圖形折疊問題分類探析

楊姬

[摘? ?要]折疊問題的類型多樣.其中以求解點坐標、線段長和圖形面積最為常見.此類問題題型新穎、結構設計獨特，能夠全面考查學生的空間幾何觀念和幾何知識綜合應用的能力.圖形折疊過程中存在一些幾何性質，這些性質是問題突破的關鍵.

[關鍵詞]圖形;折疊;分類

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）35-0007-02

圖形折疊是圖形變化的一種重要方式，圖形折疊的動態過程中隱含著眾多的幾何性質和變化規律，這些性質和規律是幾何問題分析的關鍵.在近幾年的中考中出現了大量以圖形折疊為背景，求解幾何元素的問題，涉及點坐標、線段長和圖形面積等.筆者下面對其歸類探析.

一、圖形折疊中的點坐標確定

求解點的坐標必然需要將圖形折疊與平面直角坐標系相結合，這也是圖形折疊重要的綜合形式之一.坐標系中點的坐標與幾何線段之間有著緊密的關聯性，因此解題的關鍵是基于這種關聯建立已知與未知之間的聯系.該類折疊問題不僅可以考查學生靈活運用折疊性質的能力，還能考查學生的推理、計算能力.

[例1]如圖1所示，矩形AOCD位于平面直角坐標系中，現將其沿著直線AE進行折疊（已知點E位于邊CD上），若折疊后矩形的頂點D恰好落在邊OC上的點F處.如果點D的坐標為（10，8），試求點E的坐標.

解析：本題將圖形折疊與直角坐標系相結合.求解點的坐標除了需要利用圖形折疊的性質，還需要利用三角形的一些性質.根據題意可知，△ADE與△AFE互為全等三角形，結合點D的坐標可知AD=OC=AF=10，DE=EF.根據矩形的性質可知OA=CD=8，在Rt△AOF中使用勾股定理可得OF2+OA2=AF2，解得OF=6，則CF=4.求點E的坐標實際上就是求線段CE的長.設CE=x，則DE=8-x，在Rt△EFC中使用勾股定理，可得CF2+CE2=EF2，即42+x2=（8-x）2，從而可解得x=3，即CE的長為3，所以點E的坐標為（10，3）.

評注：上述為圖形折疊中的點坐標分析題，實際上求解坐標系中點的坐標就是求幾何線段長，解題的關鍵是將圖形折疊的性質與坐標系中點的坐標相結合，并利用相關的幾何性質構建求解未知線段的模型.而上述在求解時充分利用了圖形折疊中隱含的全等三角形，結合勾股定理構建了求解關鍵線段的代數方程.

二、圖形折疊中的線段長度求值

圖形折疊的過程中含有眾多的幾何“變化”元素，但折疊過程中對應線段長度相等是其隱含的“不變”規律，也是解題突破的關鍵性質之一.分析圖形折疊中的線段長度，前提是需要充分了解圖形折疊的過程，然后在此基礎上利用圖形折疊的性質來分析圖形折疊前后的線段關系，逐步厘清求線段長的思路.

[例2]如圖2所示，△ABC為直角三角形，∠C=[90°]，∠A=[30°]，BC=1，點D位于邊AC上，若將△ADB沿著直線BD進行折疊，折疊后點A落在三角形之外的點E處，且DE⊥AD，設BE與AC的交點為點F，試求線段DE的長.

解析：本題為圖形折疊中的線段長分析題.圖形折疊的過程是以BD為折痕將△ADB翻折到△EDB的位置，根據折疊的性質可知△ADB與△EDB互為全等三角形，則DE=AD，∠E=∠A=[30°].由于∠C=[90°]，DE⊥AD，則BC∥DE，進而可得∠CBF=∠E=[30°]，題干給出了△ABC的內角度數，結合三角函數可得CF= [33]，AC=[3]，tan∠E=[DFDE=33] .設DF=x，則AD=DE=[3]x，AC= CF+FD+AD = [33] +x+[3]x = [3].解得x=1-[ 33]，所以DE=[3]x=[3]-1.

評注：上題在求解圖形折疊中的線段長時充分利用了折疊的特性，即折疊前后對應線段相等.而在求未知線段時巧妙利用了直角三角形中的三角函數、勾股定理等知識，最后結合線段之間的長度關系構建了相應的代數方程，從而達到了高效求解的目的.整個解題思路采用數形結合的分析方法，利用直觀的圖像來輔助分析，通過代數計算完成線段求值.

三、圖形折疊中的幾何面積求解

圖形的面積是數學幾何重要的研究內容，也是圖形折疊中常見的問題類型.分析圖形折疊中的面積，除了需要熟識相關圖形的面積公式，還需要把握圖形折疊的實質，利用折疊特性來輔助思考，靈活運用圖形的面積公式來對問題進行轉化.

[例3]如圖3所示的四邊形ABCD為一矩形，現按照圖中所示的方式對其進行折疊，使四邊形的頂點A和B分別落在點[A′]和[B′]處，其中[B′]與頂點D相重合，折痕為EF.設AB和BC的長分別為3 cm和5 cm，試求重疊部分△DEF的面積.

解析：本題求解圖形折疊后幾何三角形的面積，求解△DEF的面積有兩種思路.一是直接利用三角形的面積;二是通過圖形割補的方式來轉化.如果直接求解很難獲得底邊BD的長，則可以考慮利用圖形割補的方式來獲得，即△DEF的面積等于梯形[A′]DFE的面積減去△[A′]ED的面積，后續只需要分別求梯形[A′]DFE和△[A′]ED的面積即可.

根據圖形折疊的特性可知，梯形[A′]DFE與梯形ABFE全等，AE=[A′]E，[A′]D=AB.設AE=[A′]E=x，則DE=5-x.在Rt△[A′]ED中利用勾股定理可得ED2=[A′]E2+[A′]D2，即（5-x）2=x2+32，解得x= [85] .由于點B和點D關于折痕EF對稱，所以線段EF經過了對角線BD的中點，則梯形ABFE的面積為矩形ABCD面積的一半，進一步分析可知△[A′]ED與△CFD全等.其中S梯形ABFE= [12×3×5=152] （cm2），S△CFD= [12×3×85=125? ]（cm2）， 所以S△DEF = 5.1（cm2） .

評注：上述求解圖形折疊中幾何三角形的面積時采用了圖形割補的方式，從而實現問題的簡單轉化.根據面積公式可知，實際上求解幾何圖形的面積的關鍵依然是分析線段長，同樣需要充分利用圖形折疊的特性來構建線段之間的聯系，對于一些較為復雜的線段長，則可以通過設未知，建立方程的方式來求解.

總之，求解折疊問題首先需要準確把握圖形折疊的實質，然后綜合應用常規的幾何性質和折疊特性，建立折疊前后圖形之間的性質聯系，最后合理利用幾何定理建立求解線段長的代數模型，實現問題的簡單解答.另外，解答折疊問題需要學生具備一定的空間想象和邏輯推理能力，因此，在實際解題時需要教師采用合理的教學方式，全方位展示圖形折疊的過程.同時，設置引導性的問題，促進學生積極思考、探索，進行推理判斷，使學生體驗圖形折疊的魅力，掌握折疊問題的思路.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 徐浩.用“心”聚“折”，折出精彩：“利用勾股定理解決折疊問題”的教學策略[J].中學數學，2017（18）：12-14.

[2]? 謝良毅.知識綜合巧運用，一題多解闊思維：以一道初中平面幾何題為例[J].中學數學教學參考，2018（Z3）：14-15.

[3]? 白雪峰，張彥伶.聚焦中考折疊問題 提升數學核心素養：以中考試題中的一類折疊問題為例[J].數學教學通訊，2018（14）：78-80.

（責任編輯 黃桂堅）