從近年高考題談機械振動和機械波的復習教學

張杰

[摘???要]“機械振動與機械波”是高中物理比較難的知識，高考中考生的得分率較低。如何在有限的時間里，讓學生較好地掌握并熟練運用相關知識分析解答“機械振動和機械波”問題，值得廣大師生重視。文章結合高考試題進行分析探討。

[關鍵詞]機械振動;機械波;復習教學

[中圖分類號]????G633.7????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0039-03

“機械振動與機械波”是選修3-4模塊中的一個重要內容，是力學完整體系中的一個有機組成部分，對將來選擇與物理有關的大學專業的學生而言，機械振動和機械波是應該掌握的知識。機械振動和機械波，是在時間上和空間上都表現出周期性的一種運動，因而對學生的空間想象能力和抽象思維能力的要求較高。這類題目具有較強的區分度，因此每年高考中都要考查。

我們不妨先看看2019年物理高考大綱對這部分知識的要求：

[主題 內容 要求 機械振動與機械波 簡諧運動 Ⅰ 簡諧運動的公式和圖像 Ⅱ 單擺、周期公式 Ⅰ 受迫振動和共振 Ⅰ 機械波、橫波和縱波 Ⅰ 橫波的圖像 Ⅱ 波速、波長和頻率（周期）的關系 Ⅰ 波的干涉和衍射現象 Ⅰ 多普勒效應 Ⅰ 實驗 實驗一：探究單擺的運動、用單擺測定重力加速度 ]

從上表可看出，振動圖和波動圖都是Ⅱ級要求。復習這一部分內容時，重點抓圖像，難點在圖像。當然波的干涉雖然是Ⅰ級要求，卻是難點。結合近五年全國卷對機械振動和機械波的考查，可以有的放矢地進行復習備考。

一、緊扣課本，厘清基本概念

[例1]（2018年全國Ⅱ卷第34題）【物理?選修3-4】（1）聲波在空氣中的傳播速度為340?m/s，在鋼鐵中的傳播速度為4900?m/s。某同學用錘子敲擊一鐵橋的一端而發出聲音，經空氣和橋傳到另一端的時間差為1.00?s，則橋長為_______m，若該波在空氣中的波長為λ，則它在鋼鐵中波長為_______。

【答案】?365??????[24517λ]

解析：設在鋼鐵中的傳播時間為[t1]，在空氣中的傳播時間為[t2]，橋長為s。則[s=340t2=4900t1]，而[t2-t1]=1?s

[t1≈0.073?s]，代入得[s≈365?m]

由λ=[vf]，頻率不變，可知[λ鋼λ?=4900340]，得[λ鋼=24517λ]

點評及復習要點：此題雖然是教材級別的基礎題，但卻蘊含了機械振動和機械波的基本概念。復習時，應重新梳理機械波的各物理量及相互關系。機械振動在介質中的傳播形成機械波，因此機械波形成的條件有兩個，即機械振動和介質。介質中的點是依次做受迫振動，重復波源的振動形式，所以波的頻率由波源決定，都等于波源的振動頻率。而波傳播的快慢由介質決定，正如例1所示，聲波在空氣中的傳播速度為340?m/s，在鋼鐵中的傳播速度為4900?m/s。同一波源發出的波，從一種介質進入另一種介質，頻率不變，在不同介質中的波速不同，造成波長不同，課本上就給出了0?℃時，空氣、水、銅、鐵、玻璃、松木、軟木、橡膠等介質中的聲速。通過例1，進一步認識[v=λf]背后的含義。

[例2]（2018年全國Ⅲ卷第34題）（1）一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，在t?=?0和t?=?0.20?s時的波形分別如圖1中實線和虛線所示。已知該波的周期[T>0.20?s]，下列說法正確的是?（????）。

A.?波速為0.40?m/s

B.?波長為0.08?m

C.?x=0.08?m的質點在t=0.70?s時位于波谷

D.?x=0.08?m的質點在t=0.12?s時位于波谷

E.若此波傳入另一介質中波速變為0.80?m/s，則它在該介質中的波長為0.32?m

【答案】A?C?E

點評與復習要點：1.機械振動時間上的周期性，向外傳播形成機械波就表現為空間上的周期性。因此，波的題目經常有多解，但加上限制條件，比如例2的周期[T>0.20??s]，多解又變為有限解。2.由此時的質點位移，推知彼時的質點位移，是波動問題的基礎性問題。

[例3]（2018年全國Ⅰ卷第34題）（2）一列簡諧橫波在[t=13?s]時的波形圖如圖2（a）所示，P、Q是介質中的兩個質點。圖（b）是質點Q的振動圖像。求

（ⅰ）波速及波的傳播方向;

（ⅱ）質點Q的平衡位置的x坐標。

解析：（ⅰ）由波形圖可知，波長[λ=36]?cm。由振動圖可知，周期T=2?s，故波速為[v=λT=18]?cm/s。

由振動圖像可知，[t=13]?s時，Q向+y方向運動。

由波速方向與質點振動方向之間的關系可知，波沿-x方向運動。

（ⅱ）設質點P、Q在平衡位置的x坐標值分別為xP、?xQ。

由圖2（a）?可知，在[x=0]處，[y=-12A=Asin（-30°）]，故[xP=30°360°λ=3]?cm。

由圖（b）可知，在[t=0]時，質點Q處于平衡位置，

經歷[Δt=13s]，其振動狀態沿-x方向傳播到P點處，則有：xP?-?xQ=[vΔt=6?cm]。

由以上方程解得：xQ?=?9?cm。

點評與復習要點：由于波動圖像包含了所有質點某一時刻的信息，而振動圖像包含了某一質點所有時刻的信息，將這兩個圖像聯合起來，互通信息，是考查學生對振動圖像和波動圖像意義理解程度的有效方式。

二、數形結合，深化認識

[例4]（2016年全國Ⅱ卷第34題）（2）一列簡諧橫波在介質中沿x軸正向傳播，波長不小于10?cm。O和A是介質中平衡位置分別位于[x=0]和[x=5?cm]處的兩個質點。?[t=0]時開始觀測，此時質點O的位移為[y=4?cm]，質點A處于波峰位置;[t=13]?s時，質點O第一次回到平衡位置;[t=1]?s時，質點A第一次回到平衡位置。求：

（ⅰ）簡諧波的周期、波速和波長;

（ⅱ）質點O的位移隨時間變化的關系式。

【答案】（ⅰ）[T=4?s]??，[v=7.5?cm/s，]??[λ=30?cm]。

（ⅱ）[y=0.08sinπ2t+56π]或者[v=0.08cosπ2t+13π]?。

解析：（ⅰ）[t=0]?s時，A處質點位于波峰位置。

[t=1]s時，由A處質點第一次回到平衡位置可知[T4=1?s]，[T=4?s]。由[t=13]??s時，O第一次到平衡位置，[t=1?]s時，A第一次到平衡位置，可知波從O傳到A用時[23?s]，傳播距離[x=5]?cm，故波速[v=xt=7.5?]cm/s，波長[λ=vT=30]?cm。

（ⅱ）設[y=Asin（ωt+φ0）]，可知[ω=2πT=π2rad/s]。

又因為[t=0]?s時，[y=4?cm];[t=13]?s，[y=0]，

代入振動方程計算得A=?8?cm，再結合題意得[φ0=56π]。故[y=0.08sinπ2t+56π]?或者[y=0.08cosπ2t+13π]?。

點評及復習要點：用振動圖像描述振動，與之對應的是三角函數。數形結合的考題中，讓學生用數學工具表達物理規律是較高要求，也是物理學發展較成熟的標志。在必修1和必修2中，多數情形下，都是用公式表達物理規律，圖像用于輔助分析問題，在機械振動和機械波里卻是相反的情形，振動圖像和波動圖像用得較多，振動方程很少寫，波動方程不做要求，在第二輪復習時，不妨試做一兩個，以提升學生的思維能力，但不能過多。

[例5]（2015全國Ⅰ卷第34題）（2）甲、乙兩列簡諧橫波在同一介質中分別沿x軸正向和負向傳播，波速均為v=25?cm/s，兩列波在t?=?0時的波形曲線如圖3所示。求：

（ⅰ）t?=?0時，介質中偏離平衡位置位移為16?cm的所有質點的x坐標;

（ⅱ）從t?=?0開始，介質中最早出現偏離平衡位置位移為16?cm的質點的時間。

解析：（ⅰ）t?=?0時，在x?=?50?cm處兩列波的波峰相遇，該處質點偏離平衡位置的位移為16?cm。兩列波的波峰相遇處的質點偏離平衡位置的位移均為16?cm。

從圖線可以看出，甲、乙兩列波的波長分別為λ1=50?cm，λ2?=?60?cm????①

甲、乙兩列波波峰的x坐標分別為：

xl?=?50?+?k1λ1，k1?=?0，±1，±2，…②

x2?=?50+k2λ2，k2?=?0，±1，±2，…③

由①②③式得，介質中偏離平衡位置位移為16?cm的所有質點的x坐標為：

x=（50+300n）?cm?????n?=?0，±l，±2，…④

（ⅱ）只有兩列波的波谷相遇處的質點的位移為-16?cm。t?=?0時，兩波波谷間的x坐標之差為：

[Δx′=50+（2m2+1）λ22-50+（2m1+1）λ12]?⑤

式中，m1和m2均為整數。將①式代入⑤式得[Δx′=10（6m2-5m1）+5] ⑥

由于m1、m2均為整數，相向傳播的波谷間的距離最小為[Δx0=5?cm] ⑦

從t?=?0開始，介質中最早出現偏離平衡位置位移為-16?cm的質點的時間為：

[t=Δx0′2v] ⑧

代入數值得t?=?0.1?s

點評及復習要點：此題考查波的疊加，頻率不同的兩列波，要表達隨著時間推移的疊加結果，必須寫出一般表達式，屬于較難、較新穎的題目。而要寫出所有處于波峰（或波谷）的質點的平衡位置坐標，用到了空間的周期性。兩列相向傳播的波的疊加，如果波的頻率不同，經過足夠長的時間，會出現怎樣的結果呢？可以讓學生自行探討。

三、重視實驗，由感性認識到理性思考

[例6]（2019年全國Ⅱ卷第34題）（1）如圖4，長為l的細繩下方懸掛一小球a。繩的另一端固定在天花板上O點處，在O點正下方[34]?l的O′處有一固定細鐵釘。將小球向右拉開，使細繩與豎直方向成一小角度（約為2°）后由靜止釋放，并從釋放時開始計時。當小球a擺至最低位置時，細繩會受到鐵釘的阻擋。設小球相對于其平衡位置的水平位移為x，向右為正。下列圖5中，能描述小球在開始一個周期內的x?-?t關系的是

[答案]：A

點評與復習要點：該題取材于課本的學生實驗：探究單擺的運動、用單擺測定重力加速度，考查了振動圖像、單擺、周期公式幾個知識點。

[例7]（2019年全國Ⅲ卷第34題）（1）水槽中，與水面接觸的兩根相同細桿固定在同一個振動片上。振動片做簡諧振動時，兩根細桿周期性觸動水面形成兩個波源。兩波源發出的波在水面上相遇。在重疊區域發生干涉并形成了干涉圖樣。關于兩列波重疊區域內水面上振動的質點，下列說法正確的是 。

A.不同質點的振幅都相同

B.不同質點振動的頻率都相同

C.不同質點振動的相位都相同

D.不同質點振動的周期都與振動片的周期相同

E.同一質點處，兩列波的相位差不隨時間變化

[答案]：B?D?E

點評及復習要點：該題取材于課本的演示實驗：發波水槽演示水波的干涉實驗。復習時，要弄清干涉現象。

四、動態演繹，突破難點

[例8]（2017年全國I卷第34題）（1）如圖6（a），在xy平面內有兩個沿z方向做簡諧振動的點波源S1（0，4）和S2（0，-2）。兩波源的振動圖線分別如圖6（b）和圖6（c）所示。兩列波的波速均為1.00?m/s。兩列波從波源傳播到點S（8，-2）的路程差為??m，兩列波引起的點B（4，1）處質點的振動相互_____（填“加強”或“減弱”），點C（0，0.5）處質點的振動相互____（填“加強”或“減弱”）。

[答案]（1）2;減弱;加強

解析：（1）[s1A=82+4-（-2）2=10?m]

[s2A=8?m]

∴路程差為2?m

[s1B=42+4-12=5?m]

[s2B=42+1--22=5?m]

∴兩列波到B點的路程差為0，而起振方向相反，故B為減弱點。

[s1c=3.5?m]，[s2c=2.5?m]

[Δs=s1c-s2c=1?m]

由圖知，[λ=2?m]

∴[Δs=λ2]，起振方向相反，故C為加強點。

點評與復習要點：課本上通過水波的干涉實驗，介紹了振動情況完全一樣的兩個波源發出的波，在空中相遇時，表現出的干涉現象。通常教師都會給出振動加強點和減弱點的條件，即路程差為波長整數倍時是加強點，路程差為半波長奇數倍時是減弱點，而這道高考題考查了振動情況反相的兩個波源形成的干涉，這樣就不能套上述振動加強點和減弱點的條件，正好跟上面的結論相反。要講清干涉，就要弄清干涉發生的前提條件。干涉必須是兩列相干波源，什么是相干波源呢？頻率相同，相差恒定的兩個波源。干涉的特征是每一個質點的振幅是確定值，位移隨時間變化，但振幅不隨時間變化;不同的質點振幅不盡相同，呈空間周期性變化。

近五年機械振動和機械波高考題的特點是：來源于課本，不拘泥于課本。抓基礎、抓圖像，重視用數學知識處理物理問題的能力，另外，演示實驗和學生實驗也值得關注。

（責任編輯 易志毅）