新疆烏魯木齊市百日咳動力學模型研究與應用

蘇瑞童　閆茂勝　王蕾

【摘 要】基于新疆烏魯木齊市2004-2015年新發的百日咳數據，根據百日咳的傳播機制，我們建立相應的動力學模型，并根據模型預測疾病的波動趨勢。擬合效果較為理想，并計算出烏魯木齊百日咳傳播的基本再生數R0≈1.1030;預測結果表明烏魯木齊百日咳不會消亡仍會繼續流行，相關部門應加強對疾病的防治控制。

【關鍵詞】百日咳;動力學模型;擬合;預測;基本再生數

中圖分類號： TV131文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）36-0262-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.36.124

0 引言

百日咳（Pertussis或Whooping Cough）是由百日咳鮑特菌引起的一種可預防的嚴重急性呼吸道傳染病[1]，傳染性較強，它通過呼吸道吸入含有百日咳鮑特菌的空氣飛沫被感染。在使用百日咳疫苗以前，百日咳是嬰幼兒死亡的主要原因之一，是全世界最常見10大感染致死性疾病之一。20世紀初，在嬰兒中病死率高達10%。1974年全球實施擴大免疫計劃以來，世界范圍內的百日咳得到有效控制，發病率和病死率大幅下降，但近年來，百日咳在世界范圍內大規模重現，主要涉及嬰兒和青少年[2-3]，百日咳的發病率呈現出緩慢、穩定的增多趨勢[4]。

由于新疆地區是一個多民族聚居地區，地廣人稀，經濟發展較為落后，公共衛生資源相對缺乏，百日咳疫苗接種率相對較低，導致百日咳發病率依然處于較高水平。一組由新疆維吾爾自治區疾控中心報告數據顯示，2004-2012年新疆百日咳報告發病數3760例，死亡5例，年平均報告發病率為2.02/10萬居全國百日咳發病率首位;病例主要集中在0-15歲兒童，占總發病數的99.36%。新疆烏魯木齊地區雖較為發達，但人群分布、環境因素等的影響刺激了百日咳的流行，使得百日咳的患病率逐年上升。在烏魯木齊地區，患病人群多偏向于兒童和青少年。如何預防和控制新疆烏魯木齊地區百日咳的流行逐漸被提上了日程。

百日咳問題不僅是一個公共衛生問題，更是一個社會問題、政治問題和經濟問題，嚴重影響著我國人民的健康和家庭幸福，更重要的是影響到社會穩定和經濟的可持續發展，是我國現階段最為突出的公共衛生問題之一。百日咳不僅嚴重威脅人類健康并且是導致年長兒及成人長期咳嗽的常見病因，對新疆社會、經濟文化科技的協調發展產生極其負面的影響。因而，如何控制百日咳在烏魯木齊的傳播與流行是急需迫切需要解決的重要醫學和社會問題。

隨著百日咳在世界范圍內的傳播和流行，如何預防、控制百日咳的流行已成為世界各國關注的重點內容之一。近十年以來，國內外許多學者都對百日咳的傳播機制和流行進行了研究與分析。文[5]研究了新疆喀什地區百日咳流行趨勢，利用時間序列分析方法建立了ARIMA乘積季節模型，結果較好地擬合及預測了新疆喀什地區百日咳的流行趨勢，為新疆喀什地區百日咳疫情的暴發流行的控制提供理論依據。在傳染病研究中，方法還有許多，例如文[6]研究了蓬溪縣1953-1992年百日咳發病季節特征，建立了余弦模型，求得了發病高峰時點及高峰時區，對疾病的預防和控制有巨大意義。

目前，對傳染病的研究方法中最基本的方法是描述性研究，文[7]研究了2004-2012年新疆百日咳疫情資料，發現疾病與人群的構成有較大的關系。在國外，也有較多的學者對百日咳的流行趨勢和影響因素進行了一定程度的研究，但大多數都是描述性的研究，沒有更進一步的提出更好的控制策略。文[8]研究了美國百日咳與哮喘高患病率之間的聯系，結果發現應將哮喘患者定義為百日咳疫苗的目標群體，這對如何切斷百日咳的流行提供了目標基礎。百日咳在嬰兒和青少年中的流行較為嚴重，但疫苗的產生，能有效降低百日咳的感染率。文[9]研究了拉丁美洲不同國家百日咳的疾病數據。結果發現在這個地理區域中，這些病例中的大多數都與6個月以下的接受不到三劑疫苗的患者對應。在大量的研究中，我們還發現注射抗生素也能夠有效地預防百日咳。文[10]研究了國百日咳患病人群的臨床特征，通過對患病人群數據的研究，發現抗生素可以降低百日咳的傳播率，并且提出了一劑Tdap助推器的新建議。

在百日咳的發生、發展中，咳嗽是主要的癥狀，如何提高診斷百日咳的靈敏度，這是一大難題。文[11]研究了83例經實驗室確診的百日咳患者和1132例未經實驗室證實的百日咳，通過進行血清學、聚合酶鏈反應來診斷。結果在百日咳患者中，陣發性咳嗽的敏感性為90%，特異性為25%。新疆地處祖國邊緣，整體醫療水平較為落后。如何更好地對百日咳進行干預和控制，表現得更為迫切。

基于以上研究，本文建立切合烏魯木齊市百日咳的傳播規律的動力學模型，根據收集到百日咳病的發病數據，以及其他相關的其他數據（人口數據等），采用最小二乘估計等概率統計知識對各種參數進行估計。最后利用數學軟件（Matlab）進行數值模擬，驗證分析結果擬合數據并預測百日咳病的流行趨勢。

1 主要結果

根據百日咳的傳播機理，將總人口劃分為四個倉室：易感者（S），潛伏者（E），感染者（I），以及恢復者（R）。我們給出如下百日咳的傳播流程圖（如圖1所示）。

圖1 百日咳傳播流程圖

進而建立如下百日咳的傳播動力學模型

■=μN（1-p）-■+μS，■=■S-（σ+μ）E，■=σE-（r+μ）I，■=rI+μNP-μR，N（t）=s（t）+E（t）+I（t）+R（t）

其中，S（t）代表t時刻易感者的數量;E（t）代表時刻潛伏者的數量;I（t）代表t時刻感染者的數量;R（t）代表t時刻恢復者的數量;N（t）代表t時刻總人口數。參數的含義解釋如表2所示。

首先，我們把模型（1）中的前四個方程相加，可得到

■≡0

則解出

N（t）≡N0（其中N0為單數）

顯然，模型（1）有一個唯一的平衡點P0（（1-p）N0，0，0，pN0）

根據文獻[12-13]中計算下一代再生矩陣及基本再生數的方法，我們定義

f=■ 0 υ=? （μ+σ）E（r+μ）I-σE

注意到模型（1）中的平衡點為P0，

則可得：

F=■且V=■

則下一代再生矩陣是

FV-1=■

由此可得模型（1）的基本再生數為R0=ρ（FV-1），其中ρ（FV-1）表示矩陣FV-1的譜半徑，經計算可得：

R0=■

定義W（t）為百日咳累計發病數，則由模型（1）可得■=■，

根據圖2所示，可知W（0）=I（0）=10.其模型（1）的其他初值分別假設為：S（0）=1000000，E（0）=63950，R（0）=1000。

表1 模型參數值與解釋

利用最小二乘法，采用模型（1）去擬合百日咳的累計發病數（見圖2）。在此基礎上估計出β≈0.3672，模型的其他參數見表2。經計算，可得基本再生數R0=1.1030>1，這表明烏魯木齊百日咳仍會繼續流行。

圖2 模型擬合2004-2015年烏魯木齊市百日咳累計發病數

如圖2所示，橫坐標是時間，縱坐標是對應時間百日咳發病累積例數。紅色為實際值，黑色曲線為擬合曲線。由此圖可看出，模型（1）的解基本能擬合出2004-2015年烏魯木齊市百日咳的實際累計發病數據。2004-2015年每年新發百日咳數量總體變化較為平穩，2015年，烏魯木齊市百日咳累積發病例數達到160余人。

圖3 2004-2035年烏魯木齊市百日咳的累計發病數預測圖

基于表2的參數值，可利用模型（1）預測烏魯木齊市百日咳的流行趨勢。如圖3所示，藍點表示從2004-2015年對應百日咳實際累計新發病數據，紅色曲線為使用模型（1）的擬合曲線，綠色部分是擬合曲線的95%置信區間。從圖3可以看出，保守預測至2035年，烏魯木齊市百日咳累計新發病數會持續上漲，相關部門應做好百日咳的防治防控措施，提高百白破疫苗的覆蓋率。

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