰三角形.

點評：在對角線相等的四邊形中位線問題中，取一邊中點構造三角形中位線，目的是利用已知中相等的兩條線段.另一方面，對角線相等的四邊形中位線與兩條對角線圍成的三角形是等腰三角形.

變式3：將另一組對邊相等的四邊形的相鄰兩邊放在同一直線上.

[例4]如圖6，在△ABC中，D為AC上一點，AB=CD，F是AD的中點，N為BC的中點，連接NF并延長交BA延長線于點E，G為EF的中點，求證：AG⊥NE.

證明：如圖7，連接BD，取BD的中點為O，連接FO，NO，∵F是AD的中點，N為BC的中點，∴NO是△BCD的中位線，FO是△ABD的中位線，∴NO?=?[12]?CD，FO?=?[12]?AB，NO∥AC，OF∥AB，∵AB=CD，∴NO=FO，∴∠OFN=∠ONF，∵OF∥AB，∴∠OFN=∠AEF，∵ON∥AC，∴∠ONF=∠CFN=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵G為EF的中點，∴AG⊥NE.

點評：本題是“另一組對邊相等的四邊形中位線”問題的“變種”，雖然用三角形的基本圖形來遮擋，但仍屬于四邊形的中位線，我們應仍按四邊形中位線模式來解答，同時我們還發現，將另一組對邊相等的四邊形，相等的兩邊和四邊形中位線延長可以得到一個特殊的三角形——等腰三角形.

變式4：賦予另一組對邊相等的四邊形一個特殊的角度.

[例5]如圖8，在△ABC中，[AC>AB]，D點在AC上，AB=CD，N、F分別是BC，AD的中點，連接NF并延長，與BA的延長線交于點E，若∠NFC?=?60°，連接ED，判斷△AED的形狀并證明.

解析：如圖9，連接BD，取BD的中點H，連接HF、HN，∵F是AD的中點，∴HF∥AB，HF?=?[12]?AB，同理，HN∥CD，HN=?[12]?CD，∵AB=CD，∴HF=HN，∴∠HNF=∠HFN，∵∠NFC=60°，∴∠HNF=60°，∴∠HNF=∠HFN=60°，∴△NHF是等邊三角形，∴∠3=∠NFC=∠AFE=60°，∴△AEF是等邊三角形.∵AF=FD，∴EF=FD，∴AF=FD?=EF，∴∠AED=90°，∴△AED是直角三角形.

點評：此題是對原始模型的又一次擴展，賦予原始模型一個特殊的角度，但不管如何，作輔助線的方法仍沒有變，證明之初的思路與步驟基本相同.在幾何問題中，掌握一些基本圖形及基本圖形的解法與應用，對于解答復雜幾何問題將有很大的幫助.

總之，變式就是創新.在變式中，教師要抓住“思維訓練”這條主線，通過變化問題情境或變化思維角度，提高學生的應變能力，同時不能為變而變，要遵循學生的心理認知規律，通過一題多變，發現其中不變的規律和發展的方向.

（特約編輯????安???平）