二維PSD的非線性畸變校正算法

王靜儀，王興東，劉 釗，曾 鏞,仄士春

(1.武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢，430081;2.揚州力德工程技術有限公司，江蘇 揚州，225131)

隨著制造業的高速發展，自動化焊接在實際工程中的應用越來越廣泛，并已成為先進制造技術的重要組成部分。焊縫自動跟蹤是焊接自動化的關鍵技術環節之一，對保證焊縫質量、改善勞動條件、提高生產率有重要的作用。焊縫跟蹤系統一般由視覺傳感器、控制系統和執行機構三部分組成，其中視覺傳感器對整個系統的跟蹤精度至關重要。位置敏感探測器 (position sensitive detector, PSD)是一種先進的光電位置傳感器，因其分辨率高、響應速度快等優點而被應用于焊縫跟蹤[1-2]，但PSD存在的非線性畸變問題會降低焊縫跟蹤系統的數據置信度。

為了上述問題，研究人員提出了各種校正方法。袁紅星等[3]運用雙一次插值及雙二次插值算法對PSD的非線性進行補償，但其精度還有待提高。管炳良等[4]提出了適用于非均勻網格的二維PSD離散標定誤差修正方法，經補償后在PSD中心1 mm范圍內示值誤差小于2 μm。張風齊等[5]使用雙調和樣條插值算法來校正PSD產生畸變的離散點，仿真分析顯示，校正后在PSD整個感光面上的均方誤差不超過2.29 μm。Cui等[6]提出兩個線性度指數用于評估二維位置測量精度，并設計了新的估計公式以消除PSD非線性畸變的影響。

本文以二維PSD在焊縫跟蹤系統應用中產生的非線性畸變為研究對象，首先對圖像縮放算法中應用較多的雙三次插值法進行介紹，然后針對PSD在離散標定中出現的非均勻網格提出雙三次插值改進算法，最后通過仿真和實驗來驗證改進算法對于二維PSD非線性畸變校正的有效性以及在實際焊縫跟蹤系統中的適用性。

1 二維PSD工作原理

PSD的工作原理是基于半導體的橫向光電效應，分為一維和二維兩大類，二維PSD可以測量光斑在平面上的運動位置。二維PSD的光敏面常為正方形，有兩對電極，其結構原理如圖1所示，其中陰影部分為二維PSD的有效工作區域。

當入射光點位置與各電極距離不同時，4個電極收集的電流強度也不相同，并且與光點在光敏面上的位置相對應。光斑中心點的坐標(x,y)可根據下式求得[7]：

(1)

式中：X1、X2、Y1、Y2為每一電極的輸出信號(光電流)；L為相鄰電極間的距離。

2 PSD非線性畸變校正

制作PSD所用硅片材料的非均勻性往往呈現出一種緩慢的梯度變化。若將整個PSD光敏面上的位置誤差函數E(x,y)離散化，得到一系列網格點陣上的誤差函數值，對于非網格點上的誤差，則可用插值、神經網絡等方法進行函數逼近，這樣便可得到待校正點的逼近值。

2.1 雙三次插值算法

雙三次插值是三次插值在二維空間上的一種擴展[8]。為了減少計算復雜度，雙三次插值過程被分解為水平和垂直兩個一維插值，如圖2所示。

圖2 雙三次插值示意圖Fig.2 Schematic diagram of bicubic interpolation

首先進行水平插值，根據待校正點P(x,y)周圍4×4點陣的坐標及與待校正點的距離插值，得到4個虛擬點P1、P2、P3、P4；再由這4個虛擬點與待校正點進行垂直插值，得到校正后的點P：

(2)

式中：C1、C2、C3、C4為水平插值系數；H1、H2、H3、H4為垂直插值系數。

針對二維PSD非線性畸變校正，根據式(2)可以整理得出插值函數φ(xp,yq)：

(3)

則點P(x,y)在X、Y方向上的畸變值為：

(4)

式中：EX(xp,yq)和EY(xp,yq)分別為網格頂點(xp,yq)在X、Y方向上的畸變值。

2.2 改進的雙三次插值算法

理論上，前述4×4點陣網格是均勻的，以圖3中的待校正點P(x,y)為例，按照雙三次插值的思想，由式(3)可知，插值函數φ(xp,yq)代表了P(x,y)周圍的點對它的補償，函數值是通過網格中16個點的坐標進行計算的。在均勻點陣中，這16個點的坐標可以由點A1、A2、A3、A4的橫坐標和點A1、A5、A9、A13的縱坐標來表示，在計算網格中的任意一點對點P(x,y)的補償分量時，其實是利用了圖3中橢圓圈內7個點的坐標信息。

圖3 改進的雙三次插值示意圖

Fig.3Schematicdiagramofimprovedbicubicinterpolation

然而實際上，PSD自身存在的非線性畸變導致所標定的網格是不等間距的。假如需要求點A7對點P(x,y)的補償值，根據雙三次插值算法，點A7的插值函數φ(xi+2,yj+1)僅與橢圓圈內的點有關。而在非均勻網格中，點A7的橫、縱坐標與點A3的橫坐標及點A5的縱坐標不相等，因此得到的插值函數φ(xi+2,yj+1)并不準確，無法體現出點A7對點P(x,y)的補償分量，所以不能籠統地用橢圓圈內的7個點對待校正點的補償來代替該點所在網格對它的補償。

下面對雙三次插值算法進行改進，仍以點A7為例進行說明。A7對待校正點P(x,y)的補償分量應該與兩點之間的距離相關，即距離越近補償分量越大。將網格中與A7位于同一行或同一列的7個點(A3,A5,A6,A7,A8,A11,A15)的坐標值代入式(3)中得到插值函數φ(xi+2,yj+1)，這樣就反映了A7點對P(x,y)的補償分量，也反映了兩點之間的距離關系。其他點對P(x,y)的補償分量同樣按照上述方法得到，此處不贅述。最后通過式(4)即可得出點P(x,y)最終的校正值。

基于改進雙三次插值的PSD非線性畸變校正算法流程如下：

(1)在PSD光敏面上得到均勻點陣Ai，并計算出點陣中每個點在X、Y方向的畸變值；

(2)找到某待校正點P(x,y)在Ai中所處4×4網格；

(3)得到網格中每個頂點所在行和列的7個點的坐標，代入式(3)，求得插值函數φ(xp,yq)；

(4)將φ(xp,yq)和該頂點的畸變值代入式(4)，得出待校正點P(x,y)在X、Y方向上的畸變值EX(x,y)和EY(x,y)；

(5)EX(x,y)和EY(x,y)分別加上點P(x,y)的橫、縱坐標即為校正后的P點坐標。

3 算法驗證

3.1 仿真

仿真采用的數據由PSD的畸變模型[9]得到：

(5)

式中：I1～I4為4個電極輸出的電流；I0為光生電流；X、Y分別為光點的理論橫、縱坐標；l為PSD光敏面的邊長，這里取單位長度1。

根據式(5)以及二維PSD的位置計算公式(1)，產生9×9的樣本點集(見圖4)，得到每個點的實際坐標和測量坐標。分別用雙一次插值[3]、雙二次插值[3]、改進的雙二次插值[4]、雙三次插值以及本文提出的改進雙三次插值算法對圖4所示非線性畸變進行校正，計算出各個算法的誤差均差和方差，如表1所示。

圖4 樣本點集Fig.4 Sample points

表1各算法的校正誤差對比

Table1Comparisonofcorrectionerrorsbydifferentalgorithms

算法誤差均值/μm方差/nm雙一次插值2.9513.760雙二次插值2.5522.190改進雙二次插值2.2811.820雙三次插值2.2391.770改進雙三次插值1.2010.721

由仿真結果可得，與其它4個算法相比，改進雙三次插值算法的誤差均差和方差都有明顯降低，表明該算法能夠很好地實現PSD的非線性畸變校正。

3.2 實驗

實驗裝置如圖5所示。選用深圳達瑞鑫光電科技有限公司生產的PSD-1515型位移傳感器，其最大感光面積為15 mm×15 mm，分辨率為1 μm，光譜響應范圍為380～1100 nm；點激光器的功率為50 mW、波長為650 nm；三軸精密位移平臺的精度為1 μm。PSD的有效工作區域在光敏面中心8 mm×8 mm范圍內，故本實驗僅在此區域內進行畸變校正。

圖5 實驗裝置Fig.5 Experimental apparatus

實驗步驟如下：

(1)系統初始化。將PSD固定于三軸精密位移平臺上，使點激光垂直照射于PSD的感光區域，調整激光器焦距，使光斑面積最小。

(2)獲取誤差函數。選擇一定步長S0，由于PSD的原點存在偏移，故設計螺旋軌跡，控制精密位移平臺，使激光點從原點開始分別沿PSD的X、Y方向移動，獲得一系列網格點陣(xi,yi)，根據式(6)可以得到每個頂點的誤差值:

(6)

式中：xi、yi為理論坐標值；xi0、yi0為PSD測量值。

(3)激光點回到原點位置，重復步驟(1)進行初始化。

(4)修正待校正點。選擇步長S1(S1

表2是本文算法對PSD非線性畸變的部分校正結果，其中，樣本1～5是PSD光敏面中心1 mm×1 mm范圍內(A區)的采樣點，樣本6～10是PSD光敏面中心1 mm×1 mm以外、8 mm×8 mm以內范圍(B區)的采樣點。由實驗結果可知，對A區樣本點的校正效果較好，全體樣本的平均誤差為4 μm；對B區樣本點的平均校正誤差為16 μm；越靠近PSD有效區域中心，誤差越小。

表2 改進算法對PSD非線性畸變校正的部分實驗結果Table 2 Partial experimental results of PSD nonlinear distortion corrected by the improved algorithm

上述實驗是對靜態光斑的采集與畸變校正，而在實際焊縫跟蹤系統中，PSD采集的是動態變化的光斑。為了驗證本文算法的實用性，采用點激光器在待焊板材上產生動態光斑，通過二維PSD進行跟蹤。如圖6所示坐標-時間曲線為系統采集的未經過校正的原始數據，其中x、y分別是動態光斑通過PSD示出的橫、縱坐標。將原始數據通過改進的雙三次插值算法進行校正，校正前后的數據與理論值的誤差分布如圖7所示，經過計算得出原始數據的誤差均值為37.5μm，校正后的誤差均值為6.2 μm。由此可見，改進的雙三次插值算法可以應用于焊縫跟蹤系統中的PSD非線性畸變校正。

圖6 校正前的焊縫數據Fig.6 Weld seam data before correction

圖7 校正前后的誤差分布Fig.7 Error distributions before and after correction

4 結語

本文在分析雙三次插值算法原理的基礎上，提出了適用于PSD非線性畸變校正的改進雙三次插值算法，然后通過仿真和實驗進行算法驗證。采用改進算法對PSD非線性畸變的仿真樣本數據集進行校正后，在PSD全感光面上的誤差均值為1.2 μm，與其它4種經典插值算法相比有明顯優勢。實驗結果顯示，經過本文算法校正，PSD光敏面中心1 mm×1 mm范圍內的非線性畸變誤差平均值為4 μm，1 mm×1 mm以外、8 mm×8 mm以內范圍的誤差平均值為16 μm。該算法對于PSD采集的動態光斑也取得了比較好的校正效果，可實際應用于焊縫跟蹤系統。